2024年人教版数学七年级下册同步讲义+练习专题5.5 相交线平行线类型题举例（教师版）

第05章重点突破训练：相交线平行线类型题举例典例体系（本专题99题123页）考点1：相交线所成的角典例：（2022春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOD＝30°，求∠EOC的度数；(2)若∠BOD∶∠EOC＝1∶3，求∠AOD的度数；(3)在（2）的条件下，画射线OF，若∠COF=90°，请直接写出∠BOF的度数．【答案】(1)(2)(3)的度数为或【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义即可得；（2）先根据可得，再根据平角的定义可得，然后根据邻补角的定义即可得；（3）分两种情况讨论：①射线在的上方和②射线在的下方，先利用平角的定义可得，再根据角的和差即可得．（1）解：因为平分，，所以，所以．（2）解：因为，所以，因为，所以，所以，所以．（3）解：由题意，分以下两种情况：①如图，当射线在的上方时，因为，所以，所以；②如图，当射线在的下方时，因为，所以，所以，综上，的度数为或．方法或规律点拨本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角、平角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．巩固练习1．（2022秋·河北邢台·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（

）A．40° B．80° C．100° D．140°【答案】D【分析】根据对顶角相等和平角的定义即可求出∠AOC和∠BOC，然后根据角平分线的定义即可求出∠COM，从而求出结论．【详解】解：∵∴∠AOC=∠BOD=80°，∠BOC=180°－∠BOD=100°∵平分∴∠COM=∠AOC=40°∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=140°故选:D．【点睛】此题考查的是角的和与差，掌握对顶角相等、平角的定义和角平分线的定义是解决此题的关键．2．（2022春·七年级单元测试）如图，直线、、相交于点，且，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据对顶角相等可以得到，再根据垂直的性质可以得到，即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可得出答案．【详解】解：∵，∴∵，∴∴∵平分，∴故选B．【点睛】本题考查了角度的和差倍分，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上性质并找出角度之间的关系是本题的关键．3．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么是____________°．【答案】145【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵，（对顶角相等），∴，∵∠1与∠3互为邻补角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，直线与相交于点O，．(1)如果，求和的度数；(2)如果，求的度数．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据角的和差与对顶角即可求解；（2）根据已知条件可得，从而可求得，根据邻补角即可求的度数．【详解】（1）∵，∴，∵与是对顶角，∴．（2）∵，∴．又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，以及角的和差计算，解答的关键是熟记对顶角与邻补角的定义的掌握与应用．5．（2022秋·重庆·七年级校联考阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，平分．(1)判断与的位置关系，并进行证明．(2)若，求的度数．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出；（2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数．【详解】（1）．证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2021春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，O是直线AB上一点，平分．(1)若，请求出的度数；(2)若和互余，且，请求出的度数．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据角平分线的定义，即可求得；(2)首先根据和互余，可得，再根据，可求得，可求得，据此即可求得．（1）解：，平分，，；（2）解：和互余，，∴，平分，，．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，准确找到角与角之间的关系是解决本题的关键．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；【答案】(1)∠BOF=33°(2)∠AOC=72°【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．（2）利用角平分的定义得出，进而表示出各角求出答案．【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°∴∠COE=142°，∵OF平分∠COE．∴∠EOF=∠COE=71°，又∠BOE+∠BOF=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴，∴设，则，故，，则，解得，故∠AOC=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．8．（2022春·广东湛江·九年级校考期中）如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分．(1)若平分，求的度数；(2)若，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得，，再根据邻补角的定义，就可求出的度数．（2）根据已知及角平分线的定义，用含的代数式表示出，再根据，建立关于的方程，求解即可．（1）解：∵平分，OE平分∠BOC，∴，，∵∴答：的度数为．（2）解：∵，∴∵平分∴∵∴解之：答：的度数为．【点睛】本题考查了角平分线定义、平角以及角的计算等知识，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．9．（2022秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；(2)∠EOF＝60°【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数．（1）解：OF⊥OD，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°，∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC＝×180°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．10．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；(2)在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，则，先根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义求出的值，从而可得的度数，然后根据对顶角相等即可得；（2）先求出，再分①点在的上方和②点在的下方两种情况，根据角的和差即可得．