2024年高考复习数学第2章第1节函数及其表示

第二章函数

第一节函数及其表示

考试要求：1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列

表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

--------6必备知识-回顾教材重“四基---------

一、教材概念-结论-性质重现

I.函数的概念

出数

前提设A,8是两个非空的实数集

如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对

对应关系/：Ai

应关系/,在集合B中都有唯一确定的数y利它对应

名称称f:Af8为从集合A到集合B的一个函数

记法函数y=7U），

2.函数的定义域、值域

在函数），=火幻，x£A中，》叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与

x的值相对应的），值叫做函数值，函数值的集合［Ax）\xEA）叫做函数的值域.

3.函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

4.表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析法.

微提醒■■■

直线x=a（a是常数）与函数y=/U）的图象有0个或1个交点.

5.分段函数

在函数的定义域内，对于白变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,称这

种函数为分段函数.

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的史L值域是各段值域

的并集.

微提醒■■■

分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，有时要分类讨论.

二、基本技能-思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“，错的画“X”.

(1)函数)=1与y=x0是同一个函数.(X)

⑵对于函数/：A-B,其值域是集合8.(X)

=+是一个函数.(X)

(4)若两个函数的定义域与对应关系相同，则这两个函数是同一个函数.(J)

(5)函数)，=/&)的图象可以是一条封闭的曲线.(X)

2.设集合M={x|0W_xW2},N={y[()WyW2}.下面的4个图形中，能表示从集

合M到集合N的函数关系的有()

A.①②③④

C.②③D.②

C解析：①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函

数的值域，正确；④不满足函数的定义.

3.已知一次函数/U)的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为()

A.J(x)=~xB.J(x)=x-\

C.J(x)=x+1D.火幻=-x+1

D解析：设贝x)=av+0(“#)),则有a01b_0

ib=1,

所以。=—1,b=1,所以y(x)=-x+1.

4.函数_/U)=W+lnx的定义域是.

(0,4-00)解析：要使函数有意义，需满足产+10°'即Q0,所以函数府)6勺

.X>0,

定义域为(0,4-<x>).

5.设段)=［：8,a),若火2)=4,则a的取值范围为_________.

xz,x6［a,+ooj.

(一8,2］解析：因为12)=4,所以2£［凡+oo),所以aW2,所以。的取值范

围为(一co,2J.

-、关键能力-研析考点强“四翼7--------

考点1函数的定义域——基础性

多维训练」

1.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是()

A./(x)=x*2—2x—1,g(s)=f-2s—1

B.J(x)=x~I,g(x)=£

r、XN0,

C.«¥)=疗，g(x)=\

I—%,%<0

D.危)=/一%3,^(x)=xV-x

AC解析：对于A,yU)=f—2%—1的定义域为R,g⑸=s2-2s-l的定义域

为R,定义域相同，对应关系也相同，是同一函数：对可B,j(x)—V—%3——-xV-x

的定义域为｛x|xW0),g(x)=xQ的定义域为｛HxWO｝,对应关系不同，不是同一

函数；对于c,yu)=：=i的定义域为「巾和｝,g(x)=^=i的定义域为｛力和｝,

定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D,7(x)=x的定义域为R,g(x)

=m=|4|的定义域为R,对应关系不同，不是同一函数.故选AC.

2.(2022•烟台模拟)函数凡r)=In二；+装的定义域为()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(0,1)D.(0,I)U(1,+8)

(―>0,x

B解析：要使函数人用有意义，应满足XT解得心>1,故函数/u)=ln—

x>0,"I

+妙的定义域为（1,+oo）.

3.己知等腰三角形A8c的周长为10,底边长），关于腰长x的函数解析式为），=

10-2x,则函数的定义域为（）

A.{x|x£R}B.{小>0}

C.{.r|0<x<5）D.[x||<x<5]

（x>0,

D解析：由题意知《10-2%>0,即|〈xV5.

l2x>10-2x,

4.若函数），=/&）的定义域是[0,2],则函数g（©=△当的定义域为.

[0,1）解析：因为），=/"）的定义域为[0,2J,

所以，要使四）有意义应满足X-'解得0<<1.所以g（x）的定义域是[0,

1%—1H0,

1）.

解题通法

常见函数类型的定义域

（1）分式中，分母不为0.

（2）偶次方根中,被开方数非负.

（3）对于y=.r0,要求*0,负指数的底数不为0.

（4）抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围.

（5）对数式中，真数大于0.

考点2求函数的解析式——粽合性

「典例引领」

例。“求下列函数的解析式：

⑴已知网一sinA）=COS2X,求於）的解析式；

⑵己知氏巡+—=/+*求危）的解析式；

（3）己知/W是一次函数目双—1）一贺入-1）=2丫+17,求4x）的解析式；

（4）定义在（一1,1）内的函数人工）满足"幻一人一用=吆。+1）,求人处的解析式.

