2023年高考数学一轮复习 备用题 第5单元 导数及其应用

第五单元导数

5.1导数的概念及其运算

1.（2021.新疆乌鲁木齐模拟）计算定积分「（2工-±卜=

)

A.1B-17

D-T

【答案】B

【解析】—9卜=n：+曰：，=22-12+|-1=|,故选B.

2.（2022・山东师范大学附属中学模拟）己知/*）=»+sin怎+，/'"）为/⑺的导函数,

则/'*）的图象是（）

【答案】A

【解析】•・./（幻=%+即(5万、])I

+K=—x2+cosx,/./r(x)=—x-sinx,

ITJ42

••・函数:（工）为奇函数，排除B、D.XT7=7-i<0,排除C.故选A.

3.（2（）21•重庆南开模拟）若曲线），=二-奴2（々cR）在工=1处的切线与直线2工-），+1=0

x

平行，则。=（）

\_

A.B.D.2

24

【答案】A

【解析】由尸处一加可得）,，=LJ二一2四，乂曲线在x=l处的切线与直线2―），+1=0

xx~

平行，且直线2x-），+l=0的斜率为2,则1-2a=2,解得。号.故选A.

4.（2021.浙江宁波模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近

似计算，用正〃边形进行“内外夹逼''的办法求出了圆周率尸的精度较高的近似值，这是我国

最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲''的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图

象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设/（x）=e、\则,（*=,其在

点（0,1）处的切线方程为

【答案】y=i

【解析】•・•/（力=J,故/"）=（/）'J=2x『，则/'（0）=0.故曲线y=/（x）在点（。1）处

的切线方程为y=i.

5.（2021•黑龙江省哈尔滨模拟）/（x）=lnx在点3/（6））处的切线与该曲线及工轴围成的封

闭图形的面积为（）

A.-B.eC.e-1D.--1

22

【答案】D

【解析】/（x）=lnx的导数为广⑴」，可得/"）在点（e,l）处的切线的斜率为1,

切线的方程为y-l=」（x-e），即），可得切线与该曲线及X轴围成的封闭图形的面积

ee

x1x-+f2--Inxdx=1+{1储_xln.v+j|；=B-l.故选D.

2eJiyeJ2e\2eJ'2

6.（2021年新高考1卷）若过点（〃力）可以作曲线）'="的两条切线，则（）

A.Bea<bc.0<a<才□.0<b<ea

【答案】：D

【解析】：函数）是增函数，恒成立，函数的图象如图，）>°,即取得坐标

在x轴上方，如果3与在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.点3"在x轴或下方时,

只有一条切线.如果（〃㈤在曲线上，只有一条切线；（人勿在曲线上侧，没有切线；

由图象可知S⑼在图象的下方，并且在1轴上方时,有两条切线.可知

7.（2022•内蒙古乌海模拟）已知函数/（x）及其导数/'（X）,若存在与使得/5）=/'■）,

则称％是〃力的一个“巧值点”,给出下列四个函数:①/（力=炉;②

③/（x）Tnx；®/（x）=taiix,其中有“巧值点”的函数是（）

A.①②B.①③C.®@@D.②©

【答案】B

【解析】①/("=工2,f(x)=2x,X2=2x,A=0,X=2,有“巧值点”:

②，'(同二一］,-夕，=二，无解，无“巧值点”；

@f(x)=\nxtr(x)=Llnx=-,令g(x)=lnx_Lg(l)=-l<0,^(^)=1-->0.由

xxxe

零点在性定理，所以在(Le)上必有零点，/(X)有“巧值点”；

@/(x)=tanx,f'(jc)=—3—»—=tanx,sinxcosN=l,即sin2jc=2,无解'所以f(x)

COS入cos

无“巧值点所以有“巧值点''的是①③，故选B.

10.(2021.内蒙古包头模拟)设函数〃力=干;，若八2)=3■，则。二.

【答案】2

【解析】由"x)=F可得，/'3=上等，所以/'(2)=工^=［，解得。=2.

eee-e-

11.(2021♦山西太原模拟)若曲线y=ln(3x-8)与曲线y=/-3x在公共点处有相同的切线,

则该切线的方程为.

