浙江省四校2024-2025学年高二年级下册3月联考数学试题

浙江省四校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在平面直角坐标系无S中，直线/：x+"y+l=O的倾斜角为（）

5兀27r7i7i

A.—B.—C.—D.一

6336

，v2

2.已知双曲线\-3=1（，〃>0）的焦距为6,则现为（）

A.5B.275C.6D.32

3.圆弓：/+丁=4与圆C2:（尤+iy+（y+2）2=9的位置关系是（）

A.内含B.内切C.外离D.相交

4.如果函数y=f（x）在无=1处的导数为1,那么lim”』一）一/⑴=（）

a。2Ax

A.1B.1C.2D.4

5.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的

装法种数为（）

A.6B.7C.15D.90

6.三个非零向量口5忑则“第反1共面”是飞=布+成（4〃eR）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴.DeepSeek在训练

模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为=七In（w%+1）,

i=l

其中W是模型参数，%是输入特征，为了最大化"M，我们需要求解以下哪个方程（）

〃1〃1

Ay--------=nBy--------=0

C.-------7=0D・--------7=n

i=1WXi+1Z=1wxt+1

22

8.已知。是椭圆M:]+/=1（O<6<3）上的动点：若动点Q到定点尸（2,0）的距离|PQ|的

最小值为1,则椭圆M的离心率的取值范围是（）

B.血I

丁J

二、多选题

9.在平面直角坐标系xOv中，已知曲线C：（〃L1）V+（3-9）丁=1,则下列说法正确的有

（）

A.若3＞勿＞1,则C是椭圆B.若2〉m＞l,则C是焦点在x轴的椭圆

C.若加＜1,则C是焦点在y轴的双曲线D.若加=3,则C是直线x

2

7T

10.在平行六面体ABCD-A用GR中，已知AB=AO=9，ZA.AB=乙41Ao=NBAD=-,

点P为平面ABCD上的动点，则（）

A.四边形4区02为矩形

____.UULI1_____.

B.&A在AC］上的投影向量为］AG

C.点8到直线AG的距离为逅

3

D.若直线。尸与直线A3所成的角为：，则点P的轨迹为双曲线

11.如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台

阶或一次上两级台阶，设爬上〃级台阶的方法数为%,则下列结论正确的有（）

A.若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种.

10

B.£《=231

i=l

C.%侬是偶数

D.Q］+“2024=。2024〃2025-1

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知数列｛4｝为等比数列，4-生•%=216,则%=.

13.阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名

男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照

顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，

且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有种(用数字作答).

14.已知/'(x)=lnx-冰，g(x)=eA-ox,若对任意占e(0,+8),都存在/6(。,+°°),使得

f(x^g(x2)=xtx2,则实数a的取值范围为.

四、解答题

15.已知函数〃尤)=3-分：\的图象在点(L/。))处的切线与直线>=3平行，其中。为

常数.

(1)求。的值；

(2)求不等式-1)<〃5x-7)的解集.

16.已知数列｛%｝满足4+2=。“+1+2。“，且。］=%=1，«6N,.

⑴证明：数列｛%+%+J是等比数列；

⑵设数列｛4｝的前〃项和为臬，求

17.如图，已知在四棱锥尸-ABCO中，PA_L平面ABCD,在四边形ABCD中，

ZABC=90°,A3〃CD,AB=2,=2,=4,点A在平面PCD内的射影恰好是APCD的

重心G.

⑴证明：BC〃平面PAG；

(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.

18.己知椭圆G：，+/=l（a>b>。）的离心率《=白，且过点（2,一），直线

4:y=kx+m（m>0）与圆G：（龙-1尸+丁=1相切且与椭圆G交于4台两点.

⑴求椭圆G的方程;

⑵过原点。作4的平行线4交椭圆于C,。两点，若|4?|=川8|,求彳的最小值.

