直角三角形（一）-2024-2025学年八年级数学下学期复习分类汇编

专题01直角三角形（1）

题型概览题型01直角三角形两锐角互余

题型02含有30。的直角三角形

题型03斜边的中线等于斜边的一半

题型04勾股定理求线段问题

题型05勾股定理解决面积问题

题型06勾股定理的证明与计算

题型07直角三角形的判定

题型08利用勾股定理逆定理计算求解

题型09勾股数的判断

题型10勾股定理的实际应用

01

（2024春•娄底期中）

1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于35。，则另一个锐角的度数是（）

A.145°B.125°C.65°D.55°

（2024春.新晃县期中）

2.在△N8C中，ZC=90°,NB=2NA,则//=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

（2024春•通道县期中）

3.在RtZk/BC中，ZC=90°,4B的垂直平分线交2c于。，连接

ACAD:ZDAB=2:5,Z4DC的度数为（）

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A.55°B.65°C.75°D.85°

（2024春•澧县期中）

4.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）

A.100度B.120度C.135度D.140度

（2024春•洪江市校级期中）

5.AD、为△48C的高，AD、相交于X点，ZC=50°,求NBHD.

做型，含有30。的直角三角形

（2024春•洪江市校级期中）

6.在Rt&LBC中，Z.C=90。，乙8=30。，斜边48的长为2cm,则NC的长为（）

A.4cmB.2cmC.1cmD.ycm

（2024春•云溪区期中）

7.在RM48c中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8cm,则4c的长度是（）

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

（2024春•汝城县期中）

8.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30。角，这

棵树在折断前的高度为（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

（2024春•淑浦县校级期中）

9.如图，在乙408=60。的两边上有两点P和。在运动，且点P从离点。有1厘米远的地方

试卷第2页，共16页

出发，以1厘米每秒运动，点0从点。出发以2厘米每秒运动，则△尸。。为直角三角形时,

（2024秋•吉首市校级期中）

10.如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得//CB=15。，他沿C2方向走到

处，线段C〃=20米，测得N4D8=30。，求树48的高度.

斜边的中线等于斜边的一半

（2024春•湖南期中）

11.如图，公路/C、8c互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得43的长为

5.6km,贝ijM、C两点间的距离为（）

A.2.8kmB.3.6kmC.4.6kmD.5.6km

（2024春•汝城县期中）

12.如图，在RtZk48C中，/4CB=90°,BC=3,AC=4,。为的中点，则CD等于

试卷第3页，共16页

A.2B.2.5C.3D.3.5

（2024春•武冈市期中）

13.如图，一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为N3中点，当梯子的上端沿墙

壁下滑时，的长度将（）

A.变大B.变小C.不变先变大后变小

（2024春•岳阳期中）

14.如图，RtA48C中，//C8=90。，点。为A8的中点，某同学用刻度尺测量长度时,

点/、2对应的刻度分别为4、0,则CD的长为.

（2024春•娄底期中）

15.如图，在四边形4BC。中，AABC=ZADC=90°,E为对角线/C的中点，连接BE,

DE,若NB4D=58。,则/BE。的度数为（）

A.118°B.108°C.122°D.116°

勾股定理求线段问题

（2024春•长沙期中）

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16.中，NC=90。，两直角边分别是。和6,斜边是c,若。=6,6=8,则。=.

（2024春•洪江市校级期中）

17.已知直角三角形的两边长分别为5和12,则斜边长是—.

（2024春•湘西州期中）

18.已知直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长为20cm,则斜边上的高是.

（2024春•长沙县校级期中）

19.如图，在△N8C中，48=12,BC=9,NOIBC于点。，/。=8,若点£在边42（不

与点43重合）移动，则线段CE最短为

（2024春•新田县期中）

20.在Rt^4BC中，ZC=90°,//、NB、/C所对的边分别为a、b、c.

（1）已知c-25,6=15,求a；

（2）已知c=12,4=30。,求a、b.