【详解】（1）解：由题意，设，则，平分，，，，，解得，，由对顶角相等得：．（2）解：由（1）可知，，，，由题意，分以下两种情况：①如图，当点在的上方时，则；②如图，当点在的下方时，则；综上，的度数为或．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算、对顶角相等、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．11．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的平分线，OF是OE的反向延长线．(1)求∠2、∠3的度数；(2)说明OF平分∠AOD的理由．【答案】(1)∠2＝100°，∠3＝40°(2)理由见详解【分析】（1）根据邻补角的性质，得∠2＝180°﹣80°＝100°，再求出∠AOD的度数，根据角平分线的性质求出∠3；（2）根据对顶角相等以及角平分线的定义得出∠AOF＝∠DOF即可．（1）解：∵∠2和∠BOC互为补角，且∠BOC＝80°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，∵OE是∠EOC的平分线，∴∠1＝∠EOC＝∠BOC＝40°，∵OF是OE的反向延长线，∴∠3＝∠EOC＝40°，（2）理由如下：由（1）得∠3＝∠EOC＝40°，又∵∠AOF＝∠1＝40°，∴∠AOF＝∠DOF，∴OF平分∠AOD．【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，理解角平分线的定义，掌握对顶角相等以及邻补角的性质是解题的关键．12．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期中）如图，直线与相交于点，．(1)若，判断与的位置关系，并证明；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂直的定义求解即可；（2）根据角的和差及“对顶角相等”求解即可．（1），理由如下：，，，，，即，；（2），，，，，，．【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟记对顶角、邻补角的概念是解题的关键．13．（2022春·陕西安康·七年级统考期末）如图，点在直线上，与互补，平分．(1)若，则的度数为______；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据互补的定义，邻补角以及角平分线的定义解答即可；（2）根据互补的定义和角平分线的定义列出方程解答即可．（1）解：∵点在直线上，，∴，∵与互补，∴，∵平分，∴，∴．故答案为：．（2）设为x，∵点在直线上，∴与互补，∵与互补，∴，∵平分，∴，∴，∵与互补，即，，解得：，∴．∴的度数为．【点睛】本题考查补角问题，涉及互补的定义，邻补角，等角的补角相等，角平分线的定义．理解和掌握互补的定义，邻补角以及角平分线的定义是解题的关键．14．（2022春·七年级课时练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数；(2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由．(3)将图1中的三角板绕点按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．（直接写出答案）【答案】(1)(2)平分；理由见解析(3)30或12秒【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）先由对顶角性质得=30°，再由，得，从而得出结论；（3）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵恰好平分，∴，∴，∴；（2）解：∵（对顶角），．∴，又∵，∴．∴∴平分（3）解：30或12．设三角板绕点旋转的时间是秒，∵，∴，如图，当的反向延长线平分时，，∴，∴旋转的角度是，∴，∴；如图，当平分时，，∴旋转的角度是，∴，∴，综上，或，即此时三角板绕点旋转的时间是30或12秒．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．15．（2022秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD．(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．【答案】(1)∠EOC＝20°；(2)①∠EOB＝；②∠EOB＝∠AOC；(3)当0°<∠AOC≤90°时，∠EOB＝∠AOC＋120°；当90°<∠AOC≤120°时，∠EOB＝240°－∠AOC．【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝∠AOC＋120°，最后根据周角的定义计算得出答案．（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，∴∠DOF＝∠AOD＝20°，∴∠EOC＝∠DOF＝20°；（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝∠AOD＝60°－，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－，由题意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝α－60°，∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－＋α－60°＝；②观察①中结果可得：∠EOB＝，证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC－60°＝∠AOC；（3）解：①当0°<∠AOC≤90°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°．②当90°<∠AOC≤120°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，∴∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°，∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－∠AOC－120°＝240°－∠AOC．【点睛】本题考查了补角的定义，角的和差计算，对顶角相等，理清各角之间的关系是正确计算的前提．考点2：补全证明过程典例：（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）完成下面推理过程.在括号内、横线上填空或填上推理依据．如图，已知：，，，求证：．证明：∵（已知）∴______（______）∵（已知）∴______（______）即∴∵（已知）∴______（______）∴EF∥______（______）∴（______）．【答案】；两直线平行，内错角相等；90°；垂直定义；；同角的余角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【分析】根据平行线的性质得到，根据余角的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴90°（垂直定义），即，∴，∵（已知），∴（同角的余角相等），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．方法或规律点拨本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．巩固练习1．（2022春·吉林长春·七年级期末）如图，直线，，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵（已知），∴（

