2025年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）2025的绝对值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（4分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣73．（4分）下列几何体的俯视图是三角形的是（）A．圆柱 B．三棱柱 C．正方体 D．圆锥4．（4分）下列运算结果正确的是（）A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a35．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，器物，绘画，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟），57，65，65，70，78，68（）A．方差为3 B．平均数为65 C．众数为65 D．中位数为67.57．（4分）化简：得（）A． B． C． D．8．（4分）如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，那么双方出现相同手势的概率是（）A． B． C． D．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC的中点，连接EC，H分别是EC，FD的中点，BC＝10，则GH的长度为（）A． B． C． D．10．（4分）已知二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数2+b；⑤当图象经过点时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，其中正确的结论有（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）11．（4分）分解因式：9a2﹣4＝．12．（4分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为．13．（4分）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是．14．（4分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形．15．（4分）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝8，F为边BC上一点，将F点沿过C点的直线翻折，则的最小值为．三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16．（7分）计算：．17．（7分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．18．（7分）如图，在▱ABCD中，AE、CF分别垂直于对角线BD的延长线19．（8分）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，部分信息如下：组别成绩m/分频数A50＜m≤602B60＜m≤70aC70＜m≤8014D80＜m≤90bE90＜m≤10010完成下面问题：（1）a＝，b＝；（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为；（3）补全条形统计图；（4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．20．（8分）某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，坐垫E与点B的距离BE为18cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′（坐垫E'可在BE上活动），求EE'的长．（结果精确到0.1cm，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．）21．（9分）如图，在△ABC中，点O为AB边上一点，交BC于点E，交AB于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝5，AB＝10，求⊙O的半径．22．（10分）槐荫区某中学组织师生共480人去参观博物院．阅读下列对话：李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到山东省博物院，一天的租金共计1800元．”小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到山东省博物院，一天的租金共计6400元．”（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，最少是多少元？23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点1＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）（1）求一次函数y1与反比例函数y2的解析式；（2）根据图象回答，当时，x的取值范围为；（3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标．24．（12分）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作ED∥y轴，四边形CDAE的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；（3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q（﹣5，0），连接NP，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，若存在，请求出点H的坐标．25．（12分）如图1，已知DE为△ABC中位线，∠BAC＝120°（1）若AB＝AC，△ADE旋转至如图2中△AD′E′位置，求证：BD'＝CE'；（2）若AB＝2，AC＝4．①将△ADE绕A旋转至如图3中△AD′E′位置，求的值；②直接写出BC的值；③如图4，O为平面内一点，现将△ABC平移至△A1B1C1的位置，此时O、D、B1共线，O、E、C1共线，△ODE为等边三角形，然后将△A1B1C1绕O旋转α（0°＜α≤360°）至△A2B2C2，连接DB2，D'为D关于O的中心对称点，在旋转过程中，DB2+D'C2是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值，请说明理由．