勾股定理解决面积问题

（2024春•宁乡市期中）

21.如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形/,2的面积分别是

16,9,则最大正方形C的面积是（）

A.30B.25C.20D.15

（2024春•娄底期中）

22.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）

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C.144D.169

（2024春•湖南期中）

23.如图，在RtZ\/8C中，44c8=90。，以的三边为边向外作正方形，其面积分

别为岳，邑，5，=81,尾=225,则邑=（）

（2024春•宁乡市期中）

24.如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形

（2024春•湖南期中）

25.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四

幅图中不能证明勾股定理的是（）

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（2024春•桃源县期中）

26.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

27.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若

/尸=15,小正方形EFGH的面积是49,则大正方形的面积是（）

A.225B.256C.289D.324

（2024秋•衡阳县期中）

28.如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形

的较长直角边长为。，较短直角边长为6,大正方形面积为15,小正方形面积为6,则（a+6）2

的值为.

试卷第7页，共16页

ab

（2024春•长沙期中）

29.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽

弦图此图案的示意图如图②，其中四边形/BCD和四边形EFG”都是正方形，AABF、

△BCG、ACDH,△可£是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则42的长为.

图I图2

做型07

（2024春•天元区校级期中）

30.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,1,6

C.6,8,11D.5,12,23

（2024春•长沙县期中）

31.下列条件中，不能判断△NSC是直角三角形的是（）

A.a:6:c=3:4:5B.NN:N3:NC=3:4:5

C.AA+ZB=ZCD.a:b:c=l:2:6

（2024春•攸县期中）

32.满足下列条件的△NBC是直角三角形的有个（）

①NA=NB-NC；@ZA：ZB：NC=1：2：1；③/=(b+c)(6-c)；④/。是2c上

的中线，且8C=24D.

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A.1B.2C.3D.4

（2024春•湘西州期中）

33.用下列长度的线段〃，b,。首尾相连构成三角形，其中能构成直角三角形的个数是

（）

①。=8,6=15,。=17；②。=1,b=6,。=2；

③a:b:c=3:4:5④一1,b=2n,c=n2+\（〃为大于1的正整数）

A.1B.2C.3D.4

（2024春•道县期中）

34.若三角形的三边长分别为〃、氏c,且满足（Q—”丫+0―I2|+G?=o,则这个三角形

的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

利用勾股定理逆定理计算求解

（2024春•隆回县期中）

35.在ZUBC中，48=5cm,8c=12cm,/C=13cm,则△4BC的面积等于cm2.

（2024春•桑植县期中）

36.如图在四边形48c。中，4B=BC=2,CD=3,DA=1,且/2=90。，求/D4B的度

数.

（2024春•宁远县期中）

37.一块钢板形状如图所示，量得/2=3,2C=4,AB1BC,CD=12,AD=13,请你计算

一下这块钢板的面积.

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（2024春•汝城县期中）

38.如图，在四边形/BCD中，AC1BC,AB=13,5c=12,CD=3,AD=4.

⑴求4C的长;

（2）求四边形4BCL1的面积.

（2024春•新田县期中）

39.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上.

（1）求证：ANC。是直角三角形;

⑵求四边形4BC。的面积.

做型打勾股数的判断

（2024春•永定区期中）

40.下列各组数中，是勾股数的一组（）

A.0.3,0.4,0.5B.1,y/3,2C.6,8,10D.2,2,V5

（2024春•桃源县期中）

41.下列四组数中，是勾股数的是（）

A.10,8,6B.32,42,52

C.>/2，A/3,V5D.10,15,-20

试卷第10页，共16页

（2024春•汝城县期中）

42.若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是（）

A.13B.VH9C.13或vn?D.不确定

勾股定理的实际应用

（2024春•通道县期中）

43.如图，在/村与3村之间有一座大山，原来从/村到3札需沿道路/fCf8（ZC=90°）

绕过村庄间的大山，打通）,8间的隧道后，就可直接从/村到8村.已知/C=6km,

5C=8km,那么打通隧道后从/村到3村比原来减少的路程为（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

（2024春•澧县期中）

44.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度3E=lm,将它往前推4m至C处时（即水

平距离CD=4m）,踏板离地的垂直高度C尸=3m,它的绳索始终拉直，则绳索/C的长是

（）

A

J・V..F-J.....E

A.4mB.5mC.6mD.8m

（2024秋•宁乡市期中）

45.如图5,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30。夹

角，这棵大树在折断前的高度为（）

试卷第11页，共16页

05

A.10米B.15米C.25米D.30米

（2024春•永定区期中）

46.如图，一架云梯斜靠在一面墙上，且云梯28长25m,云梯底端到墙的距离08为7m.