）（

）．又∵，（已知），∴（等式的性质）．∴（

）．∴（

）（

）（

）．∴（

）（

）．∴．【答案】，两直线平行，内错角相等，等量代换，，，同旁内角互补，两直线平行，，两直线平行，同位角相等．【分析】根据题干的提示，利用平行线的判定与性质逐步填写理由，从而可得答案．【详解】解：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．又∵，（已知），∴（等式的性质）．∴（等量代换）．∴（同旁内角互补，两直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．∴．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键．2．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）根据题意，完成推理填空：如图，，，试说明．解：∵（已知）∴______（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵（已知）∴______＋______，（

）∴（等量代换）【答案】；；；两直线平行，同旁内角互补【分析】根据平行线的性质和平行线的判定解答．【详解】解：∵（已知）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵（已知）∴，（两直线平行，同旁内角互补）∴（等量代换）故答案为：；；；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．（2022春·八年级单元测试）（1）完成下面的推理说明：已知：如图，，、分别平分和．求证：．证明：、分别平分和（已知），，（）．（），（）．（）．（等式的性质）．（）．（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行【分析】（1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出；（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．【详解】解：（1）、分别平分和（已知），，（角平分线的定义），（已知），（两直线平行，内错角相等），（等量代换），（等式的性质），（内错角相等，两直线平行），故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．（2022春·福建福州·七年级校考期末）如图，平分，F在上，G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵（已知），（）∴___________（等量代换）．∴（）∴______（___________）．∵平分，∴______（___________）．∴（）【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；等量代换【分析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出即可．【详解】解：∵（已知），（对顶角相等），∴（等量代换），∴（同旁内角互补，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等），∵平分，∴（角平分线的定义），∴（等量代换），故答案为：对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；等量代换．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．5．（2021春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）证明：∵，（已知）∴（垂直定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴___________（___________）∵（已知）∴（___________）∴（同位角相等，两直线平行）∴（___________）∵（已知）∴（垂直定义）【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等【分析】先证明,推出，再得到,再利用平行线的性质即可得到结论．【详解】证明：∵，（已知）,∴（垂直定义）,∴（同位角相等，两直线平行）,∴（两直线平行，内错角相等）,∵（已知）,∴（等量代换）,∴（同位角相等，两直线平行）,∴（两直线平行，同位角相等）,∵（已知）,∴（垂直定义）．故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质并准确识图是解题的关键．6．（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，，，，求的度数．解：∵，∴（）．又∵，∴（）．∴（）．∴（）．∵，∴．【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；【分析】根据平行线的性质和已知求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：∵，∴（两直线平行，同位角相等．）又∵，∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，∴．故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线．请补全下述证明过程：∵，∴______（____________________________________）．∵，，∴．∵，______，∴______．∴（____________________________________）．【答案】；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行．【分析】根据，可得，从而得到，进而得到，即可．【详解】证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等）．∵，，∴．∵，，∴．∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．8．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）推理填空：如图，直线被直线所截，是的角平分线，若，求∠4的度数．解：∵直线与直线相交，∴．（）∵是的角平分线，∴，（）∵，（已知）∴，（等量代换）∴，（等量代换）∴，（）∴，（两直线平行，同位角相等）【答案】见解析【分析】根据平行线的判定及性质求解，一步步把求解的过程补充完整即可．【详解】解：∵直线与直线相交，∴（对顶角相等），∵是的角平分线，∴，（角平分线的定义），∵（已知），∴（等量代换），∴等量代换），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．9．（2022秋·湖南邵阳·七年级校考期中）已知，如图，平分平分．求证：．请将下列证明过程中的空格补充完整．证明：∵，∴．（

