2024年高考复习数学第7章第2节等差数列

第二节等差数列

考试要求：1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和

公式的关系.

------------X必备知识・回顾教材重“四基——

一、教材概念-结论-性质重现

1.等差数列的定义

如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母史表示.

递推公式为：。吐La“=d(〃£N*).

微提醒”“

注意定义中“从第2项起”“同一个常数”的意义.

2.等差数列的通项公式

(1)首项为a\,公差为d的等差数列｛〃”｝的通项公式为l)d.

(2)若已知以，公差是d,则这个等差数列的通项公式是a〃=ak+5—k)d.

微提醒”“

当今0时，等差数列通项公式可以看成关于〃的一次函数a〃=d〃+(ai—").

二等！中I®

由三个数小4,8组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做

。与的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a±b.

4.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广公式：Un—am+(〃一/"”(〃,m七N，)od="：.：；(〃工〃1).

(2)若｛&｝为等差数列,且m+/i=p+g=2如则加+m=即+附=26°(6，/?,p,

q,IP£N").

(3)若｛a〃｝是等差数列,公差为d,则以，ak+m,a,…出MWN)是公差为〃0

的等差数列.

(4)若｛&｝,｛/%｝是等差数列，则｛/%”+被”｝也是等差数列.

5.等差数列的前〃项和公式及其性质

⑴设等差数列｛〃”｝的公差为d,其前〃项和S产竺等=〃m+g0d.

⑵数列S〃”S2M-S〃”S3,“一S2"”…也是等差数歹|J.

⑶闱为等差数列.

(4)〃为奇数时，Sn=〃a中(。>|i=tln+l)>S=.i>,S<B=----4/d-,所以Sfij—S=

a中•

〃为偶数时，SLS奇=竽

微提醒■■■■

薮列｛a〃｝是等差数列<=>数列的前n项和公式Sn=+(Qi—〃=S”=An2+

8〃(A,B为常数)，所以当今0时，等差数列前〃项和公式可以看成关于〃的二

次函数，且常数项为0.

二、基本技能•思想・活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“X”.

(1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等

差数列.(X)

(2)等差数列/〃｝的单调性是由公差d决定的.(V)

(3)等差数列的前〃项和公式是常数项为()的二次函数.(X)

(4)若仅“｝是等差数列，公差为d,则数列｛G〃｝也是等差数列.(J)

2.已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，若3=2,痣+川。=28,则S9=()

A.36B.72

C.144D.288

B解析：因为例+出0=2。|+164=28,0=2,所以〃=*所以S<)=9X2+等x

：72.

3.己知等差数列优〃｝满足：G=13,。13=33,则数列｛.｝的公差为()

A.1B.2

C.3D.4

B解析：公差"=答苧=2.

13—3

4.一个等差数列的首项为白，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差

d的取值范围是()

A.d>2B.d<之

7525

C.—<cl<—D.—<^—

75257525

D解析：由题意可得削>1'即!手+941'解得2Vd4

7525

U9<1,已+8dWl,

5.已知等差数列5,彩3；,…，则前•〃项和8=.

亮(15〃一〃2)解析：由题知公差d=-今所以S“=〃〃i+的尸〃=975〃-5/)=

—(15/?-w2).

、、关键能力-研析考点强“四翼7

考点1等差数列的基本量运算——基础性

「多维训练」

1.(多选题)记S〃为等差数列伍”｝的前〃项和.已知S4=0,如=5,则下列选项正

确的是()

A.42+。3=0

B.=2H—5

C.Sn=n(n—4)

D.d=~2

ABC解析：由题意可知，|2解得％一—3,故如=2〃一

(的=+4d=5,(d=2.

5,S〃=〃2—4〃.故选ABC.

2.记S〃为等差数列｛〃”｝的前〃项和，若3s3=S2+S4,内=2,则3=()

A.-12B.-10

C.10D.12

B解析：设等差数列｛m｝的公差为乩由3s3=S?+S4,

得3[3%+吟3d]=2ai+出尹d+4s+生产24将切=2代入上式，解得d

=-3,故公=的+(5—1)d=2+4X(—3)=—10.

3.(2022•全国乙卷)记S为等差数列｛m｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差

d=.