2025年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AABCDCBBDD一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）2025的绝对值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：∵|2025|＝2025，∴2025的绝对值是2025，故选：A．2．（4分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为8.93×10﹣6，故选：A．3．（4分）下列几何体的俯视图是三角形的是（）A．圆柱 B．三棱柱 C．正方体 D．圆锥【解答】解：圆柱体的俯视图是圆形，三棱柱的俯视图是三角形，圆锥的俯视图是圆形，所以俯视图是三角形的几何体三棱柱，故选：B．4．（4分）下列运算结果正确的是（）A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3【解答】解：A、a2•a4＝a8，故本选项错误；B、（3b2）5＝9b4，故本选项错误；C、（a4）2＝a8，故本选项正确；D、a4÷a2＝a4，故本选项错误；故选：C．5．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，器物，绘画，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断如下：A、是轴对称图形，不符合题意；B、既不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，符合题意．故选：D．6．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟），57，65，65，70，78，68（）A．方差为3 B．平均数为65 C．众数为65 D．中位数为67.5【解答】解：数据排序：55，55，65，65，70，78，平均数为：×（55+55+57+65+65+65+68+70+70+78）＝64.8；方差为：×[2×（55﹣64.8）6+（57﹣64.8）2+8×（65﹣64.8）2+（68﹣64.8）2+（70﹣64.8）2+（78﹣64.8）2+（70﹣64.6）2]＝49.16，故选项A不符合题意；∵65出现的次数最多，∴众数为65，故选项C符合题意；∵中间两个数据为65，65，∴中位数为65，故选项D不符合题意．故选：C．7．（4分）化简：得（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝．故选：B．8．（4分）如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，那么双方出现相同手势的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：如图：由图可知，共有9种等可能的结果，故双方出现相同手势的概率是．故选：B．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC的中点，连接EC，H分别是EC，FD的中点，BC＝10，则GH的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，AB＝6，∴，，∵AD∥BC∴∠DPH＝∠FCH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴，∵点G是EC的中点，H是PC的中点，∴，故选：D．10．（4分）已知二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数2+b；⑤当图象经过点时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，其中正确的结论有（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，所以abc＜2．故①错误．因为抛物线与x轴有两个不同的交点，所以方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以b4﹣4ac＞0．故②正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，所以＝﹣1．当x＝4时，函数值大于零，所以a+b+c＞0，即a+2a+c＞5，所以3a+c＞0．又因为a＞6，所以4a+c＞a＞0．故③正确．因为抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝﹣8，所以二次函数有最小值为a﹣b+c．对于抛物线上的任意一点，令其横坐标为t，则at2+bt+c≥a﹣b+c，即a﹣bt≤at2+b．故④正确．由函数图象经过点（），所以x＝是方程ax2+bx+c＝4的一个解．则抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点的横坐标为．根据抛物线的对称性可知，另一个交点的横坐标为，所以方程ax2+bx+c﹣2＝2的两根为，即，所以．故⑤正确．故选：D．二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）11．（4分）分解因式：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）．【解答】解：9a2﹣8＝（3a﹣2）（4a+2）．故答案为：（3a﹣3）（3a+2）．12．（4分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为．【解答】解：由图形知，S①＝S②，∴阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴蚂蚁停在阴影部分的概率为，故答案为：．13．（4分）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是132°．【解答】解：如图所示：∵正五边形的内角度数为：×（6﹣2）×180°＝108°，∴∠2＝108°，∵正六边形的内角度数为：×（6﹣6）×180°＝120°，∴∠3＝120°，∵∠1+∠8+∠3＝360°，∴∠1＝360°﹣∠8﹣∠3＝360°﹣108﹣120＝132°．故答案为：132°．14．（4分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形8．【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，∵点A在双曲线y＝上，∴四边形AEOD的面积为4，∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为12，∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．故答案为8．15．（4分）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝8，F为边BC上一点，将F点沿过C点的直线翻折，则的最小值为6．【解答】解：将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线AC上，设折痕为CH，由题意得，OF＝OG．∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，AD∥BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACH＝∠BCH＝30°，CH⊥AB，∴FG∥AB，，∴，∵当E，G，G共线时，∴此时值最小，∴．∵E为边AD的中点，∴FG是△ABC的中位线，GE是△ACD的中位线，∴，∴OG＝2，∴EG+OG＝6，即的最小值为6．故答案为：2．三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16．（7分）计算：．【解答】解：＝，＝3．17．（7分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．【解答】解：解不等式可得x＞﹣2，由，得x≤2，∴此不等式组的解集是﹣2＜x≤3，∴此不等式组所有正整数解是1，2．18．