专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）(典型题型归类训练) 原卷版

专题02圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求直线方程 2题型二：求离心率 3题型三：求弦中点的轨迹方程 4题型四：求曲线方程 6题型五：处理存在性问题 7题型六：确定参数的取值范围 9题型七：定值问题 11三、专项训练 13一、必备秘籍1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、典型题型题型一：求直线方程1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为.5．（2024高三·全国·专题练习）以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为.6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为.题型二：求离心率1．（2023高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为．3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为．4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．5．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为．6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率题型三：求弦中点的轨迹方程1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆．(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；6．（2024高三下·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.题型四：求曲线方程1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·江苏·专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为，则C的方程为.5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为.6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.题型五：处理存在性问题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．(1)求M的虚轴长．(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.题型六：确定参数的取值范围1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切．(1)求圆心的轨迹的方程；(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（）求双曲线的方程；（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．题型七：定值问题1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆的焦距为4，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆上，求m的值．3．（2024·云南·模拟预测）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.(1)求圆心的轨迹的方程；(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限，.（1）求点B的坐标；（2）若直线与双曲线相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为，求a的值.5．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.三、专项训练一、单选题1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．36．（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．7．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为．9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为.10．（2024高二·全国）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为．11．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为．三、解答题12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离