2解析：因为2s3=3S?+6,所以2(0+42+43)=3(41+42)+6,

因为｛〃”｝为等差数列，所以6。2=3。1+3。2+6,所以3(G—m)=3d=6,解得d=

2.

解题通法

将条件用s,d表示出来后，往往需要解二元一次方程组，如果出现消元等计算

错误，会致使结果不对.

考点2等差数列的判断与证明——徐合性

「典例引领」

例D/(2022•日照模拟)已知数列｛〃〃｝,例〃｝满足的=1,〃“+1=1—亲，'=2："

其中

求证：数列｛瓦｝是等差数列，并求出数列｛小｝的通项公式.

证明：因为为+i一d=’-------!_=丁$------!_=*------!_=2,

2a-1

n+i2即-12an-l2an-l2an-l

所以数列｛仇｝是公差为2的等差数列.

又从=」一=2,所以儿=2+(〃-1)X2=2〃，

2a「l

所以2〃=」一，解得4〃=生匚.

2an-l2n

同源异考/

本例的条件变为：｛小｝是等差数列且满足小＞0,外是a和如+1的等比中项,设

。尸％+〔一比，〃WN+,求证：数列｛c0｝是等差数列.

证明：由题意得品=1,

则Cn=+1—=(ln+1。〃+2-(bt(ln+1=2(1。“+1,

因此cll+1—CM=2d(a〃+2—%+1)=2心，所以｛c”｝是等差数列.

解还通法

等差数列的4个判定方法

(1)定义法：证明对任意正整数〃都有m+1—。〃等于同一个常数.

(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2。〃+1=。”+如+2.

(3)通项公式法:得出z=p〃+夕后，再根据定义判定数列｛〃”｝为等差数列.

(4)前〃项和公式法：得出S〃=A/+8〃后，再使用定义法证明数列伍〃｝为等差数

列.

「多维训练」

已知数列仅“｝的前〃项和为S”且满足。〃+2s〃・S〃I=O(/7^2),«i=1.

(1)求证：｛2｝是等差数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

(1)证明：因为小+2明・Si=0(〃22),

所以an=—2Sn•5M-1.

又Un=Sn—S〃一1(〃22),所以Sn-\—S”=2S”■S〃一1(〃22).

又S#0,因此2--=2(/?>2).

SnS“-i

故由等差数列的定义知｛日是以己=2=2为首项，2为公差的等差数列.

(2)解:由⑴知4=正+(〃-l)d=2+(〃-1)X2=2〃,

SnS]

即Sn=­.

2n

由于当〃22时，有。〃=一2S〃・=一二

2n(n-l)

又因为不适合上式，

(11

几=1,

所以1

------;——r,n>2.

2n(n-l)

考点3等差数列性质的应用——应用性

「典例引领」

考向1等差数列的项的性质

例❷*(1)在等差数列｛a”｝中，已知白3+〃8=6,则3a2+416的值为()

A.24B.18C.16D.12

D解析：由题意知/+〃8=2ai+9d,3s+ai6=40+18d=2(a3+a8)=12.故选

D.

⑵设S”是等差数歹四｝的前〃项和,若最(则广()

A.1B.-1

C.2D.1

A解析：方法一：也=等号=%因为%=三，所以包=1.故选A.

S55(。1+。5)5a3a39S5

方法二：因为%=三=>3士"=三=2的=-13乩

a39%+2d9

万斤以Sg_9(即+的)—9(2%+8d)—9(-5d)_]

S55(。1+1)5(2%+44)5(-9d)'

解题通法

等差数列中最常用的性质

(2)若"?+〃=〃+〃，贝I。”+。〃=〃"+&/.

考向2等差数列前〃项和的性质

例❸，个正项等差数列｛切｝的前〃项和为3,前3〃项和为21,则前2〃项和为

()

A.18B.12

C.1()D.6

C解析：因为｛〃“｝是等差数列，

所以Sn,S2n-Sn,$3〃一S2r成等差数列，

即2(S2〃-S〃)=S〃+(S3〃—S2〃).

因为S〃=3,S3〃=21,

所以2(S2〃-3)=3+21—S',解得S2n=10.