【答案】y=3x-9

Q4

【解析】设公共点为(%,%)，由y=h］(3x-8),(x>,，则了=金，

33x—8

3

y=x2-3x,则y'=2x-3,所以「^=2%-8,解得%=3,

所以%=°，)'1『)=总=3,所以切线的方程为尸0=3(工一3),即y=3x—9.

12.(2021•河北高三月考)已知函数〃力=/、/”⑴则/(1)=()

A.-2e2B.2e2C./D.-/

答案A

解析因为f(x)=/+»f⑴炉,则r(x)=2e"+2f⑴凡令工=1,则析(l)=2e2+2,⑴,

所以/“⑴=-2e2.故选A.

13.曲线/(x)=x+*在点(0J(0))处的切线方程为()

A.y=2xB.y=2x+\C.y=3xD.)，=3x+1

答案D

2x

解析：Vf(x)=x+ef・・・r(x)=l+2/x,.・.r(0)=l+2=3,

又/（o）=l,・••曲线/Cr）=x+/在点（OJ（O））处的切线方程为尸3x+I.故选D.

14.（2021•沙坪坝•重庆八中高三开学考试）直线y=9x+力是曲线y=V+6x+3的一条切线，

则实数〃二（）.

A.T或3B.I或5C.-4D.5

答案B

解析因为y=V+6x+3,所以y'=3Y+6,令）/=3/+6=9,解得x=±l,故切点为（1,10）

或（一1,-4）,而力=y-9x,所以Z?=10—9=1或Z?=-4+9=5.故选B.

16.（2021・商丘高三月考）不等式［/2-（〃-2）］2+口|1人（4-1）］2*2_/〃对任意/>>0,〃"恒

成立，则实数〃?的取值范围是.

答案［-1,2］

解析由题意，设P（4皿），Q（a-2,a-\）,则归0f=［。-（〃-2）了+口M-（。-1）于，即

2

\PQ［>m-mf又P,。分别在曲线/（x）=lnx及直线；：y=x+l上，且尸（“二；

Xr

令:=1，解得X=l,且/（1）=0,所以/（X）在点P（l,0）处的切线与直线/平行，

又点P到直线/的距离为4=吗=正，所以|PQ|最小值为夜，所以病—〃区2,解得

72

TW〃?W2.故答案为：卜1,2］.

20.（2021•广东高三月考）过定点P（l,e）作曲线），=的'（。>0）的切线，恰有2条，则实数〃

的取值范围是.

答案（1，位）

解析S/=aex,若切点为（几,。/），则）/=&=.*>0,

・•・切线方程为J=ae^（x-x0+1）,又P（l,e）在切线上，

x

/.ae°（2-x0）=ef即〃=［在/工2上有两个不同解,

e（，一风）

令g（x）=即原问题转化为g（x）与y=a有两个交点，而g'（x）=，/;\，

e（2-x）e（2-x）

①当x>2时，g'（当>0,g（x）递增，且则g（x）f0\

②当2>X>1时，g'"）>。，g（X）递增；当不<1时，g'（X）<0,g（x）递减；

・・・g（x）2g（l）=l,又!野1<%<2时g（x）>（）且！吧且（吁也，

・•・要使”、在・马工2上有两个不同解,即〃e（l,+oo）.故答案为：（1,-Ko）

e（z一•%）

21.已知函数/*）=♦+法，8。）为〃x）的导函数，且/（3）=27,g⑶=3

（1）求/（幻的解析式

（2）设曲线），=8*）在点“送⑺）。工（））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S0）,求

S⑺的最小值.

1

।,[27«+3/?=27a=——

解析（I）因为/（x）=ax+法，所以8。）=3叱+〃，所以，c解得<3

27a+b=3

b=\2

所以/（%）=一：13+12工

（2）因为烈幻=-/+12,所以y=g（x）在点”,12—尸）处的切线方程为：

y-（12-/2）=-2r（x-r）,令x=（）,得了二尸+即，令y=0,得x=

所以5〃）=5'（厂+12）•可，-S“）=----------------=-\J+24r+—J,不妨设

r>0（/V0时，结果一样）时，

则，所以5'。）=；'3『+24岑）=3（'+：,-48）

二3（产一4乂产+12）二3（—2）«+2乂/+12）由s'«）>0,得r>2,由S'（f）VO,得

4/4产

0</<2,

所以S"）在（0,2）上递减，在（2,+oo）上递增，所以[=2时，S。）取得极小值，也是最小

值为5（2）=%屿=32做选C.