（1）这架云梯的顶端到地面的距离。4有多高？

⑵如果云梯的顶端A到下滑4m到A，处，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？

（2024春•长沙期中）

47.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水

一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.（1丈=10尺），大意是：有一个水池,

水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这

根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分

别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽/8=10尺,

线段CD,C8表示芦苇，。。，48于点£.

（1）图中。E=尺，EB=尺;

试卷第12页，共16页

⑵求水池中水的深度.

（2024春•长沙期中）

48.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候,

有极强的破坏力.如图，有一台风中心由西向东，从A移动到3,已知点C是一个海港，且

点C与43两点的距离分别为NC=300km,8c=400km,43两点的距离为：/8=500km.

⑴求的度数；

⑵海港C会受到这次台风的影响吗？请说明理由.

优选提升题

（2024秋•岳阳楼区校级期中）

49.如图，在△NBC中，ZBAC=90°,高4D与角平分线BE相交于点尸，ND4c的平分

线NG分别交2C,BE于点G,O,连接尸G,下列结论：①NC=NEBG；

②ZAEF=ZAFE；③AG工EF；@GFLAB,其中所有正确结论的序号是（）

A.①②④B.②③C.③④D.②③④

（2024秋•新田县期中）

50.如图，△NBC为等边三角形，点。是2C边上异于2,C的任意一点，DEJ.AB于点、

E,DFJ.AC于点、F.若8c边上的高线=10,则。£+。尸=（）

试卷第13页，共16页

A.5B.10C.8D.6

（2024春•东安县期中）

51.如图，。尸=1,过点尸作修，CP且供=1,得㊅=&；再过点尸/作雅，州且月月=1,

得OR=百；又过点匕作64,能且£1=1,得优=2……依此法继续作下去，得

°Ro24=（）

A.72022B.V2023C.^2024D.J2025

（2024春•新宁县期中）

52.如图所示，正方形/BCD的边长为1,其面积标记为H，以CD为斜边作等腰直角三角

形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为$2，…，按照此

规律继续下去，则邑。24的值为

（2024春•道县期中）

试卷第14页，共16页

53.定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形"，若A/BC既是直

角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为。、6、，，且"=9。。，则广

（2024春•桑植县期中）

54.如图，已知。尸=1,过P作PR1OP,且PP/=1；再过巳作尸/P?1O尸/且巳巳=1；又

过B作尸2P3，。尸2且尸2尸3=1；又过尸3作尸32八。尸3且尸3尸4=1；…，按照这种方法依次作

下去得到一组直角三角形Rt△。尸P/,RtMPR，Rt△。尸2尸3，RSOP3P4，…,它们的面积

分别为S/,512，S3,S”…，那么$202/=-

（2024秋•长沙期中）

55.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径

O0=25cm,用长为125cm的连杆将点。与动力装置尸相连（N。。尸大小可变），点P在轨

道上滑动，并带动磨盘绕点。转动，OALAB,OA=80cm.若磨盘转动过程中，则点尸

到A的最小距离为.

图1图2

（2024春•云溪区期中）

56.如图，在△4BC中，CFLAB于点、F,8E_L2C于点£,〃为8c的中点，若所=4,

BC=10,求△£7物的周长.

试卷第15页，共16页

A

（2024春•永定区期中）

57.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称

为等面积法，这是一种重要的数学方法.

（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成（。＜6）,贝U：

S小正方形+4S三角形S大正方形=_；（此两空均用含。，b,c的代数式表示，不用化简）根据

面积相等，可知一（化简），故验证了勾股定理.

（2）如图2,在Rt448C中，ZACB=90°,C£）是48边上的高，AC=8,BC=6,求CD的

长；

⑶如图1,S大正方形=169,S小正方形=49,直接写出（a+4的值.

试卷第16页，共16页

1.D

【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得.

【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35。，则另一个锐角的度数是

90°-35°=55°,

故选D.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题

的关键.

2.B

【分析】由NC=90。，NB=244,可得/8+44=3乙4=90。,从而可得答案.

【详解】解：•••/C=90。，NB=2NA,

.-.ZB+ZA=3ZA=90°,

ZA=30°.

故选B.

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，掌握“三角形的内角和定理”是解本题的关

键.

3.C

【分析】根据垂直平分线的性质得出根据等腰三角形的性质得出=

设/D/8=/3=5x,则/C4D=2无，根据三角形内角和得出5x+5x+2x=90。，求出

x=7.5°,根据直角三角形两锐角互余求出ZADC=90°-NCAD=75°即可.

