2025年北京市朝阳区高三二模-数学+答案

数学试卷2025.5本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分(选择题共40分)要求的一项。(1)已知集合A={xlx²+x<0l,集合B={x12*≤1},则集合AUB(A)[-∞,0](B)(一∞,-1)(2)若抛物线C:x²=my(m≠0)的焦点坐标为(0,-1),则抛物线C的准线方程为(A)x=2((3)已知2,b=0.5°.5,c=2⁰.⁵,则(A)a<b<c(4)已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则n=(5)已知函数f(x)=lxl-1x-21+1;则对任意实数x,有44(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8)已知函数f(x)=x-x³,曲线γ=f(x)在点P(t,f(2))(t∈(0,1))处的切线方程为y=g(x),设函数h(x)=f(x)-g(9)金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A,B,C,D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置(点E处),如图2所示，设AB=a,则E到平面ABD的距离为9题图19题图2(10)设无穷数列{a|的前n项和为Sₙ,定义高三数学试卷第2页(共6页)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)若复数z满足z·i=2+i,则|z|=·(12)已知等差数列{an}满足a₁+a ·(14)若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为(15)设a>0,过原点0的直线(不与x轴重合)与圆A:x²+(y-a)²=a²交于点；P与直③设函数h(x)=xf(x),则h(x)的最大值为2a²;④设函数g(x)=f(x)+x²,则g(x)的最小值为2a.其中所有正确结论的序号是_立三数学试卷第3.页(共6页)三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1.(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)设函数,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数g(x)存在且唯一，求g(x)在区间上的最大值和最条件①:g(x)在区间上单调递增；注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答；按第一个解答计分.(17)(本小题14:分)如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面ACC₁A₁,侧面ACC₁A₁是边长为4(Ⅱ)求直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的正弦值.高三数学试卷第4页(共6页)(18)(本小题13分)500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按(40,50),(50,60),…,[90,100]405060708090100评分405060708090100评分A地区(19)(本小题15分)(20)(本小题15分)已知函数(I)若a=0,求函数f(x)在区间[1,+∞]上的最大值；(Ⅱ)若f(x)在区间(0,1)上存在单调递减区间，求a的取值范围；(Ⅲ)若f(x)存在极值点x₀,且f(xo)=1,求a的值.(21)(本小题15分)其中cardS表示有穷集合S的元素个数.(Ⅱ)求证：数列{a|中存在等于1的项；(Ⅲ)求证：存在t∈N°,使得集合{k∈N'lak=t}为无穷集合.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(14)3(答案不唯一)(15)①③三、解答题(共6小题，共85分)(16)(本小题13分)(且)选择条件①:由解得从而g(x)=√2sin2π存在且唯一.当……13分选择条件③:由题意得由g(x)为偶函数可知又因为,所以从而存在且唯一.所以当2x=0,即x=0时f(x)取得最小值-√2;(17)(本小题14分)因为底面ABC⊥侧面ACC₁A₁,又AB⊥AC,,AC₁∩AD=A,所以AB⊥AA,又因为侧面ABB₁A₁为平行四边形，…………6分…………6分(且)由(I)可知AB⊥平面ACC₁A₁,所以AB⊥AC.所以AB、AC,AD两两垂直.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz,则A₁(-2,2√3,0).B(0.0.3),C(4,0,0),C₁(2,2√3,0设平面BCC₁B₁的法向量为a=(x,y=),则即设直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角为θ,因此，直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的正弦值……14分(18)(本小题13分)解：(I)设事件M:从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60分.由频阜分布直方图可知A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的人致为500×(0.025+0.035+0.015+0(目)B地区评分为[80,100]的样本用户共有100×(0.01+0.005)×10=15人，其中评分不低于90分的人数为5人.由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2.所以X的分布列为：X012P则X的数学期望(19)(本小题15分)(Ⅱ)由得(3+4k²)z²+16/αx+4=0.得由△=256lc²-4(3+4k²)×4>0得又k<0;所以设A(x₁Y₁),B(π₁,₂),则又直线OA的倾斜角为所以因为由x₁x,=(la,+2)(L,+2)得(1-L²)x₁=2k(x₁+x₂)+4.(20)(本小题15分)解：(1)若a=0,,所以了(x)在区间(1,+∞)上单调递减.所以当x=1时J(x)取得最大值(1)=1.…………4分(且)f(x)的定义域为(0,+00).所以存在唯一的t∈(a,1)使得g(1)=0.h'(x)=e¹⁻¹(1-xlnx-1-Inx)=-e⁻¹(π+1当x=(0,1)时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,1)上单调递增.当x∈(1.+∞)时，h'(z)<0.所以h(x)在区间(.1.+∞)上单调递减.又h(1)=0,所以h(x)≤0,当且仅当x=1时取等号.又(。)等价于h(xo)=0,所以x₀=1.所以经检验，当a=1时J(x)存在极大值点1且f(1)=1,符合题意.所以a=l.……………………15分(21)(本小腼15分)解：(1)因为o=2,由题意得a,=2成a,□3.当a,=2时，a,=3;所以a,的所有可能取值为2,3………4分所以a₃≥2又a₄≤3,所以oe|2,3|.当a=3时，由a≠1,则存在ie|1,2,3|,使得om3.所以a₁=ay=a₃=3,a,=4,a₆=1,矛盾.(1)若a₁,a₂,a,中有两项为2,一项为3,则a₃=3,a₆=2,a,=4,ag=1,矛盾.(2)若a₁,a₂,a,中有两项为2,一项为m(m≥4),则as=3,a₆=1,矛盾