解题通法

在等差数列｛〃”｝中，S为其前〃项和，则

(1)Sm,S2ni-Sm,S3nLSim…成等差数列.

(2)52〃=n(a\+ain)=…=n(cin+1).

(3)S2〃-1=⑵?—1)“〃.

「多维训练」

1.已知等差数列｛〃｝的前〃项和为S〃,若241=49+7,则S25=()

145

A.VB.145

175

c.D.175

2

D解析：因为2。“=49+413=09+7,所以ai3=7,

所以S25=®+"25)X25=25*3=]75故选D.

2

2.已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S”若Sio=l,530=5,则SM=()

A.7B.8

C.9D.1()

B解析：方法一：设等差数列｛m｝的公差为乩

(lOai+—d=1,(d=—,

则I30X29解得I臂

|30a1+—d=5,[a.=-,

所以S4()=二义40+竺经X」-=8.故选B.

1002150

方法二：设等差数列前〃项和为S=A"+8〃，

由题意知产力+1°85解得平'

(9004+308=5,(8=套

所以$尸工+白，所以&o=8.故选B.

30015

方法三：由等差数列的性质知Sio,S20—S10,S30—S20,S40—S30成等差数列，所

以2(S2O—SIO)=SIO+(S3O-S2O),所以S2o=Sio+¥=l+g=J.所以〃=(S20—Sio)一

Sio=-,所以80-5=1+3x2=3,所以S40=8.故选B.

33

方法四：由等差数列的性质知｛押｝是等差数列，

所以包也包也即三包1也成等差数列，

10，2030，4010'20'6'40'

1__£

所以阻=工+辽=工，所以§40=8.故选B.

40625

考点4等差数列前〃项和的最值一一琮合性

「典例引领」

例0♦记S为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，已知切=-7,S3=-15.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)求S”，并求S”的最小值.

解：(1)设数列｛知｝的公差为d,由题意得3m+3d=T5.

由ai=-7得〃=2,

所以数列｛〃”｝的通项公式为〃〃=，，+(〃-1)4=2〃-9.

(2)由(1)得S〃=七%・〃=/-8〃=(〃-4)2—16,

所以当〃=4时，S“取得最小值，最小值为一16.

解题通法

1.等差数列｛〃”｝的前n项和S”存在最值的情况：

如果小>0,QVO时，数列的前〃项和S“有最大值；

如果你V0,,/>()时，数列的前〃项和S”有最小值.

2.借用通项的部项变号法：

«1>(),d<0,满足［即1'°'S〃取得最大值s〃；

(即1+1—0，

的<0,6>0,满足【即1""S〃取得最小值S”.

Um+1之0，

「多维训练」

在等差数列｛〃〃｝中，3=7,公差为4前〃项和为S”当且仅当〃=8时，S〃取

得最大值，则d的取值范围为.

(d〈0,

(一1,一()解析：由题意，当且仅当〃=8时S〃有最大值，可得即

d<0,

74-7d>0,解得一IVdV一(

｛7+8dV0,

一、一题N解・深化综合提“素养”/—

「试题呈现」

在等差数列｛而｝中，已知m=20,前〃项和为S,且Sio=Si5.求当〃取何值时,

品取得最大值，并求出它的最大值.

［四字程序］

读想算思

〃取何值时，Sn1.S”的表达式.1.求通项公式转化与化归

取得最大值2.求最值的方法Cln.

2.求前〃项和S

1.利用等差数列1.数列的单调

等差数列，的=的项的符号.性.

2.Sn=­1/r—

2()»Sio=Si52.利用二次函数2.二次函数的性

—125n

的性质6质

「一题多解

法」

思路参考：先求出公差d,再由小确定S取得最大值时〃的值.

解：因为m=20,Sio=Si5,

所以10X20+北巴d=15X20+Sid,

22

所以d=

3

由a„=204-(«-I)X(-|)=-1,?4-y.

因为你=20>0,，/=一：<0,

所以数列｛〃”｝是递减数列.

由〃”=—9〃+的W0,得〃213,即03=0.

33

当“W12时,an>0;当〃214时，an<0.

所以当〃=12或13时，S”取得最大值，

且最大值为5i2=Si3=12X20+^|^x(-1)=13().