【详解】解：的垂直平分线交于。，

•1•AD=BD,

•••ZDAB=ZB,

设/DAB=/B=5x,则NC4Z)=2x,

vZC=90°,

："B+ABAC=90°,

5x+5x+2x=90°,

解得：x=7.5。，

.-.ZCAD=2x7.5°=15°,

ZADC=90°-ACAD=75。.

故选：C.

答案第1页，共26页

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质,

等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握“等边对等角”.

4.C

【分析】根据直角三角形两锐角互余得出/胡。+//8。=180。-90。=9()。，根据角平分线

定义得出AOAB+AOBA=；x90。=45。，根据三角形内角和定理求出结果即可.

【详解】解：如图，■•ZC=90°,

.-.ZBAC+ZABC=180°-90°=90°,

•••AD、BE分别是ZBAC和ZABC的平分线，

ZOAB=-ZBAC,ZOBA=-ZABC,

22

AOAB+AOBA=!x90。=45°,

2

...NAOB=180°-{AOAB+/OB/)=180。-45。=135°.

故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理,

整体思想的利用是解答本题的关键，作出图形更形象直观.

5.50°

【分析】根据同角的余角相等求出=从而得解.

【详解】解：,•,4D是△4BC的高，

.-.ZBHD+ZHBD=90°,

•；BE是AABC的高，

.­.ZHBD+ZC=9Q°,

：.ZBHD=ZC,

■■ZC=50°,

；"BHD=50°..

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并准

确识图是解题的关键.

答案第2页，共26页

6.C

【分析】根据含30。角的直角三角形的性质得出AB=2AC,从而得出AC.

【详解】解：♦.2C=90。，ZB=3O°,

・・・AB=2AC,

vAB=2cm,

.•.AC=yAB=lcm,

故选：C.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，30。所对的直角边等于斜边的一半.是基

础知识要熟练掌握.

7.B

【分析】根据直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半计算即可.

【详解】解：•：/C=90°,ZB=30°,AB=8cm,

:.AC=—AB=—x8=4cm,

22

故选B.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜

边的一半是解题的关键.

8.B

【分析】根据直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再

加上离地面的距离就是折断前树的高度.

【详解】解：如图，根据题意BC=3米，

•••ZBAC=3O°,ZACB=9O°,

.••AB=2BC=2x3=6米，

••.BC+AB=3+6=9（米）.

故选B

【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关

键.

9.-

3

【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，分两种情况：当/尸。。=90。时，当

NQPO=90。时，分别结合含30度的直角三角形的性质列方程求解是解决问题的关键.

答案第3页，共26页

【详解】解：由题意可得：。尸=（1+，）。加，OQ=2tcm,

当/尸0。=90。时，

ZAOB=60°,

...ZOPQ=30°,贝！jOP=2O0,

即：l+y2x2/,解得：f=g；

当N0尸0=90。时，

•••ZAOB=60°,

.-.ZOQP=30°,贝|。0=2。尸，

即：21=2x0+/）,此时无解；

综上，当/=；时，△尸。。为直角三角形，

故答案为：—.

10.10米

【分析】根据三角形外角的性质得到/C4D=//D8-//C3=15。，根据等腰三角形的性质

得到=C。=20米，由直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：■.・N/〃8=30。，ZACB=15°,

:./C4D=N4DB-N4cB=30°-15°=15。,

ZACB=ZCAD,

.­.AD=CD=20（米），

又：ZABD=90°,

AB=-AD=\0（米），

2

二树的高度为10米.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形的外角的性质，熟

练掌握含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

11.A

【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

得出答案.

【详解】解：由题意得：N/C2=90。，点〃■为48的中点，

答案第4页，共26页

.\CM=-AB=2.8km

2f

故选：A.

12.B

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质.掌握直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半是解题关键.根据勾股定理可求出48=5,再根据直角三角形斜边中线的性质

即可得出CD=J/8=2.5.

【详解】"ZACB=90°,

•••AB=ylBC2+AC2=V32+42=5.

为48的中点，

CD=LAB=2.5.

2

故选B.

13.C

【分析】本题考查了直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，据此进行作答即可.

【详解】解：•・・〃为中点，ZAOB=90°,

：.OM=-AB,

2

•・,梯子的长度5m,即48=5m不变，

.•・。河=3/8=^111为一个定值，即■的长度将不变.