O

22.（2021•江苏南京•高三月考）函数y=V在点（小〃2）（〃wN+）处的切线记为/“，直线/”，

/用及x轴围成的三角形的面积记为S”，则

Hs?S,S”

_.4〃

答案——

〃+1

解析因为y'=2x,所以在点（〃,〃2）（〃$N+）处的切线的斜率为女=2〃,

所以切线方程为y-tr=2n（x-n）,即/”的方程为y=2nx-n2,

令)'=0,得x=T，所以/“+i：y=2(〃+1)工一(〃+1)’，

2n+\

E"+1y=2(W(〃+l『得x=-----

令y=（）,得x=----,由2

y=2nx-n2

2y=n2+n

I

直线/〃，//I的交点坐标为（七一,川+〃），所以直线/,,/用及X轴围成的三角形的面积

一9+1n、.11^=4__\_J

为sfR(r+〃)=〃(〃+]),所以三

2)J43〃〃(〃+1)nn+i)

,S2S3Sn\??+17n+\

故答案为：-

〃+1

23.（2021•陕西榆林十二中高二月考（理））已知函数_/（»的导函数/'（X）,且满足关系式

/(工)=/+3步>'(2)+111%则/'(2)的值等于()

99

A.2B.—2C.-D.——

44

答案D

解析因为人工)=工2+34*'(2)+加工，所以r*)=2x+3/''(2)+,，

x

199

令R=2,则/(2)=4+3/'(2)+5,即2r(2)=-5,解得/'(2)=-7，故选D.

乙乙I

25.(2021•河南高三月考)已知函数/(x)=J(x>0).

（1）讨论/（x）的单调性:

（2）当〃=2时，求曲线y=/（x）过点（2,0）的切线与曲线y=/（x）的公共点的坐标.

解析（1）/，（6=史=等匚=当三1，

当时，r（力＞0,则/（力在（。,+。）上单调递增：

当〃＞0时，由/'（"＞0可得x＞。；由/'（x）＜o可得Ovxvc/；

/（尢）在（0,4）上单调递减，在（6+0。）上单调递增；

（2）当〃=2时，二2（x＞0）,则广（x）=©（，［2）（x＞（））.

X.1

设切点为（%,/（%））,则切线方程为），一/（%）=/'（%）（工一与），

即打一=—H—o）

天不）

将代入，得_=二（玉「2）（2―/）,即与2-5XO+4=O,

X。X。

解得：%=1或工0=4.

当天=1时，过点（2,0）的切线方程为＞-e=-e（'-l）,即）,=—ex+2e

_e

>t=x=1/、

由，7，可得■y_e，公共点的坐标为（Le），

y=-ex+2e

当3=4时,过点（2,0）的切线方程为y噎*（x-4）即y=3暇

e

尸了x=4

由＜「可得《eN,公共点的坐标为4三

），上e4y=—

x---16

•3216

综上所述：曲线y=/（x）过点（2,0）的切线与曲线y=/（x）的公共点的坐标为（l,e）和

5.2利用导数研究函数的单调性

1.（2021•重庆期末）已知函数段）是R上的增函数,1（0,-1）,8（3,1）是其图象上的两

点，则一1勺（幻＜1的解集是（）

A.(—3,0)B.(0,3)

C.(—co,—1]U[3,+oo)D.(—co,0]U[1,+co)

【答案】B

【解析】由已知，得逃0）=-1,犬3）=1,・••一1勺（x）vl等价于10）勺（幻勺（3）.；/（处在R上

单调递增，・・・0＜r＜3.故选B.

2.（2021•云南昆明摸底诊断测试）已知函数为0=。'+广丫，则（）

A.7（一亚）4e）4君）

B.代）（一也）＜fl仆）

C.K逐）＜代）秘一亚）

D.五一亚）5石）＜修）

【答案】D

【解析】因为大一,1）=b*+&'=/5）,所以函数九v）为偶函数.又当Q0时，加）=口一％0,

所以函数/U）在（0,+oo）上单调递增.因为丘〈加＜e,所以人近）勺（右）勺（。），又艮一叵）

=/（正），所以人一拒）勺（右）勺（e）.故选D.