思路参考：先求出公差d,再由S”的表达式确定其最大值.

解：因为防=20,5io=Si5,

所以10乂20+竺%/=15乂20+竺3乩

22

所以d=—

3

*=20〃+^^・(一9

5,125

=-―〃2-十一n

=-沁-学+妥・

因为〃£N*,所以当〃=12或13时，S”有最大值，且最大值为Si2=Si3=130.

法

思路参考：利用等差数列的性质求解.

解：由Sio=Si5得Si5—S!o=aii+ai2+ai3+ai4+ai5=0,

所以5al3=0,即ai3=0.

又4=箸段=常，

所以当〃=12或13时，S”有最大值.

所以Si2=12X20+冷Ux(-1)=130.

法」4/

思路参考：结合二次函数知识解答.

解:因为等差数列｛小｝的前〃项和S〃是关于〃的二次函数,且Sio=Si5,

所以10X20+等415X20+^4

所以"=一:

又号^=12.5,

所以〃=12或13时，S〃取得最大值.

所以82=12X20+与Ux(-1)=130.

「思维升华」

1.基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、

推理能力和表达能力.本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题

的解答过程展现了数学文化的魅力.

2.基于高考数学评价体系，木题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联

系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型.本题的切入点十分开放，可以从不同

的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现

了综合性.

「类题试练」

等差数列｛小｝中，设S为其前〃项和，且53=5II,则当〃为多少时，S

最大？

解：（方法一）由S3=Sl,

得3切+吆〃=1Is+小土/,则d=--6/I.

2213

2

从而S“=g〃2+（Q]—0/2=—^（7?—7）+^fl|.

又s>0,所以一巴■V0.故当〃=7时，8最大.

13

（方法二）由于S〃=<〃P+而是关于n的二次函数，由S3=Su,可知Sn=air-Vbn的

图象关于〃=过1=7对称,由方法一可知二次项系数a=—4V0,故当n=7时，

213

s〃最大.

（方法三）由方法一可知，d=-2m.

JL<5

斯>0,

要使s”最大，则有

Qn+1—0,

Ql+（九-1）（一卷的）-

即

%+几（一5%）<0,

解得6.54/1W7.5,故当〃=7时，S“最大.

（方法四）由S3=S“可得2m+l3d=0,

即（ai+6d）+（m+7"）=0,故。7+。8=0.

又由ai>0,S3=Su可知dVO,

所以。7>0,48V0,

所以当11=7时，S”最大.

课时质量评价（四十）

A组全考点巩固练

1.在等差数列｛m｝中，小+扇+。6=15,则此等差数列的前9项之和为（）

A.5B.27

C.45D.90

C解析：依题意。1+制+俏=15,即3ai+l2d=15,即3a5=15,所以公=5.

所以59=彳0+。9）=9〃5=45.故选C.

2.（2022•威海三模）等差数列｛斯｝的前几项和为S〃,若G=4,59=18,则公差

〃=（）

A.1B.-I

C.2D.-2

B解析：因为S9=n殁也=9〃5=18,

所以45=2,所以2d=45—43=2—4=—2,

解得d=-l.

3.一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水

库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1,3,3,5；5,7,9,11,13,15,

17,19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型；第1层塔身覆钵式，2~-4层

为八角鼓腹锥顶状，5〜6层呈葫芦状，7〜12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从

上到下，从左到右的顺序依次编号1,2,3,4,…，108.则编号为26的佛塔所

在层数和塔体形状分别为（）

一百零八塔全景

A.第5行，呈葫芦状

B.第6行，呈葫芦状

C.第7行，呈宝瓶状

D.第8行，呈宝瓶状

C解析：因为1+3+3+5+5+7=24,故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶

状.故选C.

4.已知等差数列｛小｝的前〃项和为S“2s8=S7+Sio,则Si=()

A.21B.11

C.-21D.0

D解析：由2s8=S7+So,得57=SIO-Ss,

所以〃8=。9+。10,则-48=411=(),

所以S21=⑷+、）21=2户=2imi=o.故选D.