）∵平分平分，∴．（

）∴．∴．（

）∴．（两直线平行，内错角相等）∵，∴，即．（

）【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行；；垂直的定义【分析】根据，可得，再由平分平分，可得，从而得到，进而得到，即可．【详解】证明：∵，∴．（两直线平行，同位角相等）∵平分平分，∴．（角平分线的定义）∴．∴．（同位角相等，两直线平行）∴．（两直线平行，内错角相等）∵，∴，即．（垂直的定义）故答案为∶两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行；；垂直的定义【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．10．（2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）完成下面的证明：如图，点在上，，连接，平分，，于点．求证：．证明：∵，∴（_____________________）．∵，∴，即．∵平分，∴______（__________________）．∴，∴（________________________）∴__________________（________________________）．∵，∴______（______________________）．∴．【答案】两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可．【详解】证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等）．∵，∴，即．∵平分，∴（角平分线的定义）．∴，∴（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，内错角相等）．∵，∴（垂直的定义）．∴．故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．11．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）填空并在括号内加注理由．已知：如图，，，，，求证：．证明：∵，（已知）∴（________________）∴（________________）∴________（________________）∵（已知）∴（________________）∴（同位角相等，两直线平行）∴________（________________）∵（已知）∴∴∴（________________）【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等；垂直定义【分析】先证得，可得到，从而得到，进而得到，即可求证．【详解】证明：∵，（已知）∴（垂直定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵（已知）∴（等量代换）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）∵（已知）∴∴∴（垂直定义）故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等；垂直定义【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．考点3：在生活中应用平行线性质和判定典例：（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，(1)在图②所示的图形中，若，，则___________(2)在图⑧中，若，，则_________(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案；（2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案；（3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论．（1）解：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∵，∴∴，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∴，∴．方法或规律点拨本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（

）A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°B．嘉嘉的结果完全正确C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值【答案】A【分析】分三种情况：若，若，若，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：若，∴∠CFE=∠E=90°，又∵∠C=30°，∴，∴∠DAB=45°-30°=15°；若，；若，，．综上所述，为或或．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．2．（2022秋·贵州安顺·七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】过点B作BEAD，利用平行线的性质可得∠ABE＝110°，从而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：过点B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°−∠EBC＝150°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，∵，，，又，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．4．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式上，我国自主研制的“DF—17导弹”首次登场，震撼全球．如图是“DF—17导弹”上的一个零件的平面图，已知AB∥FE∥DC，AF∥ED∥BC，∠B=65°，则等于（