3.（2021•陕西西安月考）若函数/"）=鼻工3一/+仆+4在区间（0,4）上不单调，则实

。乙

数。的取值范围为（）

【答案】C

3Q1,Q

【解析】可知f\x）=x2-3x+a一一十〃，若函数/(%)=二V-二Y+at+4

在区间（0,4）上单调，则r（»N0或/'（工）。0在（0,4）恒成立,

9Q

二。-720或r（4）=4+a＜0,解得aWT或。2一,

•••函数/（幻二：/-5/+冰+4在区间（0,4）上不单调，’.故选C.

4.（2021•陕西宝鸡质检）定义域为R的函数“X）的导函数为了'（X）,满足

r（x）-/（x）＜3,若/⑴=—2,则不等式〃x）+3＞e、T的解集为（）

(l,+oo)(-8,0)

A.(0,1)cD.(-oo,l)

【答案】D

【解析】令g(x)=〃"+3,求导得=1‘(工A”工卜3,

eAe'

T尸(x)—/(r)<3,.,.g'(x)v。,则g(x)是R上的减函数,

又/(6+3〉el等价于J⑴+3>L而g⑴=纳士2=，，・・・g(x)>g(l),

ereee

.故选D.

5.(2021•河南洛阳模拟)已知函数fOOusinx—x+cX—e，其中e是自然对数的底数.

e

若/(/)+/(2a-3)W0,则实数。的取值范围是.

【答案】［-3,1］

【解析】f(x)=sinx-x+ex--则/(一工)=-sinx+x-/+==-/(力，故函数为

奇函数./(x)=cosx-1+e'+一>cosx-l-h2jex•—=l+cosx>0,函数单调递增,

e

/(^)+/(2t7-3)<0,故/(/)<—f(2a—3)=/(3—2a),故/芸―2。，

解得—3WaWl.

6.(2021•祁江中学月考)已知函数7U)=x|.i|，则满足4/口)+火3工一2巨0的X的取值范围是

.(用区间表示)

2

［二，+8)

【答案】5

Fx>0,

【解析】V/(x)=4v|=1则凡v)在R上单调递增，

又4/U)=4小|=Zv|2x=fi2x)

・••由M2r)+/(3x—2)K)得，人右)现2—34)，

2

:.2x>2—3x,解得x与，

2、

fr—,+co)

・・・x的取值范围是5

7.(2021•山东日照联合考试)已知函数/(x)=2」+ln(x+l),其中实数。工一1.

X+4

(1)若4=2,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若风r)在x=l处取得极值，试讨论人幻的单调性.

/、x-a-(x-\]1a+11

【解析】⑴小户EF+wr西丁丁T

当。=1时，八°)二而了汇而/(°)=一天

因此曲线y=/(力在点((),〃()))处的切线方程为)」=即

\Z)4

7x-4j-2=0.

(2)。.一1,由(1)知/'(1)=0,即—!—+'=0,解得&=一3.

I1

此时"力==+如(X+1),其定义域为(-1,3)+(3,母),

X—3

，/、-21(x-\](x-7]

且八小E+Q=由小)=°得2'

当一1<X<1或/>7时，r(x)>0；当1<X<7且XW3时，/'(x)vO,

综上，/(X)在区间(一1』，[7,e)上是增函数，在区间[1,3),(3,7]上是减函数.

8.(2021陕西西安八校联考)已知函数/(x)=ln(x+1),^(x)=xff(x),其中/'⑴是

/(力的导函数.

(1)求函数网力=时(力-8(力(m为常数)的单调区间;

(2)若xNO时，〃力之(aT)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

f

【解析】⑴V/(x)=ln(x+l),f(x)=—.

X+1

Y

/•F(^)=Anf(A：)-^(x)=mln(A：+1)-----(x>-l),

XI1

.F'(X\=JH______1=g+i)-i

…I]X+l(x+1)2(x+l)2.

当〃区0时，F(x)<0,b(力在(―1,—)上单调递减;

当机>0时，由尸'(x)=0,Wx=—>-1,

m

(1\

XG-1,----时，Fr(x)<0.

\mJ

XG^--^,+oo)时，F(x)>0.