19.已知函数y=/（x）的定义域为/,设飞e/,曲线在点（飞,〃七））处的切线交X轴于点

（40）,当心1时，设曲线在点（斗,〃七））处的切线交X轴于点（招+”0）,依次类推，称得到

的数列｛%｝为函数y=/（X）关于X。的“N数列”，已知/（%）=2x-ln（x+l）.

⑴求证：/（x）的图象与x轴有两个交点；

⑵若g（X）=/'（X）,｛凡｝是函数y=g（X）关于=--的“N数列"，记bn=log2\2an+1|.

①证明：数列也,｝为等比数列，并求其通项公式；

n-1

②记C,=(weN),证明：Cj+<?2H---PC;1<.

(77+l)10g2(-Z>„)

试卷第4页，共4页

《浙江省四校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案AADBBBACBCABD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】把直线方程化成斜截式方程,求出斜率,再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，

结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角.

【详解】由x+6y+l=O化简得：y=—走x-走，

33

所以直线的斜率为tana=女=-3。£。兀）为倾斜角，

3

5兀

所以直线的倾斜角为C=三.

6

故选：A.

2.A

【分析】由双曲线的相关概念求解即可.

22

【详解】因为双曲线3=1（根>°）的焦距为6，

所以2。=6,即。=3,且/=m,b2=4,c2=m+4,

所以加+4=9,故帆=5,

故选：A

3.D

【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解.

【详解】6：/+9=4的圆心和半径为0（0,0）,r=2,C2：（x+l）2+（y+2）2=9的圆心和

半径为。2（-1，-2）,R=3,

故ICC2I=“-I?+（-2）2=石,1<5，故两圆相交，

故选：D

4.B

【分析】由导数的定义求解即可.

【详解】

x->0?10AY9V79

答案第1页，共13页

故选：B

5.B

【分析】先将红球从数量分成（O/,2）,（1,1』）两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式

下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2

个，将两类情况的方法总数相加即可.

【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有（0,1,2）,（1,1,1）两种

组合形式，

当红球分组形式为（0,1,2）时，将红球放入三个不同的袋中有A；=3x2xl=6放法，

此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.

当红球分组形式为（1,1,1）时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，

此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.

综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，

不同的装法种数为6+1=7种.

故选：B.

6.B

【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量商，瓦1满足亍=

则瓦瓦/共面,

反之，若三个非零向量,石忑共面，当万,5共线，。与万出不共线时，就不存在实数使

得=然+jub,

故25,k共面是0=行+成（4〃©用的必要不充分条件，

故选：B

7.A

【分析】通过求对数似然函数工（卬）的导数，根据函数取得极值的条件来确定最大化。卬）时

需要求解的方程.

【详解】已知〃w）=£ln（吨.+1）,故工（皿=£一^.

M,=1WX,.+1

答案第2页，共13页

函数在极值点处的导数为0,为了最大化〃卬），需要找到〃w）的极值点，即令工（w）=0,

可得：1八°

,一,wxwx八

将等式两边同时乘以W,得到嬴『看+…+菽Tn°

此即1一一!—+1一一^―+...+1一一=o,n]

即自嬴于"选项A正确.

Iwx,+l)[wx2+l)[wxn+\)

故选：A.

8.C

【分析】设Q（3cos。,加in。），整理得|PQ|2=（9-62）cos2e-12cos6+4+A2,根据二次函数分

析可得34k<9,进而求出离心率得取值范围.

【详解】由题意可设：Q（3cosabsin。）,

令t=cose«—l,l],贝U|PQ|2=（9—Z?2）产一12，+4+62,

当0<6<3,则9一/?2>0,

可知〃。=（9-从片一⑵+4+6?的图象开口向上，对称轴为好了’>0,

当;<1，即0</<3时，可知/⑺在[-1』上的最小值为[二；

则f=（9一阴（$1：+4+〃=1,整理得/一+9=o,解得"=3,

不合题意：

当占21,即322<9时，可知/⑺在内的最小值为"1）=1,符合题意;

9—/?

综上所述:392<9.可得椭圆”的离心率0=?

