专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)原卷版

专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1三、定直线问题 2二、典型题型 2题型一：定点问题 2题型二：定值问题 5题型三：定直线问题 8三、专项训练 11一、必备秘籍一、定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算三、定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．二、典型题型题型一：定点问题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是椭圆的内接四边形，直线AB经过左焦点，直线AC，BD交于右焦点，直线AB与直线CD的斜率分别为．(1)求证：为定值；(2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，点A，分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且．证明直线m过定点，并求出该定点的坐标．3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线的焦距为，点在C上．(1)求C的方程；(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.①求的取值范围；②求证：直线过点．4．（2024·青海海南·二模）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.(1)求的方程；(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为.(1)求的方程；(2)若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．题型二：定值问题1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程：（，），、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且．(1)求的离心率，求出的方程．(2)P为椭圆上任意一点，过P且与椭圆相切的直线l与椭圆交于M、N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：的面积为定值．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，过轴上一点作一直线，与椭圆交于两点（异于），直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，求的值．3．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线的方程．(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；(3)若直线过点，设，求的值．6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知抛物线经过点中的两个点，为坐标原点，为焦点.(1)求抛物线的方程；(2)过且倾斜角为的直线交于两点，在第一象限，求的值；(3)过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交直线于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.题型三：定直线问题1．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．（i）求证：点轨迹方程为；（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，．(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上．3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.4．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上.5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．(1)求的方程；(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．三、专项训练1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆经过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．

(1)求椭圆C的方程．(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．3．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.(1)求双曲线的方程;(2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上.4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.(1)求的方程；(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：