）A．130° B．120° C．115° D．90°【答案】A【分析】根据平行线的性质进行角的转换即可求解；【详解】解：∵AB∥DC，∠B=65°，∴∠C=180°-∠B=180°-65°=115°，∵ED∥BC，∴∠D=180°-∠C=180°-115°=65°，∵FE∥DC，∴∠DEF=∠D=65°，∵AF∥ED，∴∠F=∠DEF=∠D=65°，∴∠F+∠D=65°+65°=130°．故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质并根据题意灵活应用是解题的关键．5．（2022春·广东深圳·八年级校考期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为______．【答案】##25度【分析】根据平行线的性质求得，根据即可求解．【详解】解：∵，∴．∵，∴；故答案为25°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上．若，则的度数是______．【答案】##度【分析】根据平行线的性质及邻补角的性质作答．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．8．（2022春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是、，则称有序实数对是点的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有_________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据“距离坐标”的定义逐条分析即可．【详解】解：①若“距离坐标”为，则点有且仅有1个，是与的交点O，正确；②如图所示，若“距离坐标”为，则，，的点有且仅有2个，点O的两侧直线上各有一个到直线距离为1的点，正确；③若“距离坐标”为，则，，的点如图所示，过直线的一点作的平行线且到直线l2的距离等于2，过直线l2的一点作的平行线且到直线的距离等于1的直线相交于、、、，有且仅有4个，正确．所以上述命题中，正确命题是：①②③．【点睛】本题考查了新定义“距离坐标”、平行线的性质、点到直线的距离，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与作图能力，属于中档题．9．（2022秋·山东济南·六年级校考期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°【答案】90度##90°【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．【详解】如图，设置点M、N，根据题意有：，∵CD与AB的方向一致，∴，∴∠DCB=∠CBA，∵，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，∴∠ABC=90°，∴∠DCB=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．10．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是__．【答案】30°【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．【详解】解：如图：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．11．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝140°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝35°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是_.【答案】##105度【分析】过D点作DIEF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝40°，根据平角的定义可求∠ADB＝15°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝75°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝105°．【详解】解：过D点作DIEF，∵∠F＝140°，∴∠FDI＝40°，∴∠ADB＝180°−90°−40°−35°＝15°，∴∠ABH＝90°−15°＝75°．∵GHAB，∴∠H＝180°−75°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（2022秋·山东泰安·六年级统考期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则______．【答案】270°##270度【分析】过点B作BFAE，如图，由于CDAE，则BFCD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD＋∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠CBF＋∠BCD＝270°．【详解】解：过点B作BFAE，如图：∵CDAE，∴BFCD，∴∠BCD＋∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠CBF＋∠BCD＝90°＋180°＝270°．故答案为：270°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．13．（2022秋·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．【答案】2或8##8或2【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），推出t≤18-4，即t≤14．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．【详解】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），∴t≤18-4，即t≤14．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠=∠，30t=10（4+t），解得t=2；②如图2，当A灯发出的光束旋转至AN回转时，∠+∠=180°，30t-180+10（4+t）=180，解得t=8；综上所述，A灯旋转的时间为2或8秒．故选：2或8．【点睛】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、有平行的性质列出每种情况的等量关系．14．（2022秋·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；(2)96，90(3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．（1）证明：∵（已知），∴（①两直线平行，内错角相等），∵，（已知），∴（②等量代换），∴，即：，∴（③内错角相等，两直线平行）故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；（2）解：由题意得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：96，90．（3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：解：由（1）得，，，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质．15．（2022秋·浙江台州·七年级校联考期中）如图1，MN、EF是两面互相平行的镜面，根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面MN上，产生反射光线BC，则一定有∠1＝∠2．试根据这一规律：(1)利用直尺和量角器作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线GH；(2)在（1）的作图背景下，试判断AB与GH的位置关系，并说明理由．(3)如图2，若∠1＝30°，有一镜面PQ，从PN开始绕着点P以3°/s的速度顺时针转动（0°＜＜180°），当转动多少秒时，光线照射到镜面PQ上，产生的反射光线与镜面MN平行？(4)如图3，若∠1＝30°，∠NPQ＝（0°＜＜180°），光线经镜面EF反射后照射到镜面PQ上，产生的反射光线与入射光线的夹角为，请直接写出与之间的关系：．【答案】(1)见解析(2)ABGH，理由见解析(3)25秒或35秒(4)或【分析】（1）利用直尺和量角器作∠BGE＝∠GHF即可；（2）证明∠ABG＝∠BGH，即可得到结论；（3）设转动t秒时，产生的反射光线与镜面MN平行．分两种情况列方程求解即可；（4）分三种情况分别求解即可．（1）如图1，（2）ABGH，证明：由题意可得，∠1＝∠2，∠EGB＝∠HGF，∵MNEF，∴∠2＝∠EGB，∴∠1＝∠2＝∠EGB＝∠HGF，∴180°∠2＝180°∠EGB∠HGF，即∠ABG＝∠BGH，∴ABGH．（3）设转动t秒时，产生的反射光线与镜面MN平行．①当BC经EF反射后照射到PQ．如图2，