故选：C

14.2

【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半.根据直角三角形斜边中线的性质可得答案.

【详解】解:：•点42对应的刻度分别为4、0,

AB=4,

在RtZUBC中，ZACB=90°,。为斜边的中点，

.-.CD=-AB=2,

2

故答案为：2.

15.D

答案第5页，共26页

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据

直角三角形的性质可得==,从而得到/4DE=/D4E,NBAE=ZABE,再由三角

形外角的性质，即可求解.

【详解】解：ZABC=ZADC=90°,E为对角线/C的中点，

*'•DE=AE=BE,

/ADE=/DAE,ZBAE=AABE,

ZBAE=/ADE+NABE=58°,

・•・/BED=ZADE+/DAE+/BAE+/ABE=/BAE+ZADE+ZABE=58°x2=116°.

故选：D

16.10

【分析】根据勾股定理求出c的值.

【详解】解：•••RtZ\4BC中,ZC=90°,

•■a2+b2=c2

c=Va2+b2=-\/62+82=10，

故答案为：10.

【点睛】此题考查了勾股定理，在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

17.12或13

【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键,

注意分类讨论，避免漏解.求第三边的长必须分类讨论，分12是斜边或直角边两种情况，

然后利用勾股定理求解.

【详解】解：分两种情况：①当5和12为直角边长时，

由勾股定理得：斜边长月后=13；

②12为斜边长时，斜边长为12；

故答案为：12或13.

18.9.6cm

【详解】解：设直角边为3xcm,4xcm,则斜边为5xcm,

.•-5x=20

••・x=4

直角三角形的三边长为12,16,20cm

答案第6页，共26页

斜边上的高为：12x16-20=9.6cm

故答案为9.6cm.

19.6

【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的面积公式，根据“垂线段最短”得：当

时，CE为最短，然后根据三角形的面积公式求出CE即可.

【详解】根据“垂线段最短”得：当CE人45时，CE为最短.

vAD1BC,

.-.S.RC^-AB-CE^-BCAD,

"c22

vAB=12,BC=9,AD=8,

BCAD8x9「

CE=-----------=------=6.

B12

；,CE的最短为6.

故答案为：6.

20.(1)〃=20

(2)a=6A/3,b=6

【分析】(1)由勾股定理计算即可得出答案；

(2)由含30。角的直角三角形的性质得出6=；c=6,再由勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：由勾股定理得：。=后导=苗-152=20；

(2)解：•.,在RtZk4BC中,ZC=90°,c=12,4=30°,

a=yjc2-b2=V122—62=65/3•

21.B

【分析】设正方形4B、C的边长分别为x,y,z,根据题意可知/=16,再根据

勾股定理可求出z2=x2+y2=25,即最大正方形C的面积是25.

【详解】解：设正方形4B、C的边长分别为x,y,z,

则/=16,y2=9.

•••图中的三角形是直角三角形，

答案第7页，共26页

.-.Z2=x2+y2=25,

最大正方形C的面积是25.

故选B.

【点睛】本题考查勾股定理.熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.

22.B

【分析】根据勾股定理解答即可.

【详解】解：根据勾股定理得出：AB=^AC2-BC2=V132-122=5,

.•.EF=AB=5,

・•・阴影部分面积是25,

【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜

边长为c,那么a2+b2=c2解答.

23.D

【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2,再利用正方形的面积公式可得答案.

【详解】解：在中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

：.S3=邑+4,

■.■St=81,风=225,

.-.5,=225-81=144,

故选：D

24.49

【分析】根据勾股定理计算即可

【详解】解：最大的正方形的面积为7?=49c/,

由勾股定理得，正方形£、尸的面积之和为49c加2,

•••正方形工、B、C、。的面积之和为4%疗，

答案第8页，共26页

故答案为49.

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为

C,那么小〃..

25.A

【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形

中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法,

再建立等式，再整理即可判断.

【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，

+b)——ct~+2ab+b~)

以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理，

B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，

3ab—cib—c2=万(a++Z?),

整理可得/+/=c2,故B选项可以证明勾股定理，

C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

4x—ab+c~=(a+,

整理得/+/=c2,故C选项可以证明勾股定理，

D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积

加上两个直角三角形的面积，

/+2x—ab=。~+62+2x—ab,

22

整理得a2+〃=c2,故D选项可以证明勾股定理，

故选：A.

