2025届辽宁沈阳高三下学期教学质量监测（三）数学试题+答案

2025年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)命题：沈阳市第四中学吴哲沈阳市第三十一中学闫通沈阳市第五中学裴延峰主审：沈阳市教育研究院周善富本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-2<x<2},B={x|-1<x<3},则AUB=C.{x|-2<x<3}2.已知i为虚数单位，若z=i⁵+i⁴-i³,则z=A.1+2iB.1-2iC.2+i3.双曲线)的离心率为√3,则其渐近线方程为5.等比数列{a,}中，a₁>0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势.某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满高三数学第1页(共4页)高三数学第2页(共4页)分100分)进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a,则满意度计分的第一四分位数约为ba05060708090100成绩/分A.87.5B.85C.707.如图，一个四分之一球形的玩具储物盒，若放入一个小球，合上盒盖，可放入小球的最大半径为r;若放入一个小正方体，合上盒盖，可放入小正方体的最大棱长为a,则8.已知函数)在区间上有且仅有一个零点，当w最大时，f(x)的图象的一条对称轴方程为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.堑堵、阳马、鳖濡这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1,把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵),按图2所示，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖濡，则→A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B.鳖的四个面均为直角三角形C.阳马的体积是鳖濡的体积的两倍D.堑堵、阳马与鳖的外接球的半径都相等10.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB·AC=2,A.bc=4B.S△ABc=√3C.a的最大值为2的最小值为分别与直线x=4交于点B₁,B₂,则下列说法正确的有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则的值等于14.已知过点P(2025,1)的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线l的条数为·15.(13分)已知数列{a,}中，a₁=3,a₃=15,且数列为等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记S,为数列的前n项和，证明：16.(15分)甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有m(2≤m≤6)个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2,高三数学第3页(共4页)高三数学第4页(共4页)则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3,4,5,6,则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是(2)记“摸到红球的个数”为随机变量X,求X的分布列和数学期望.17.(15分)已知圆N:(x-3)²+y²=25,抛物线G:y²=2px(p>0)的准线与圆N相切，过抛物线焦点F的动直线I与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点为M.(1)求抛物线G的方程；(2)当MN⊥x轴时，求直线l的斜率；(3)求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值.18.(17分)已知函数f(x)=ax-6sinx,(1)已知f(x)在处的切线斜率为5,求实数a的值；(2)若a=3,且关于x的方程f(x)=b有2个不相等的实数解，求b的取值范(3)若函数F(x)=f(x)-x²+2xcosx在上单调递增，求a的取值范围.19.(17分)边形ADEF沿AD向上折起，连接BE,BF,CE,在折起的过程中，记二面角E-AD-C的大小为α(0<α<π),记几何体EFABCD的体积为V.(1)求证：BF//平面CDE;(2)当t=2时，请将V表达为关于α的函数，并求该函数的最大值；(3)若平面EFB和平面EBC垂直，当α取得最大值时，求V的值.2025年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)又因为是等差数列，所以是以3为首项，1为公差的等差数列，…………4分,所以a=n²+2n;…………6分所以…………11分由n∈N,则),故…………13分16.(15分)(1)设事件A为“掷出骰子的点数为1或2”,则事件A为“掷出骰子的点数为3,4,5,6”,则…………1分设事件B为“摸出的球都是红球”,则……3分5分整理得m²-m-12=0,解得m=4,或m=-3(舍),所以m=4;…………7分(2)由题意得，X的取值范围为{0,1,2},则高三数学答案第1页(共6页)高三数学答案第2页(共6页)X012P…………13分…………15分17.(15分)(1)由题意得，圆N的圆心为(3,0),半径为5,且抛物线的准线,与圆N相切，则,解得p=4,故抛物线的方程为y²=8x;…………3分(2)设A(x,y₁),B(x₂,y₂),M(x₀,y。),显然直线AB的斜率不为0,故可设1的方程为x=ty+2,与抛物线y²=8x联立，消去x得：y²-8ty-16=0,则则x₀=ty。+2=4t²+2,因为MN⊥x轴，所以x₀=4t²+2=3,因为直线1的斜率为,所以直线l的斜率为±2;(3)|AB|=x₁+x₂+4=t(y₁+y…………4分分…………9分…………11分…………13分所以|AB|-2|MN|=8(t²+1)-2(4t²+1)=6.18.(17分)(1)因为f'(x)=a-6cosx,所以且a-3=5,所以a=8;所以解得…………1分…………2分…………3分…………4分x0-0+0所以b的取值范围(3)方法一：由题意，当)时，F'(x)=a-2x-4cosx-2xsinx≥0所以F"(x)<0恒成立，即F'(x)在上单调递减，所以F'(x)∈(a-2π,a-4),由F'(x)≥0恒成立，所以a-2π≥0,即a≥2π.方法二：由题意，当时，F'(x)=a-2x-4cosx-2xsinx≥0…………10分恒成立，………11分…………14分…………15分…………17分恒成立，恒成立，设…………12分g'(x)=2-4sinx+2sinx+2xcosx=2-2si当时，因为2-2sinx>0,2xcosx>0,所以g'(x)>0,即g(x)在单调递增，…………14分……15分17分19.(17分)又因为AB∩AF=A,AB,AFc平面ABF,DC,EDC平面CDE,所以平面ABF//平面CDE,(2)由题意，在梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°,AD//BC,即AD⊥CE,且AD⊥FB,所以翻折后有AD⊥ED,AD⊥DC,且ED∩DC=D,所以AD⊥平面CDE,由二面角E-AD-C的大小为α,得∠EDC=∠FAB=α,…………4分过点E作CD的垂线，交直线CD于点H,由AD⊥平面CDE,EH由ED//AF,ED4平面ABF,AFc平面ABF,所以ED//平面ABF,又因为AD⊥平面ABF,且AF=1,所以…………6分 (3)方法一：过点D作DC的垂线，交直线CE与点G,分别以DA,DC,DG为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(3-t,0,0),C(0,t,0),B(3-t,t,0),E(0,2cosα,2sinα),高三数学答案第3页(共6页) 令y₁=sinα,则Z₁=t-cosα,令y₂=2sina,则z₂=t-2cosα,x₂=0,所以m=(0,2sinα,t-2cosα),13分由(2)知，AD⊥平面ABF,由BC//AD,所以BC⊥平面ABF,又FBC平面EFB,所以BC⊥FB,且CH∩BC=C,所以FB⊥平面EBC,又 则FB·EC=(0,t-cosα,-sinα)·(0,t-2cosα,-2sinα)=(t-cosα)(t-2cosa)+sinα·2sinα=0,高三数学答案第4页(共6页)高三数学答案第5页(共6页)由t=√2,,α∈(0,π),所以,则…………17分方法三：过点C作EB的垂线，垂足为H,由平面EFB⊥平面EBC,平面EFB∩平面EBC=EB,取ED中点为G,连接FG,GC,由题意可知，FG//AD//BC,FG=AD=BC,所以四边形BCGF为平行四边形，所以FB//GC,所以GC⊥EC,所以点C在以GE为直径的半圆上，设圆心为M,即M为GE中点，则DG=GE=1,,所以,如图，由GE为直径，且DG长为定值，则当DC与OM相切时，∠EDC最大，即α取得最大值，此时MC⊥DC,则t=CD=√DM²-