解：（1）（换元法）设1—siiu=/,/£[0,2],则sinx=1一1.因为川一sinx）=cos2x

=1-sin1,所以火。=1一(1一。2=21一产，00,2].即危)=2x—以,%£[0,2J.

(2)(配凑法)因为/(/+妥)=(/+专)2一2,所以於)=『一2,xG[2,+oo).

(3)(待定系数法)因为人¥)是一次函数，可设,/U)=or+仇W0),所以3[,心+1)+加

Q2

■'解得

{5a+b=17,

(a=2,

Ib=7.

故yu)的解析式是yu)=2x+7.

(4)(解方程组法)当工£(-1,1)0+,有4U)—A-x)=lg(x+l)①.又一(—1,1),

以一x代替x得2/(—x)-/W=lg(—rH)②.由①②消去人一的得於)=|lg(A-+1)

+|lg(l-x),xe(-i,I).

解题通法

求函数解析式的3种方法

当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析

待定系数法

式

如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元

换元法

法将内函数换元，然后求出外函数的解析式

如果给定两个关于凡K)的关系式，可以通过变量代换建立方程

解方程组法

组，再通过解方程组求出函数解析式

「多维训练」

1.已知y(：+i)=igx,求yu)的解析式.

解：令白+1=/,得工=三.

代入得i。=lgg.又x>0,所以/>1.

故危)=ig三，X£(I,4-oo).

x—1

2.已知一/U)是二次函数，且五0)=0,/U+l)=/U)+x+l,求九丫)的解析式.

解：设凡¥)=ar+bx+c(於0).

由10)=0,知c=0,所以7U)=O?+/M.

又由yu+i)=/u)+x+i,

得a（x+1）2+力。+l）=ov*2+/u+x+I,

即加+（2〃+力）4+。+〃=4*+（/?+l）x+1,

“f2a+b=b+l,__i

所以|解得〃=/?=：.

2

、Q+b=1,

所以於尸产+3，xeR

3.已知函数/U）满足|一]）+Z/U）=2l求/U）的解析式.

解：由人一”）+2/（.丫）=21①

得应r）+〃（一%）=2].②

①X2—②，得力（为=2四一2一。

即./U）=2彳/+1—2一4

«3

2x+1-2"x

故段）=2「，xGR

考点3分段函数——应用性

「典例引领」

考向1分段函数求值

例❷,（1）（2022♦浙江卷）已知函数"尸1则/（/（；））=

x+--1,x>1,\V2//

X

:若当工£口，口时，iqww3,则力一〃的最大值是.

2

3十遍解析：由已知可得尼）=_（；）+2=：,始产/k1=条所以

当xWl时，由10/（x）W3可得1W-/+2W3,所以一IWJCWI；

当x>\时，由1勺*）<3可得l（x+：—lW3,所以laW2+J5.

故1Wy（x）<3等价于一1<rW2+g,所以[a,b]C[―1,2+V3],所以。一〃的

最大值为3+0.

”，皿fx2+2%4-2,x<0,,

（2）设函数/U）=若pJ（/（a））=2,则。=__________.

-x2,x>0.

V2解析：当。>0时，y（d）=—«2<0,用⑷）=/—2〃+2=2,

得。=近（。=0与。=一夜舍去）：

当aWO时，«〃)=。+2°+2=3+1)2+1>0,flfia))=-(a2+2a+2)2=2,此方程

无解.

综上可知，a=V2.

解题通法

求分段函数的函数值的步骤

(1)确定要求值的自变量所在区间.

(2)代入相应的函数解析式求值,直到求出具体值为止.

提醒：①自变量的值不确定时，必须分类讨论.

②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用.

③出现求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值.

考向2分段函数与方程、不等式

例❸，(1)(2022•安庆模拟)己知函数凡0=1火乙一14V0,若实数。满足

火〃)=加一1),财心)=()

A.2B.4

C.6D.8

D解析：由题意得。20且一1<〃一1V(),

即OVaVl.由几)=加一1),即2〃=疯解得。三，则尼)=逃4)=8.

(广，…

(2)设函数启)=则不等式的解集为()

1-logi(x-1),X>1,

2

A.[0,3]B.(—8,3]

C.[0,+8)D.[0,1]U[3,+8)

A解析：依题意，当xWl时，由以幻=6)”-1忘2,得2-这2,解得x20,则

OWxWl.

当Q1时，由7U)=l-logK%-l)W2,得10g2(x-l)<U即O<X-1W2,解得

2

laW3,则1<XW3,所以不等式y(x)W2的解集为[0,3J.

解题通法

求参数或自变量的值(范围)的解题思路

(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与

该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.

(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解.