5.（2022•长春模拟）在等差数列｛〃〃｝中，已知|俏|=|颂|,且公差上0,则其前〃

项和取最小值时的n的值为（)

A.6B.7

C.8D.9

C解析：因为|〃6|=|aii|且公差办0,所以〃6=—aii,

所以。6+。11=。8+。9=0,且。8<0,。9>0,

所以<…，

所以使S”取最小值的n的值为8.故选C.

6.(多选题)等差数列仅〃｝的前〃项和为5〃，公差”=1.若0+3〃5=57,则以下结

论一定正确的是()

A.出=1B.S〃的最小值为S3

C.51=56D.S〃存在最大值

AC解析：因为ai+3〃5=S7,所以ai+3(ai+4d)=7ai+q&/,

又因为4=1,解得勿=一3.

对选项A,45=41+44=1,故A正确；

对选项B,a〃=—3+八一1=〃一4,

因为〃l=—3<0,d3=—1<0,44=0,6/5=1>0,

所以S〃的最小值为S3或a,故B错误；

对选项C,S6—5|=〃2+。3+。4+。5+%=5。4,

又因为出=0,所以S6—Si=0,即S1=S6,故C正确；

对选项D,因为m=—3<0,d=l>0,所以S无最大值，故D错误.

7.设等差数列伍”｝的前〃项和为5〃，若46=243,则段=.

22翻圻.Sn_y(ai+an)_lla6_22

5解本,S5—施1+。5)-5a3—5・

8.设等差数列｛〃”｝,｛儿｝的前〃项和分别为S〃，T”,若对任意正整数〃都有$=

笄I，则*+Wr的值为________•

471—3b^+by加+久

F解析：因为｛〃〃｝,｛儿｝为等差数列，

41

所以丁9।a3a9Ja3«9+^3a6

匕5+匕7%+以2b62如2b6匕6

因为Sii_%+aii_2a6_2X12-3_19

JTu如+/12b(,4x11-3411

所以，^+的_=12.

匕$+匕7%+b441

9.已知等差数列｛〃〃｝的前三项的和为一9,前三项的积为一15.

⑴求等差数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若｛%｝为递增数列,求数列｛|编｝的前〃项和S〃.

解：(1)设公差为d,则依题意得42=—3,则41=-3-",43=-3+公

所以(一3一〃)(一3)(—3+力=-15,得法=4,d=±2,

所以an——2〃+1或。〃=2〃-7.

(2)由题意得。”=2〃-7,所以㈤=17-

(2n-7,n>4,

2n

①时，S〃=—(ai+a2H----Fan)=\i=6/z—/r;

②〃24时，S〃=一切―42-tn+oid-----2(。1+。2+。3)+(。1+。2H--------------Fa”)

=18—6〃+〃2.

综上，数列｛|Z|｝的前〃项和S〃=''-'

.九2-6n+18,n>4.

B组新高考培优练

10.(2022•广西模拟)将1到200中被3整除余I且被4整除余2的数按从小到

大的顺序排成一列，构成数列｛如｝，则02=()

A.130B.132

C.142D.144

C解析：被3整除余IE被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样

的数构成首项为10,公差为12的等差数列，所以a,=10+12(〃-1)=⑵7—2,

故ai2=10+12(12—1)=142.故选C.

11.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有

很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，1()岁时，他在进行1+2+3

+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前

后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数

列通项a〃=2nToo,则ai+sd---Faioo=()

2n-ioi

A.98B.99

C.100D.101

.2n-100,2(101-n)-1002n-100,2n-102

C解析:由题意,a〃+aioi—”=------F4----；---=-----+n

2n-1012(101-71)-1012n-1012n-101

所以a\4-«10()=«2+6799==«5o+fl51,

所以ai+a2H---Faioo=(ai+000)+(02+099)d---F(«5o+«5i)=5OX2=100.

12.(多选题)已知数列伍〃)是公差不为0的等差数列，前〃项和为S〃，满足山+

5〃3=S8,下列选项正确的有()

A.6/io=OB.Sio最小

C.S?=Si2D.S2o=O

AC解析：根据题意,A列｛m｝是等差数列,若m+5a3=S8,

即⑶+50+10d=8m+28",变形可得如=一9&

又由cin—a\4-(n—1)d=(〃-10)d,

则有aio=O,故A一定正确；

不能确定m和d的符号，不能确定Sio最小，故