可列出方程：，解得．②BC直接照射到PQ．如图3，可列出方程：，解得．综上所述，设转动25秒或35秒时，产生的反射光线与镜面MN平行．（4）或，理由是：当0°＜＜90°时，如图4，则∠JRT＝，作RSEF，∵MNEF，∴MNEFRS，∴∠SRP＝∠NPQ＝，∠RTF＝∠SRT＝∠BTE＝∠2＝∠1＝30°，∴∠PRT＝∠JRQ＝∠PRS＋∠SRT＝＋30°，∴∠PRT＋∠TRJ＋∠JRQ＝2（＋30°）＋＝180°，即．当＝90°时，如图5，则∠JRT＝，∵MNEF，∴∠TSR＝∠SPN＝90°，∠1＝∠2＝∠BTE＝∠RTS＝30°，∴∠TRS＝∠JRP＝60°，∴∠JRT＝＝60°，∴2－＝120°；当90°＜＜180°时，如图6，则∠JRT＝，作RSEF，∵MNEF，∴MNEFRS，∴∠SRP＝∠NPQ＝，∠RTF＝∠SRT＝∠BTE＝∠2＝∠1＝30°，∴∠JRS＝∠JRT－∠SRT＝－30°，∴∠JRP＝∠TRQ＝∠SRP－∠JRS＝－（－30°）＝－＋30°，∵∠JRP＋∠TRQ＋∠JRT＝2（－＋30°）＋＝180°，∴．故答案为：或【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．16．（2022春·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)ABCD，理由见解析(2)65或115(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．【详解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：65或115；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时ABCD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，ABCD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．考点4：平行线中的折点问题典例：（2022秋·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补(2)见解析(3)【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．（1）解：过点F作，如图，∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直线的两直线平行），∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：过点D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F过点D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如图（4）所示，过点C作，过D作，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴．方法或规律点拨本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作，根据，得出，根据平行线的性质求出，，即可得出答案．【详解】解：过点C作，如图所示：∵，∴，∴，，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．2．（2022春·四川雅安·八年级统考期末）如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先过点C作，过点D作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【详解】解：过点C作，过点D作，∵，∴，∴，∵，，由①②得：．即故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．4．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，，设，，正确的选项是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．【详解】解：如图：的顶点分别为，延长交直线与点，当，则，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；C、，，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．5．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知，则___________．【答案】【分析】如图，过作过作证明可得再证明从而可得答案．【详解】解：如图，过作过作∵∴∴∴而∴∵∴∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．6．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________.【答案】【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解.【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，∵，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.7．（2022秋·甘肃武威·七年级校考期末）如图，若ABCD，则，，则______．【答案】##20度【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．【详解】解：如图，过点作，则，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．8.（2022春·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．【详解】证明：过点C作，∴，∵，∴，∴，∴．9.（2022春·八年级课时练习）已知：如图，求证：．【答案】见解析【分析】过点P作，即得出，再根据平行线的性质可得出，，最后由，即可证．【详解】证明：如图，过点P作．∴．∵，∴，∴．∵，∴．10．（2022秋·贵州毕节·七年级校考期中）已知：如图，，，，，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质可得，再由可得出答案．【详解】解：∵，，∴，∠C=∠ABC=65°，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，关键要掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补．11．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作，，，，．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．【详解】（1）解：，，（两直线平行，内错角相等）；故答案为：；（2）解：过C作，，，，，，，；（3）解：①过E作，，，，平分，，，平分，，，，；②过E作，，，，平分，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．12．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到．求证：，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点作，∴，∵，，∴∴，∵，∴，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图2，若，，求的度数；(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________．【答案】(1)240°(2)32°【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°；（2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解．（1）过E点作，过F点作，如图，∵，，，∴，，，∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°，故答案为：240°；（2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，∵∠E=64°，∴∠ABE+∠CDE=64°，∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∵∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，故答案为：32°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键．考点5：图形平移性质的应用典例：16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．（1）阴影部分的周长为______；（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．【答案】