故选：C.

9.BC

【分析】由圆锥曲线的标准方程得到对应的曲线类型.

【详解】由题意曲线C：（〃L1）Y+（3-闻9=1,

答案第3页，共13页

若机=1,则2y2=1,为两条平行直线丫=±池,若m=3,则曲线为2/=1,C是直线x=±也,

-22

D错误.

当〃件1且〃件3时，曲线C:(〃L1W+(3—回丁=1,即丁十丁一,

m—13—m

＞0时，即1〈根＜3且相*2时，曲线C为椭圆，所以A错误;

------W-------

m-13—m

若2＞加＞1,--＞--,C是焦点在％轴的椭圆，B正确;

m—13-m

若相＜1,则V。是焦点在y轴的双曲线，c正确;

------>0

、3-m

故选：BC

10.ABD

【分析】利用基向量求解出丽•瓯=0即可判断选项A；利用基向量求出福•猬，|相

然后由投影向量的定义求解即可判断选项B；由基向量求得通•离，然后由空间点到直线

的向量求法求解即可；由异面直线所成的角得到NG2P=1或NG2尸=],所以点P在

以2为顶点，2cl或2cl的反向延长线为轴，2P为母线的圆锥面上，又Pe平面ABCD,

所以尸的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，由于G2〃平面A3C。，尸点轨迹为双

曲线，即可判断选项D.

7T

【详解】对于A,AB=AD=AAi,=ZA,AD^ABAD=-,

所以而.丽=(诟一荏)•离=布.湎-丽.丽

=|AD|.|A4|COS4AD一I初cos4A3=0,

所以8。，84，故四边形与BOR为矩形，故A正确；

对于B,-AC,=^A{-^AB+AD+AA^=A\-AB+A\-AD+^A[-AAl

答案第4页，共13页

=cosy+

---►►»|2/|J2|J2IJ2►►►►►»

AB+AD+AAA=JAB+西+研+2AB-AD+2AB-AA^+lAA^AD

=、研+6网2cos三=指画,

2国2

府在游上的投影向量为空;毕.也

।'।=4'j■LI'j=_AC].故B正确；

|Aq|V6|AB|网画3

22

对于C,AB-AQ=AB.(AB+AD+A41')=|AB|+AB-AD+AB-AX=2|AB|,

丽.立一2国12画

2AB

所以点B到直线AG的距离为

y/6

故C错误;

对于D,因为AB//C2,所以直线，尸与直线48所成的角即为NJ，尸或其补角，

TTTT27r

V直线2P与直线AB所成角为§,所以/GRP=y或NCRP=—,

所以点尸在以2为顶点，2G或的反向延长线为轴，2P为母线的圆锥面上，

又Pe平面ABCZ）,所以尸的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，

・••因为G2〃平面ABCD,平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线，

所以尸点轨迹为双曲线，故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】A选项，分析得到用7步走完了10级台阶完成的方法，由组合数求得总的走法；

通过对题意得分析得到%=1,%=2,4+2=%+。用.从而可得写出外,发《0,然后计算后判

断B选项；由数论可知这个数列中连续三项中奇数和偶数的个数，由前三项得到其规律，

然后判断C选项中的结论；由。用=。"+2-得到=%+1（。”+2-。”），由此即可算出结果判

断D选项.

【详解】A选项：*.T0=l+l+l+l+2+2+2,即要想用7步走完了10级台阶，其中有4次

答案第5页，共13页

7x6x5

选择一次上一级台阶，3次选择一次上两级台阶，故共有C；=FR；=35种走法，A选项

3x2x1

正确；

根据题意，爬上第〃+2个台阶有两种可能，

一种是从第〃+1个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式；

一种是从第〃个台阶上一次上2个台阶爬上来，有凡种方式，

。,+2=an+an+1,且q=1,%=2,

.•.%=3,久=5,%=8,4=13,%=21,%=34,%=55,ai0=89.