（7分）如图，在▱ABCD中，AE、CF分别垂直于对角线BD的延长线【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（AAS），∴AE＝CF．19．（8分）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，部分信息如下：组别成绩m/分频数A50＜m≤602B60＜m≤70aC70＜m≤8014D80＜m≤90bE90＜m≤10010完成下面问题：（1）a＝4，b＝20；（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为14.4°；（3）补全条形统计图；（4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．【解答】解：（1）班级总人数为：10÷20%＝50，∴a＝50﹣（2+14+20+10）＝4，b＝50×40%＝20，故答案为：5；20；（2）2÷50×360°＝14.4°，∴A组对应的圆心角的度数为14.4°，故答案为：14.4°；（3）补全条形统计图如下：（4）（人），∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为192人．20．（8分）某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，坐垫E与点B的距离BE为18cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′（坐垫E'可在BE上活动），求EE'的长．（结果精确到0.1cm，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．）【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC+BE＝60+18＝78cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝78×sin64°≈70.2（cm），则单车车座E到地面的高度为70.2+32≈102.4（cm）；（2）如图2所示，过点E'作E'H⊥CD于点H，由题意知E'H＝80×0.3＝64（cm），则（cm），∴EE'＝CE﹣CE'＝78﹣71.1＝8.9（cm）．21．（9分）如图，在△ABC中，点O为AB边上一点，交BC于点E，交AB于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝5，AB＝10，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠CDB＝∠DFB，∴∠CDB＝∠ODF，∵BF为⊙O直径，∴∠BDF＝90°，即∠BDO+∠ODF＝90°，∴∠BDO+∠CDB＝∠ODC＝90°，∴OD⊥AC∵OD为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：由（1）得∠ODA＝90°，AD＝5，AB＝10，则OD＝OB＝r，∴AO＝AB﹣OB＝10﹣r，在Rt△ADO中，由勾股定理得：AD2+OD3＝AO2，∴58+r2＝（10﹣r）2，解得，∴⊙O的半径为．22．（10分）槐荫区某中学组织师生共480人去参观博物院．阅读下列对话：李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到山东省博物院，一天的租金共计1800元．”小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到山东省博物院，一天的租金共计6400元．”（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，最少是多少元？【解答】解：（1）设客运公司60座的客车每辆每天的租金是a元，45座的客车每辆每天的租金是b元．根据题意，得，解得．答：客运公司60座的客车每辆每天的租金是1000元，45座的客车每辆每天的租金是800元．（2）设租用60座的客车x辆，租用45座的客车y辆．根据题意，得60x+45y＝480，整理，得x＝7﹣y，∵x，y均为非负整数，∴该方程的解为或或，∴共有三种租车方式，当租用4辆60座的客车时，费用为1000×8＝8000（元），当租用5辆60座的客车、4辆45座的客车时，当租用2辆60座的客车、8辆45座的客车时，∵8000＜8200＜8400，∴租用6辆60座的客车时费用最少，最少是8000元．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点1＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）（1）求一次函数y1与反比例函数y2的解析式；（2）根据图象回答，当时，x的取值范围为0＜x≤2或x≥4；（3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把B（4，2）代，∴n＝8，∴反比例函数y7的解析式为y2＝，把A（4，m）代入y2＝得，m＝，∴A（2，5），把A（2，4），4）代入y1＝kx+b得，，∴，∴一次函数y1的解析式为y6＝﹣x+6；（2）由图象得，当时，x的取值范围为8＜x≤2或x≥4；故答案为：5＜x≤2或x≥4；（3）设P（8，a），在y1＝﹣x+6中，当x＝2时，当y＝0时，∴M（0，4），0），∴S四边形ABOP＝S△MON﹣S△APM﹣S△OBN＝﹣×（6﹣a）×5﹣四边形AOPB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△OBN+S△OBP＝﹣×8×2﹣×（﹣a）×6＝7∴a＝1或﹣6.5，∴点P的坐标为（0，2）或（0．24．（12分）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作ED∥y轴，四边形CDAE的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；（3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q（﹣5，0），连接NP，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，若存在，请求出点H的坐标．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣8，0），0）两点、点B的坐标分别代入得：，解得，∴y＝x2+5x﹣3；（2）四边形CDAE的面积存在最大值；理由如下：二次函数y＝x2+7x﹣3的图象与y轴交于点C，当x＝0时，得：y＝﹣5，∴C（0，﹣3），设D（m，7），∵ED∥y轴，∴E（m，m2+2m﹣4），∴DE＝0﹣（m2+7m﹣3），∴DE＝﹣m2﹣6m+3，∵S四边形CDAE＝S△ADE+S△CDE，∴，∵，∴当m＝﹣1时，四边形CDAE面积最大；此时E点坐标为（﹣7，﹣4）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点H，使得∠HNP+∠BCO＝45°∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）6﹣4，∴其顶点P为（﹣1，﹣8），∴Q（﹣1，0），∴PQ＝NQ＝8，∴∠QNP＝∠QPN＝45°，①当H在P点上方时，∵∠QNH1+∠H1NP＝45°，∠BCO+∠H3NP＝45°，∴∠QNH1＝∠BCO，∴，∴，∴，∴；②当H在P点下方时，过点N作l垂直于x轴，交l于点M，由题意得四边形QNMH4为矩形，∴∠QNM＝90°，QN＝H2M＝4，∴∠QNP+