尸(x)在T二^上单调递减，在—.-H»上单调递增.

综上所述，当机工()时，/(x)的单调递减区间是(―1,田)；

当〃?>0时，尸(力的单调递减区间是(-1,呼)单调递增区间是(厂,+8

(2)当xNO时,不等式/(x)N(a—l)g(x)恒成立,

即||1(工+1)-("一；)’20恒成立,

女M（x）=ln（x+1）_1+；（xNO）,

则”(»二」7-1）_x+2-a

go），

人1（x+l『（Ki）?

当a«2时,Mf(x)>0,

仅当。=2,x=0时，等号成立;

加(彳)在［0,+0)］上递增；

M（x）>M（0）=0:

）（X）之（。一l）g（x）恒成立;

当a>2时，由M'（x）=0,得x=a—2,

当x£（0,a—2）时，Mz（x）<0,

M（x）在（0,4—2）上递减，有M（a-2）vM（0）=0,

即去£（0,4-2）使M（x）vO,

综上所述，。的取值范围是(-8,2］.

9.(2021•山东济南模拟)设函数/'(X)是奇函数〃x)(xw0)的导函数，/(-1)二一1.当

%>()时，r(x)>i,则使得/(力>不成立的x的取值范围是()

A.(-O0,-l)u(0,l)B.(-l,0)u(l,+oo)C.(^x>,-l)u(l,+oo)D.(-l,o)u(o,i)

【答案】B

【解析】由尸⑺>l(稣0),可得析(同一1>0,令g(x)=/(x)—x,则

g'(x)=/'(x)-l>。，故g(x)在(0，+8)上单调递增.因为=所以

g(-1)=/(-1)+1=。，

又因为〃力为奇函数,所以g(x)=〃x)T为奇函数,所以g(l)=0,且在区间(f0)

上，g(x)单调递增.所以使得/(X)>X,即g(x)>()成立的的取值范围是

(-1,0)=(1,+00).故选区

12.(2021•四川成都模拟)已知函数/G)=l-xsinx.

(1)求函数/(x)=l-xsinx的图象在点］，/(1］处切线的方程;

(2)证明：函数g(x)=lnx+cos/在区间上单调递增.

【解】(1)f\x)=-sinx-xcosx,则/'(])=-sin•^-]cos]=-l,

又/(g)=l-gsing=l—g,则函数图像在点处切线的方程为

L—IZ\\))

x+y-l=0.

I(JI

(2)g'(x)=——sinx,当xw0,7

xI4

g'(x)=—sinx>(),

x

故函数g(x)=Inx+cosk在区间(0,(上单调递增.

13.(2021•陕西榆林模拟)已知函数〃x)=a?-]n_x—x,。工0.

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数/(另有两个零点，求实数的取值范围.

【解】函数/(司=以2-111工一工的定义域为(0,+8).

(1)f,(x')=2ax---\=2ax~~x-l,设g⑺=加2―1

XX

当。<0时，因为函数g(力图象的对称轴为x£<0,g(O)=T.

所以当x>()时，g(x)<0，r(x)<0,函数/(X)在(0,+8)上单调递减;

当〃>0时，令g(x)=0.得1-爪还1++8〃

4。4a

当0</<々时，g(x)<0，r(x)<°，当X>为时，g(x)>0，r(x)>0.

1+71+867LM、田、、甘*1+J1+8。L孑,田、¥.

所以函数f(x)在0,-----上单倜递减，在------,+8上单倜速增.

4〃------------------4a

(2)若外另有两个零点，即加—Inx—x=0有两个解，。="匕.设/心)=生匕

XX

.、\-2\nx-x

“3二—三—

x

设尸(jv)=l-21njv-x,因为函数尸(力在(0,+少)上直调递减，且/(1)=0,

所以当寸，F(A)>0,7f(x)>0,当x>l时，F(x)<0,/f(x)<0.

以函数〃(x)在(0,1)上单调递增，在。，”)上单调递减，

且X—时,力(x)f0,/z(l)=l,所以Ovovl.

即实数。的取值范围为(0,1).

14.己知函数/(力的定义域为(0,+纥)，导函数为了'(X),且满足+才

则不等式〃了一2022)111(工一2022)40的解集为()

A.(—,2022)52023,”)B.(0,2023)

C.(2022,2023]D.(2023,2024]

【答案】C

【解析】根据/(x)+V*'(x)lnx>0,x>0得ZH+/，(x)inx>0.