####【分析】（1）由平移的性质可得出，．再根据，即可求出阴影部分的周长；（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可．【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形，，．，阴影部分的周长为，故答案为：；（2）过A点作于，如图，∵∠BAC=90°∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，即．∵三角形的面积比三角形的面积大，即，∴，解得．故答案为：．方法或规律点拨本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键．巩固练习1．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，将沿BC方向平移3cm得到，若的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为（

）A．30cm B．24cm C．27cm D．33cm【答案】A【分析】根据平移的性质可得DF=AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=3cm，∴=30（cm）故选：A．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．2．（2022春·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）如图，将周长为厘米的沿射线方向平移厘米得到，那么四边形的周长为___________厘米．【答案】【分析】利用平移的性质得到，然后根据可计算出四边形的周长．【详解】解：沿射线方向平移厘米得到，，，cm．即四边形的周长为．故答案为．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．3．（2022春·上海宝山·七年级校联考期末）已知线段的长度为9厘米，现将线段向左平移5厘米得到线段，点A对应点C，点B对应点D，且A，B，C，D在同一直线上，那么的长度是____厘米【答案】【分析】根据平移的性质直接求解即可．【详解】解：经过平移，将线段向左平移5厘米得到线段，如图，∴（厘米），而（厘米），则（厘米）．故答案为：14．【点睛】本题利用了线段的和差关系，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线时）且相等，对应线段平行（或在同一直线时）且相等．4．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯__米．【答案】8【分析】根据平移的性质，即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长．【详解】解：由平移的性质可知，所需要的地毯的长度为，故答案为：8．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2022秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是____平方米．【答案】42【分析】直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．【详解】解：（平方米）．故种植花草的面积是42平方米．故答案为：42．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．6．（2022春·山东青岛·九年级统考期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______．【答案】48【分析】先利用平移和平行线截线段成比例定理求出线段的长度，再利用面积公式求出两个三角形的面积，再求差即可．【详解】由平行可知，,则∵∴∴∴故填48．【点睛】本题考查平移和平行线截线段成比例定理，关键是求出所需线段的长度．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移4cm，得到三角形，已知，，则阴影部分面积为______．【答案】【分析】根据平移的性质求出的长，再根据梯形面积公式求解即可．【详解】解：由平移的性质可得，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平移的性质，梯形面积，熟知平移的性质是解题的关键３．8．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．【答案】【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解．【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，，所以这个小直角三角形都有一条边与平行，这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长，故答案为：【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键．9．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）将棱长为的正方体毛坯，切去一个棱长为的小正方体，得到如图所示的零件，则该零件的表面积是___________．【答案】54【分析】根据平移的性质，从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积．【详解】解：挖去一个棱长为的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是．故答案为：54．【点睛】本题考查了整体的思想及简单几何体表面积的计算能力．利用平移的性质是解题的关键．10．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，已知矩形，，，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为______．【答案】【分析】根据平移的性质，可知三个矩形的周长等于矩形的周长．【详解】如图所示：三个小矩形的周长等于矩形的周长∴三个小矩形的周长等于故答案为：．【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解题的关键．11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此