湘教版高中数学必修二 应用举例导学案

3.学习目标重点难点能够利用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，例如：弹簧振动问题、海水潮汐现象、交流电问题等.重点：利用三角函数知识解决实际问题中有关量的计算问题；难点：三角函数模型的建立.1．三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)的最大值为A，最小值是－A，周期是eq\f(2π,|ω|)，频率为eq\f(|ω|,2π).3．三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式(函数模型)，再解决其他问题；三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．4．解三角函数应用题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景；在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．预习交流游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30分钟转一圈．请估计16小时内最多有多少人乘坐？提示：每一个周期最多乘40人，16小时共有32个周期，因而在16小时内最多有40×32＝1280人乘坐．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、已知函数解析式解决有关量的计算问题弹簧挂着小球做上下振动，时间t(s)与小球相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h(m)之间的函数关系式是h＝2sin(t＋eq\f(π,4))，t∈[0，＋∞)，请回答以下问题：(1)小球开始振动(即t＝0)的位置在哪里？(2)小球的最高点，最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？(4)小球每1s能往复振动多少次？思路分析：最高点与最低点对应函数的最大值与最小值，小球往复振动一次所需时间即为周期．解：h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)．(1)当t＝0时，h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,4)))＝eq\r(2)(cm)，即小球开始振动时的位置在离平衡位置eq\r(2)cm处．(2)当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))＝1时，hmax＝2；当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))＝－1时，hmin＝－2，即小球最高点，最低点与平衡位置的距离都是2cm.(3)由T＝eq\f(2π,ω)得T＝2πs，即经过2πs，小球往复振动一次．(4)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2π)，即小球每1s往复振动eq\f(1,2π)次．已知某人的血压满足f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳()A．60次B．70次C．80次D．90次答案：C已知函数解析式求解各个量时，可直接根据相关的定义及公式进行计算，其中周期T＝eq\f(2π,ω)，频率f＝eq\f(1,T).二、根据观测数据建立函数关系求解问题已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？思路分析：画出表中数据对应的点，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到函数的图象，由图象确定f(t)的表达式．解：(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)=Acosωt+b，并且周期T=12，∴，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0.∴A=0.5，b=1.∴振幅为.∴y=cost+1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cost+1＞1.∴cost＞0.∴2kπ－＜t＜2kπ+，即12k－3＜t＜12k+3.①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.某港口在某季节每天的水深y(m)与时间t(h)的观测数据及其关系如下表：t/h03691215182124y/m1013107101310710(1)选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y(m)与时间t(h)的函数关系；(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？(忽略进、离港所用的时间)解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(如下图)．根据散点图，可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来拟合水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A＝3，h＝10，T＝12，φ＝0.由T＝eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(π,6).所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝3sineq\f(π,6)t＋10，t∈[0,24]来近似拟合．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m.令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2).所以eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,6)t≤eq\f(5π,6)＋2kπ(k＝0,1)，即12k＋1≤t≤12k＋5(k＝0,1)．所以1≤t≤5或13≤t≤17.所以，该船在凌晨1时至5时或下午13时至17时，能够安全进港．该船要在一天内在港口停留时间最长，应从凌晨1时进港，下午17时前离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时．若已知观测数据，一般先根据观测数据描出散点图，再根据散点图选择合适的模拟函数，并根据观测数据求出函数解析式，进而解答有关问题．1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s答案：D解析：由分析，因为ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.2．某一天的温度变化近似满足关系式y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12t＋\f(7π,4)))＋1(单位：度)，则该天的最高温度是________度()A．－3B．1C．5D．9答案：C3．如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始旋转，15s旋转一圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5答案：A解析：∵T＝15，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15)，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6.故A＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(6,2)＝3.4．电流I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,6)))(A＞0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝eq\f(1,50)秒时，电流是________安．答案：5解析：根据函数的图象，可求得解析式为：I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，当t＝eq\f(1,50)时，I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝10sineq\f(π,6)＝5(安)．5．如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个