26.B

【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法.根据各个图象，

答案第9页，共26页

利用面积的不同表示方法，列式证明结论/+〃=C2,找出不能证明的那个选项.

222

【详解】解：A.•••4xgab+c2=(a+b)2,整理，na+b=c,即能证明勾股定理，故本

选项不符合题意；

B.根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意.

C.5义小方+出-4=。?....整理，得/+62=02,即能证明勾股定理，故本选项不符合题

思；

D.•.•；M+；c2+gab=g(a+6)(a+b),整理，得/+/=02,即能证明勾股定理，故本选

项不符合题意；

故选：B.

27.C

【分析】先求出小正方形的边长，进而求出直角三角形的短直角边长，再利用勾股定理求出

大正方形边长的平方，即为大正方形的面积.本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，

勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键.

【详解】解：,•,小正方形EFG”的面积是49,

•••小正方形EFGH的边长尸G=7,

・•・四个直角三角形全等，

：.BG=AF=15,

:.BF=BG-FG=\5-1=8,

AB'=AF~+BF2=\52=1^,9,

大正方形ABCD的面积是289,

故选：C.

28.24

【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，根据图形和勾股定理可知/=/+〃=”，

(.-6)2=6,再由完全平方公式即可得到结果.

【详解】解：设直角三角形的斜边为c,

贝"=/+/=15,

(a-6)~=/+-2ab=6,

lab=15-6=9,

22

••.(a+6)2=a+2ab+b=15+9=24,

答案第10页，共26页

故答案为：24.

29.10.

【详解】解：依题意知，BG=AF=DE=8,EF=FG=2,；.BF=BG-BF=6,：直角4ABF中,利

用勾股定理得：AB=^AF2+BF2=A/82+62=10.故答案为10.

点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角A43尸的两直角边的长度.

30.B

【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题

的关键.根据勾股定理的逆定理：a2+b2=c2,将各个选项逐一代数计算即可得出答案.

【详解】解:A、-•-42+52^62,

・•.4,5,6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、vl2+l2=(72)2,

・•.1,1,正能构成直角三角形，故本选项符合题意；

C>v62+82^112)

・•.6,8,11不能构成直角三角形，故本选项符合题意；

D、5?+122/23?,

・•.5,12,23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

31.B

【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直

角三角形的判定是解题的关键.根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案.

【详解】A、设。=3左，则6=4左，c=5k,

a2+b2=(3上>+(4左了=(5k)2=c2,

.•.△NBC是直角三角形，不符合题意；

B、设N/=3x,则ZB=4x,ZC=5x,

ZA+ZB+ZC=180°,

/.3x+4x+5x=180°

解得％=15。,

.•.2/=45。，ZB=60°,ZC=75°,

.•.△/5C不是直角三角形，符合题意；

答案第11页，共26页

c、ZA+ZB+ZC=ISO°,ZA+ZB=ZC,

ZC+ZC=180°,

解得NC=90。，

.•.A/2C是直角三角形，不符合题意；

D、设。=左，贝6=2左，c=y/3k,

a2+c2=(k)2+(限)2=(2左?=b2,

.♦.A/3C是直角三角形，不符合题意；

故选B.

32.D

【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据三

角形内角和为180。结合角度关系即可得到①②是直角三角形，根据勾股定理逆定理可得③

是直角三角形，根据等边对等角证出④是直角三角形；

【详解】解：@-.-ZA=ZB-ZC,

ZA+ZC=ZB,

■.•ZT4+ZC+ZS=180°,

.•.ZB=90。，

.♦.A48C是直角三角形；

②：N4：NB：ZC=1：2：1,

Z5=180°x-=90°,

4

.1A/BC是直角三角形；

(3)1,•a2=(6+司优-0),

a2=b2-c2,

“ABC是直角三角形；

④・.,4。是上的中线，

BD=CD,

・・•BC=2AD,

答案第12页，共26页

B,

\DDB=AD=CD,

A^--------------、C

/B=ABAD,ZC=ADAC,

■：NB+ABAD+ADAC+ZC=180°,

Z5+ZC=90°,

.•.△NBC是直角三角形；

故是直角三角形的有4个，

故选：D.

33.D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.根据勾

股定理的逆定理，进行计算即可解答.