X

设尸(x)=/*(%)Inx(x>0),则小(x)="入)+/(x)lnx>0,

X

则函数尸(x)在(0,+8)上单调递增，且尸⑴=0,

贝I」不等式/(X—2022)ln(x-2022)<0,可化为产(x—2022)W/(1),

[x-2022>0

则《…c」解得2022VXW2023•故选C

了一202241

15.(2021•甘肃嘉谷关模拟)设函数〃力=⑪2-。―Ex,其中〃£R.

(1)讨论了(X)的单调性；

(2)求使得—在区间(1,+8)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)的

的取值范围.

【解】⑴f(x)=2cix--=2ar~1(x>0).

XX

当心0时，r(x)<0,.f(x)在(0,+8)内单调递减.

当4>()时，由/'(x)=0,有x=F=.

72a

此时，当时，/'(x)<0，/(x)单调递减;

当,+00时，，(x)>0，/(x)单调递胤

综上：当CT0时，/(1)在(0,+8)内单调递减,

当4>0时，/(X)在内单调递减，在,+8单调递增.

(2)方法一：令g(x)=1—g,s(x)=ei-x.则s'(x)=ei-1.

xe

而当”>1时，s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+8)内单调递增.

又由s(l)=O,有s(力>0,从而当％>1时,g(x)>0.

当〃W0,R>1时，/(x)=«(x2-l)-inx<0.

故当/(x)>g(X)在区间(1,+8)内恒成立时，必有4>0.

当0<av1时，I—>1.

242。

由(1)有了</°)=0,从而g>0,

7

所以此时/(X)>g(工)在区间(1,+00)内不恒成立.

当azg时，令=

1n-pi•/\111-r111x3—2x+1r—2x+l

当时，h(x)-2ax+--c'>x---1-———-------->--------->0,

xx~xx~xx~x~

因此,〃(同在区间(1,+8)单调递增.

又因为〃(1)=0,所以当X>1时，/Z(X)=/(J)-g(x)>0,即/(x)>g(x)恒成立.

综上，aw；'+8).

方法二：原不等式等价于在工£(1,收)上恒成立.

一方面，令g(x)=/(X)-—+e1-'=ar2-Inx--4-elv-a

XX

只需g(x)在x£(l，+8)上恒大于。即可/(x)--+el-v>0

X

又・・“。)=0,故g'(力在x=l处必大于等于0.

令"g'⑴*0,

X.1

可得4N一.

2

另一方面，当时，尸’(犬)=2奴一之+±+3-、之1-4~+二+=7=丁++1，

2'Jx3x2x3x2x：3-1

•••不«1,+8)故丁+工一2>0，又**>0，故尸'(X)在时恒大于0

工当4时，尸(X)在工£(1,+00)单调递增.

:.F(x)>F(l)=2tz-l>0,故g(x)也在xJ(1,+QO)单调递增.

，g(x)>g⑴=。，即g(x)在xe(l,+oo)上恒大于0,综上,。之；.

17.已知函数/(x)=or'-x+sinx(awR).

(1)当。二1时，证明：函数/(x)在R上单调递增；

6

(2)若/(X)为函数"V)的导函数，且/(X)…0恒成立，求实数。的取值范围.