10

B选项：^2%=1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=231,B选项正确；

Z=1

C选项：由数论可知为+2=4+中存在两个奇数一个偶数，由前三项可知4&+1和须为奇

数，43H2为偶数(左£Z*)，・・・%)25=%<675，・・・％025是奇数，C选项错误；

aa

D选项：•=n+2~n>・・(。〃+2-，

即jW+1-靖Q24=+%(%—%)+%(。4—%)+,,,+/024(^2025—%023)

2

III♦••I^^2024^^2025^^2024^^2023

=a；-a2al+a2024a2025=a2024a2025一］，D

故选：ABD.

12.6

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】由q•an=216可得%。=216n%«•%=216,故%=6,

故答案为：6

13.288

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得.

【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有A；种排法；

第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有A；种排法；

第三步:将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，

答案第6页，共13页

有可种排法；

第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，

然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有2A；种排法.

所以不同的排法种数有：虫；短88*=(种).

故答案为：288

14.e+-,+coI

/(占)_1

【分析】由/a)g(尤2)=中2得占一g(Z).设/(》)=见，G(X)=幽，求导，分析函数

一r―尤X

X2

单调性，求两个函数的值域，再根据函数值域的包含关系求。的取值范围.

/(X,)1

【详解】由/(再)8(%)=%々得%g(%2)，

x2

、江厂/、f(x)］nx小、el,/、1-lnx

设F(x)=----=-----ci,xe(0,+oo),则F(x)=-----,

XXX

当0<x<e时，F(x)>o,则/(%)在(o,e)上单调递增；

当元〉e时，尸(幻<0,则方(%)在(e,+8)上单调递减；

所以尸(无)x=F(e)=--a.

1me

且当X―0时，尸(x)->y>；当X->+8时，/

故尸(x)的值域为［-力,：-。；

设G(x)=%=£-a,xe(O,+s),则G'(x)=小(:一1),

XXX

当0<x<l时,G(x)<0,则G(x)在(0,1)上单调递减;

当x>l时，G'(x)>0,则G(无)在(1,+⑹上单调递增；

所以G(x)mu,=G(l)=e-a,

且当尤30时，G(x)f+oo；当x-+8时，G(x)f+co,

故G(x)的值域为［e-a,E)；

依题意，F(x)的值域是工的值域的子集.

G(x)

显然awe,若a<e,则，的值域为［(),,］,不合题意，舍去；

G(x)1e-a

答案第7页，共13页

1.....（11

若〃>e,则记的值域「”,。『（。,+如

a>e

则需小）的值域p/y7,士5。,+功，财

11,解得〃2e+一.

——a<----e

eQ-a

综上，实数a的取值范围为e+：，+e]

D1

【点睛】关键点点睛：由/&）g（%）=玉/得丁"诉'.设方（%）=3,G（%）=皿，对

--xx

X2

任意占e。”），都存在%€（。，+8）,使得了（占）8（/）=项%就转化成/（X）的值域是心T的

G（x）

值域的子集.

15.（l）a=2

⑵x«2,3）

【分析】（1）先求出/（尤）的导函数，再结合在点（I"⑴）处的切线与直线y=3平行，歹!J出。

的方程，求解即可

（2）结合（1）得出函数的单调性，再利用单调性解不等式.

【详解】（1）因为函数”x）=©-&U，则》>0,

1--*+1)-(1)J.

---Q---------5------

%(X+1)尤(X+1)

又因为图象在点（1"（1））处的切线与直线y=3平行,

12

所以尸（1）=,一“X。1y=。，解得a=2；

⑵由⑴知小）—£,且广⑺士岛(x+l)--4x(if

20恒成

尤(x+以尤(x+l)~

立,

所以/（X）在（0,+8）上单调递增,

0<x2-l

则不等式T）<〃5x-7）等价于

x?—1<5x—7

解得xe（2,3）.

16.（1）证明见详解

答案第8页，共13页

0）2（47）

3

【分析】（1）将等式两边同加4角，化简得到前后两项比为定值即可；

（2）由（1）写出通项公式，列出邑“后用分组求和以及等比数列的前〃项和公式即可得到

结果.

