2024-2025学年北京市某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市某中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3+aA.1 B.−1 C.2 D.−22.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=1，A.40 B.30 C.13 D.503.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)

A.24 B.18 C.12 D.94.若数列{an}满足an=an−1A.16 B.20 C.24 D.285.如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列说法正确的个数是(

)

①f(x)在区间[−2,−1]上是增函数；

②x=−1是f(x)的极小值点；

③在区间[−1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；

④x=1是f(x)的极大值点．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.已知函数f(x)=xcosx−sinx，则f′(π2)的值为A.π2 B.−π2 C.−17.若函数f(x)=x+3x(x≤0)13A.a>163 B.a<163 C.8.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知x0(x0≠0)是函数A.∃x∈R，f(x)>f(x0)

B.f(x)一定存在极小值点

C.若a=0，则−x0是函数f(x)的极小值点

10.已知数列{an}满足a1=a(a>0)，an+1an=an+1，给出下列三个结论：

①不存在a，使得数列{an}单调递减；

②对任意的a，不等式an+2+aA.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有______个.(用数字作答)12.设函数f(x)=x+lnx，已知直线l为曲线y=f(x)的一条切线，且直线l的斜率为2，则直线l的方程为______．13.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=

，数列{a14.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．15.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是______．

①函数f(x)=sinx有3个不动点；

②函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)至多有两个不动点；

③若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根；

④设函数f(x)=e三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知数列{an}为等差数列，且满足a2=0，a6=12，数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=1，bn+1=2Sn+1．

(1)求数列{17.(本小题12分)

设函数f(x)=13x3−x2−3x+1．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ18.(本小题12分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an=Sn+Sn−1(n∈N∗且19.(本小题13分)

若函数f(x)=x+1ex．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；

(2)判断方程f(x)=12解的个数，并说明理由；

(3)当a>0，设20.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax−lnx−a，且f(x)≥0．

(1)求a；

(2)设g(x)=x⋅f(x)，证明：g(x)存在唯一的极大值点x021.(本小题13分)

已知{an}是无穷数列，给出两个性质：

①对于{an}中任意两项ai，aj(i>j)，在{an}中都存在一项am，使得2ai−aj=am．

②对于{an}中任意一项an(n⩾3)，在{an}中都存在两项ak，al，(k>l)，使得an=2参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A

11.36

12.2x−y−1=0

13.−6；−20

14.9

15.②③④

16.解：(1)∵a6−a2=4d=12，∴d=3，

∴an=a2+(n−2)d，即an=3n−6；

(2)∵bn+1=2Sn+1，∴bn=2Sn−1+1(n≥2)，

∴bn+1−bn=2(Sn−Sn−1)，∴bn+1=3bn(n≥2)，bn+1bn=3(常数)，

又b2=2S1+1=3，b17.解：(Ⅰ)定义域为R，f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，

f′(x)>0⇒x<−1或x>3，f′(x)<0⇒−1<x<3，

故f(x)的单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，

故f(x)min=f(3)=−818.解：(1)∵an=Sn−Sn−1(n≥2)，

∴an=(Sn−Sn−1)(Sn+Sn−1)(n≥2)，

又an=Sn+Sn−1(n≥2,n∈N∗),an>0，

∴Sn−Sn−1=1(n≥2)，

∴数列{Sn}是以S19.解：(1)由于导函数f′(x)=−xex，因此f′(0)=0，又因为f(0)=1，因此切线方程为y=1．

(2)f(x)=12有两个解．

根据第一问可得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，

f(x)的最大值为f(0)=1，

当x→−∞时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→0，因此y=12与函数f(x)有两个焦点，

所以方程f(x)=12有两个解．

(3)函数g′(x)=f′(x)+ax=x(aex−1)ex(a>0)，

当a=1时，导函数g′(x)=x(ex−1)ex≥0，函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增；

当a>1时，−lna<0，因此x∈(−lna,0)时，导函数g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

x∈(−∞,−lna)和x∈(0,+∞)时，导函数g′(x)>0，函数g(x)单调递增；

当0<a<1时，−lna>0，因此x∈(0,−lna)时，导函数g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

x∈(−∞,0)和x∈(−lna,+∞)时，导函数g′(x)>0，函数g(x)单调递增；

综上所述：当a=1时，g(x)的单调增区间为(−∞,+∞)；

当20.解：(1)函数f(x)=ax−lnx−a，x∈(0,+∞)，f(1)=0，

f′(x)=a−1x，

a≤0时，f′(x)≤0，函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，

而f(1)=0，∴x>1时，f(x)<0，不满足题意，舍去．

a>0时，f′(x)=a(x−1a)x，

可得函数f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，

∴x=1a时，函数f(x)取得极小值，而f(1)=0，

因此必然有1a=1，解得a=1．

(2)证明：函数f(x)=x−lnx−1，

g(x)=x⋅f(x)=x2−xlnx−x，

g′(x)=2x−lnx−2=ℎ(x)，ℎ(1)=0，

ℎ′(x)=2−1x=2(x−12)x，

可得函数ℎ(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，

x→0+时，ℎ(x)→+∞；x=12时，函数ℎ(x)取得极小值，ℎ(1221.解：(1)取i=4，j=3，

由a3=8，a4=16，2a4−a3=32−8=24，24不是2的次幂，故不存在一项am，使得2ai−aj=am．

则{an}不满足性质①．

(2)数列{an}同时满足性质①和性质②．

证明：对性质①：∵∀i,j∈N∗,i>j,2ai−aj=6i−3j=3(2i−j),2i−j∈N∗．

∴2ai−aj=a2i−j，

取m=2i−j，∴{an}具有性质①；

对性质②：

∵∀n∈N∗，n⩾3，2ak−al=3(2k−l)=a