「多维训练」

x+3,x>10,

I.设贡幻=则型)的值为(）

/（X+5）,x<10,

A.16B.18

C.21D.24

%+3x>10

B解析：因为'所以<5)=<10)=火15)=15+3=18.

l/(x+5),x<10,

2Xx>0

2.已知函数/U)=''若八〃)+次1)=0,则实数。=__________.

K+1,X<0.

-3解析：当。>0时，由大0+41)=0得2"+2=0,无实数解；当aWO时，由

J(a)+J(l)=O得〃+1+2=0,解得〃=一3,满足条件.

课时质量评价(六)

A组全考点巩固练

1.下列集合A到集合8的对应/是函数的是()

A.A={-\,0,1),8={—1,0,I},/：A中的数的平方

B.A={0,1},B={-1,0.1},/：A中的数求平方根

C.A=Z,B=Q,f：A中的数取倒数

D.A=R,8={正实数},/：4中的数取绝对值

A解析：选项B,集合A中元素出现一对多的情况；选项C,D中均出现元素

0无对应元素的情况.

2.若函数了=人工)的定义域为M={x|—2Wx<2},值域为N={.y|0q)W2},则函

数,，=/*)的图象可能是()

B解析：A中函数的定义域不是[-2,2],C中图象不表示函数，D中函数的值

域不是[0,2].

3.若函数府)满足川一lnx)=%则火2)等于()

A.-B.e

2

C.-D.-1

e

B解析：方法一：令1—lnx=f,则4=标”.于是A0=+，即/U)=W，故12)

1

Cx1C**

=e.

方法二：由1—lnx=2,得x=3，这时：=4=e,即/(2j=e.

e

4.若A正-l)=x+近+1,则./U)的解析式为()

A.危)=/+犬+1(x2-1)

B./U)=f——

C./U)=f+3x+3(x,—1)

D./U)=(x—l)2(x2—1)

C解析：①6-1)=%+石+1,令/=4一12—1,则4=/+1,；./(，)=(，+1)2

+f+1+1=产+3/+3(12—1),/./(.r)=.v2+3x+3(x^—1).

5.已知函数y=«r)满足於+1)=〃U),且/5)=沫3)+4,则旭)=()

A.16B.8

C.4D.2

B解析：因为/U+l)=Mx),且.”)=浜3)+4,故2做)=|八4)+4,解得犬4)=

8.

6.(2022•北京卷)函数80=工+4^的定义域是_________.

X

(-oo,o)u(o,11解析：因为yu)=L+x/T方，所以"一'解得工<1且

“"0,

#0,

故函数的定义域为(-8,0)U(0,1].

7.记国为不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2,[2.3]=2.已知函数4x)=

2日一1,x>l,则顺_]2))=_____,y(x)W3的解集为__________.

1%2+1,x<1,

3[-V2,3)解析：根据国的定义,得胆一1.2))=42.44)=2[2.44]-1=3.当

xll时，由火X)=2W-1W3,得WW2,所以x£[l,3):当x〈l时，由儿i)=Y

+1W3,得一VSWxvl.故原不等式的解集为[一企，3).

岂2+1xV0

'-'若犬〃)=1,则。=.

(Inx,x>0,

%2+1XV0

0或e解析：因为函数"丫)=('-'若人。)=1,

Jnx,%>0,

则当々W0时，，+i=],所以a=o；当。>0时，ln«=l,所以a=e.综上，a=

0或e.

B组新高考培优练

1,x>0,

{0,x=0,贝")

-1,%<0,

A.|x|=x|sgnx\

B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx

D.\x\=xsgnx

D解析：当xVO时，|.r|=—x,x|sgnx|=x,xsgn\x\=x,|.r|sgnx=(—x)•(—I)

=x,故选D.

10.(多选题)下列函数中，满足J(18x)=l跋x)的是()

A.J(x)=\x\

B.flx)=x-\x\

C./U)=JV+2

D.J(x)=-2x

ABD解析：若,/U)=|x|,则418x)=|18X=18W=l骐r);若凡。=.1一国，则川8x)

=18x-118x|=18(x-|x|)=18Ax);若危)=x+2,则川8x)=18x+2,而18/(x)=

18x4-18X2,故,")=x+2不满足川8处=1跋幻；若/幻=一2片则贯184)=一

2X18A=18X(2A)=18AA).

11.设yw，g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(/■・g)。)：(/,,g)(x)

...x,x>0»ex,x<0,

=Ag(x)).若1/U)={?g(x)=,则nl()

x<0,Unx,x>0,

A.A•力(，=於)

B.(pg)(x)=/U)

C・(g・./)(x)=g(x)

D.(g・g)(x)=g(x)

A解析：对于A选项，(/・0(幻=用(幻)=['Fl〉"当x>0时，>/W=

fW<0,

x>0,(f-/(x)=7W=x;当x<0时，{¥)={>0,(f・力。)=/(工)=『：当x=0时,

火幻=(),(f*/)