【详解】（1）Q〃+2—"九+1+2°“，；•%+2+an+1=2%+]+2an=2（aZ!+]+«„）,

+〃”口-

由〃i=%=1可矢口＞0，---------------2,

an+\+an

・••数列｛%+4川｝是等比数列.

（2）由（1）可知，数歹!]｛。〃+4+1｝首项q+%=2,公比4=2,

•**an+。〃+1=（囚+。2）夕"1=2",

S2”=4+%+〃3+%+…+%〃-3+a2n-2+a2n-\+

二(6+42)+(%+。4)+-，+(%—3+%―2)+(%—1+%)

=2+23+...+32H-3+22/7-'

2(1—4")2(4"-1)

1-43

17.（1）证明见解析

⑵巫

3

【分析】（1）连接尸G,延长交CD于点E,由重心性质易证3C〃AE,即可求证;

（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解;

【详解】（1）证明：连接尸G,延长交O）于点E,如图,

•.•G为△PCD的重心，则E为边C£＞的中点,

又rABUCD,AB=2,CD=4,

答案第9页，共13页

故CE,A3=CE,

则四边形ABCE为平行四边形，

则BC〃AE,

•.13cs平面PAG,AEu平面PAG,

BC//平面PAG

（2）解：；ZABC=90。，则MLBC,

又BC〃AE,PA_L平面ABC。，

则PAAB,AE两量垂直，

如图建立空间直角坐标系A-邙，

则4(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),0(—2,2,0),矶0,2,0),尸(0,0,")(">0),

->2-►

・「G为的重心，则PG=§PE,

故G|吟口

则旃=",一|,g[,/=[o,g,g：4=(2,o,-m),^=(o,2,o),

•.•A在平面PCD内的射影恰好是APCD的重心G,则AG±平面PCD,

:.AGDG=0--+—=0,贝！I帆=2夜，

99

.•.PB=(2,O,-2A/2),BC=(O,2,O),

设平面PBC的法向量为万=（尤,%z）,

PBn=0,[2y=0,

_即.厂令z=l得为=(忘,0,1),

BC-n=Q,[2%-2V2z=0,

设直线DG与平面PBC所成角为6,

8A/2

nDG\丁2母

则sin。=网因

•・・直线DG与平面PBC所成角的正弦值为过1.

3

r2V2

18.⑴工+匕=1

164

⑵逅

3

【分析】（1）由题意列出关于。，b,。的方程组，求解出。，b,即可求解.

答案第10页，共13页

（2）先根据直线4与圆G相切得出发=3匚；再根据直线《与椭圆C1交于A,8两点，联立

2m

方程组，利用韦达定理和弦长公式得出会用=717班.4川6k2一加+4；最后根据题意分析

得出4：y=依，代入椭圆c,方程求出仁必=VT7F.,进一步化简变形即可求解出2

的最小值.

【详解】（1）因为椭圆q：，+《=l（a>b>0）的离心率e=?,且过点（2,有卜

C6

e=­=——

a2

a=4

所以＜a2=b2+c2,解得

b=2

22

故&的方程

（2）由圆。2；（彳-1）2+》2=1可得：圆心由（1,0）,半径I.

因为直线4：y=kx+m（m>0）与圆C2：（xT>+;/=1相切,

|上+』1-m2

所以=1,解得k=

2m

设A（%，%），8（%，为），

y=kx+m

联立直线4与椭圆G的方程/,2_,整理得：0+4用尤2+8而a+4疗-16=0.

---1---=1

1164

A=（8km）2-4（1+4F）（W-16）＞0

8km

由题意得:

F1+%2=---1--+--4---7

4m2—16

'==4丁

4,16左J苏+4

则k一%|=J（X[+苫2）--4尤]%=

1+4/

4116公-疗+4

所以|AB\=-s/l+k~-l^j—x2|=Jl+k2■

l