【解】(1)当。=!时，/(x)=-J-x3-x+sinx,定义域为R,

66

则/'(X)=cosx+gx2-1,令，Z(X)=COSX+gx2,•///(-x)=/?(x),所以〃(x)是偶

函数，

n

当时，hXx)=-sinx+xth(x)=-cosA+1>0,

所以〃'(x)在0+8)单调递增，则/xR〃'(0)=(),所以〃(x)在。+8)单调递增，所以

A(x)>MO)=O,因为力(力为偶函数,所以当xwR时，/?(x)>0,

即当X£R时，r(x)>0,所以当Q=1时，，函数/(X)在R上单调递增；

6

(2)f\x)=cosx+3ar-1,

(i)当时，f\x)=cosx+3ax2-1<3ax2<0,不符合题意；

(ii)当。>0时，・・"'(—)=/'。)，为偶函数，且八0)=0,

则/"(x)=-sinx+6ca,令g(x)=-sinx+6av,则g'(x)=-cosx+6a,

当a2：时，=-cosx+6^>-COSX+1>0,所以g(x)在(0,+功单调递增，

故当/>0时，g(x)>g(O)=O,即/〃(幻>0,故门力在(0,+8)单调递增，所以

r(x)>r(o)=o,因为(力为偶函数，且八o)=o,所以当。WR时,ra)“恒

成立；

当0<。<一时，当RE(0,24］时，存在不£(0,1,使得COSX|=6。，

6\2_

当0<工<不时，g'(x)=-cosx+6a<0,g(x)单调递减，故g(x)<g(O)=O,

即x«o,内)时,f\x)<o,故r(x)在(0,与)单调递减，此时r(x)<r(o)=o,不符

合题意.

综上，实数。的取值范围为、，.001

18.(2021•贵州凯里模拟)己知Z?>1,且满足万一3b=21na-ln4b，则()

22222

A.a>2bB.a<2bC.a>bD.a~<b

【答案】A

【解析】由题得，a2—Ina2=3b—In4b»且a>l,b>l,

令/(x)=x-lnx(x>0),则〃x)=l一，二七1,「"(x)在(0,1)上单调递减，在

•XA

(1,y)上单调递增，Qa>l,b>\,2b>\,又

•••/(/)="-Ina2=3/?-In4/7,

.\/(tz2)-/(2Z?)=(3/?-ln4/?)-(2/>-ln2/?)=/?-ln2>0,

即/(/)>/(2力)，.”也以故选A.

20.(2021•北京高三模拟)已知定义在R上的函数/(力的导函数)，=/'("的图象如图所

示，则函数/(x)的单调减区间是.

【答案】(f,—2),(2,心)

【解析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数>=/(x)的单调递减区间为

(YO,-2)和(2,+QO).

21.已知函数/(4)=，^一4(/一x+i)

3

(1)若片-2,求函数f(x)的单调区间:

(2)求证：对任意的awR,f(x)只有一个零点.

解：(1)4=—2时，/(x)=—X*+2(工~—x+1),

3

贝Ijff(x)=x2+4.r-2=(x+2尸一6,

令/'(x)>。，解得：x>-2+#或xv-2-布，

令/'(x)vO,解得：一2-痴<x<-2+«，

故在(-00,-2-6)和(-2+6，+划递增，在(-2-6，-2+6)递减;

(2)证明：令/(x)=0,则有3〃二一一

x-x+l

Y

令如)=7=7

x~(A-~—2x+3)x~[(x—1)~+2]

则(3)=>0,

(x2-x+1)2(x2-x+\)2

故在R上递增,

又g*)eR,所以为=g(x)仅有|个根,

即〃*)只有1个零点.

5.3利用导数研究函数的极值、最值

1.(2021•广东惠州模拟)设函数段)在R上可导,其导函数为/"),且函数4v)在x=—2处

取得极小值，则函数)=/•/(幻的图象可能是(

【答案】C

【解析】•・•函数7U）在R上可导，其导函数为了（X）,且函数7U）在工=一2处取得极小值，

当第＞一2时，/（力＞0；当工=-2时，/a）=0；当XV—2时，/a）vo.

・••当Q0时，MV）X）；当一2＜\＜0时，货3＜0；当x=-2或0时，xf（x）=O：当工＜一2时,

MXx）＞0.故选C.

2.（2021•山东商泽模拟）若函数/（力=/（-/+2工+力在区间5,。+1）上存在最大值,

则实数。的取值范围为（）

-1+

，逐石、B.(—1,2)

22

-1+石

【答案】c

［解析］因为［（X）=/［-X2+2x+a-2x+2）=ex［-x2+a+2）,

且函数/（X）在区间（。,々+1）上存在最大值，故只需〃（司=一工2+〃+2满足

/2（4）＞0,〃（。+1）＜0,所以_Q2+Q+2＞0，—（a+l『+a+2＜0,解得

一"石＜”2.故选C.

2

3.（2021•安徽模拟）对于函数/（力=（2工一寸比，下列说法正确的个数为（）

①/⑴的单调递减区间为（f-0）。（"+8）;②/（"＞（）的解集为（0,2）；

③/（一0）是极小值，/（、反）是极大值；④/（x）有最大值，没有最小值.