【详解】••・/+/=8?+15?=289,c2=172=289,

■■a2+b2=c2,

•••以线段a,b,c首尾相连能构成直角三角形，故①符合题意；

,­•a2+&2=12+(V3)2=4,c2=22=4,

•■a2+b2=c2,

•••以线段a,b,c首尾相连能构成直角三角形，故②符合题意；

•・,a:6:c=3:4:5,

・,•设a=3k,b=4k,c=5k,

a2+b2=^k)2+(4左y=25k2,c2=(5^)2=25k2,

-'-a2+b2=c2,

•••以线段a,b,c首尾相连能构成直角三角形，故③符合题意；

2242242

a+b=-1J+(2〃y=n+2n+1,c-n+2n+1,

■■a2+b2=c2,

•••以线段a,b,c首尾相连能构成直角三角形，故④符合题意；

故选：D.

答案第13页，共26页

34.B

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质.根据绝

对值非负性，平方根的非负性质得出。，b,c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角

形的形状.

【详解】解：〈(a—13)+-12|+-\/c—5=0,

「.a—13=0,b—12=0,c—5=0,

6=12,。=5,

2222

.-.C+/)=5+12=169,〃2=i32=]69,

・•・c2+b2=a2,

・•・这个三角形是直角三角形，

故选：B.

35.30

【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解.

【详解】解：:48=5cm,BC=l2cm,AC=13cm,BP52+122=132,

.•.△Z5C为直角三角形，

•••直角边为45,BC,

根据三角形的面积公式有：S=|x5xl2=30(cm2)

故答案为：30.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形

为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解.隐含了整体的数学思想和正确运算的能

力.

36.135°

【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，先由/5=90。，AB=BC=2,得出

AC=^AB2+BC2=272,ABAC=45°，再结合C〃=3,DA=\,证明ANCD是直角三角形,

即可作答.

【详解】解：如图所示，连接/C,

答案第14页，共26页

D

A

L\S\cvAB=90°,AB=BC=2,

Bc

AC=slAB2+BC2=2V2,ABAC=45°.

又•：CD=3,DA=1,

:.AC2+DA2=S+\=9,CD2=9,

:.AC2+DA2=CD2,

.•.△/CD是直角三角形，

ACAD=90°,

.•./D/3=45°+90°=135°.

故的度数为135。.

37.36

【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理的应用，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关

键.利用勾股定理求出/C,再利用勾股定理逆定理得//CD=90。，然后根据这块钢板的

面积等于ABCQACD的面积之和求解即可.

【详解】•••AB1BC,

：.2B=90°,

■.■AB=3,BC=4

•••AC=732+42=5,

52+122=132,

/4CD=90。,

4x45x1?

・••钢板的面积=S.ABC+Leo=彳+餐=36.

38.(1)/C的长为5

⑵36

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理.

(1)根据垂直定义可得乙4c8=90。，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解

答案第15页，共26页

答；

（2）先利用勾股定理的逆定理证明△/DC是直角三角形，从而可得/。=90。，然后根据四

边形ABCD的面积=A/DC的面积+4/3C的面积，进行计算即可解答.

【详解】（1）解：•••NCL2C,

.-.ZACB=90°,

•；AB=V7,8c=8,

•1•AC=yjAB2-BC2=V132-122=5，

.••/C的长为5

（2）解：■-AD2+CD2=A1+31=25,AC2=52=25,

■■AD2+CD2=AC2,

・•.△4DC是直角三角形，

.-.ZD=90°,

二四边形46C。的面积=A40c的面积+Z\48C的面积

=-ADCD+-ACBC

22

=ix4x3+—xl2x5

22

=6+30

=36,

四边形4BCD的面积为36.

39.⑴见解析

⑵13

【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

（1）由勾股定理得出NC、CD、的长，再由勾股定理逆定理进行判断即可；

（2）根据S四边形43cz）=S4ABC+计算即可得出答案.

【详解】（1）解：根据题意得：/C="+22=26，CD=M+Y=#，

AD=V32+42=5.

•••AC2+CD2=（2司2+mJ=25=52=AD2.

：.ZACD=90°,即“CO是直角三角形.

答案第16页，共26页

⑵解：SK^ABCD=S^ABC+S^ACD=1x4x4+|xV5x2V5=8+5=13.

40.C

【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根

据定义即可求解.

【详解】解：A,0.3,0,4,0.5不是正整数，因此0.3,0.4,0.5不是勾股数；

B,6不是正整数，因此1,百，2不是勾股数；

C,62+82