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】/（x）=（2x-?）e\则尸⑴=（2-巧",故函数在（YO,-&）和（"时

上单调递减，在［-右,行］上单调递增，画出函数图像，如图所示：根据图像知②③④正

确,①错误，应该是/卜）的单调递减区间为（口,一行）和（庭,+＜@.故选C.

4.(2021•黑龙江哈尔滨第三中学检测)函数/(x)=V-2c¥2+c2x在X=2处取极小值,

则c=()

A.6或2B.6或一2C.6D.2

【答案】D

【解析】/'(工)=3%2-40¥+。2.../，(2)=12-a+。2=0/.<?=2或。=6

当c=6时，/'(X)=3X2-24X+36=3(X-2)(X-6),当/<2时/'(X)>0,当2〈工V6

时/'(x)<0,函数/(£|在x=2处取极大值，不符题意，舍去；

当c=2时，/r(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),

当x>2时/(耳>0,当gvxv2时，(x)<0,函数f(x)在x=2处取极小值.故选D.

5.(2021•辽宁丹东模拟)已知函数/(x)=j]nxx>]，若存在实数也，满足()工$<，，

且/($)=/")，则Z-4s的最小值为()

2

A.1B.e-lC.2-ln2D.2-21n2

【答案】D

【解析】作出函数/(x)的图象，如图所示:

y=m（x）

因为/(s)=/(z)，结合图象可知2s=lnf=〃7,(0<mW2)，可得S=£,f=d”,

t-4s=em-2m=h(m),h\m)=en,-2,令〃'(〃?)=，"-2=0,解得m=In2,

可以判断函数〃(加)在(0,In2)上单调减,在。n2,2)上单调增,所以以“)在〃?=ln2处取

得最小值，且/?(ln2)=e"2-2In2=2-2In2.故选D.

6.(2021•湖南怀化三模)已知函数/*)=|划一,-3,广。)是/(x)的导函数.①/U)在区

x

间(0,+0。)是增函数；②当/£(-8,0)时，函数火外的最大值为一1；③y=/*)-r(x)有

2个零点；④ra)-r(-x)=2.则上述判断正确的序号是()

A.©<3)B.①④C.®®D.①②

【答案】A

【解析】当x〉0时，f(x)=x---3,r*)=l+'r>(),所以/")在区间(0,+⑼是

增函数，即①正确；

当工<0时，/(x)=-x---3=(-x)+(--)-3>-l,当且仅当x=-l时取到最小值，

XX

所以②不正确；

丁_4E?_V_1

当工>0时，/*)一/'(幻二^———，

厂

令武工)=丁-4/-工_],则g，*)=3x2-8x-l,由于△>0,g'(0)=—IvO,所以g(x)

在(0,y)上先减后增，且g(0)=-l<0,所以g。)在(0,+8)内只有一个零点：

工3—2工2—Y—1

当戈＜o时，/(幻一r(幻=△、”

JT

令40)=/一2/一方一1,则〃'")=3九2-4x-l,由于A>O,"(O)=T〈O,所以依幻

在(-oo,0)上先增后减，且"(0)=-1<0,所以力(劝在(-8,0)内只有一个零点;

综上可知，y=/(x)-r(x)有2个零点，所以③正确；

当工>0时•，［*)=1+4，/'*)-/'(一幻=0,所以④不正确；故选A.

X

7.(2021•湖北宜昌调研)设函数/(x)=lnx+ln(2-M+ox(a>0),若/")在((),“上的

最大值为一，则。=________.

2

【答案】a=-

2

［解析】vf(x)=\nx+ln(2-x)+ar定义域为(0,2)

12x-2

VXG(0,1],a>()

7^2伞-2)

2X-2

•••/。)=g_2严>°，「•Ax)在(0，l］上单调递增，故/*)在(。,1］上的最大值为

八1)=。=；.

8.(2021•河南开封高三模拟)设点P为函数/U)=lnx—V的图象上任意一点，点Q为直线

2x+y—2=0上任意一点，则P,Q两点距离的最小值为.

叵

【答案】5

【解析】由题意知，当函数段)的图象在点尸(即，然)处的切线人与直线/2：2x+