河南省濮阳市部分学校2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

第页，共页2024—2025学年高三年级第二次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的公差为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的定义求解即可.【详解】因为等差数列的公差为，所以.故选：C.2.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC选项；利用对数的运算性质可判断B选项；利用指数幂的运算性质可判断D选项.【详解】因为，且，对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，C错；对于D选项，，D对.故选：D.3.若为方程的两个不同的根，则（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算求出两根的关系，进而可得答案.【详解】因为，所以．故选：A4.若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可．【详解】由题意可知，，则，则双曲线的左、右焦点分别为，因或，且，故．故选：B5.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求解.【详解】因为，所以，所以.故选：D.6.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解.【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，又，排除A，当时，，排除D.故选：C．7.若，且，则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B8.与曲线和圆都相切的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解.【详解】设直线与曲线相切于点，，当时，，所以的方程为，即圆，因为与圆相切，所以所以，令，则因为，，，，所以，借助二次函数的性质，令得：或，当可得：，当可得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以极大值极小值又当时，，所以在区间上分别有1个零点，所以这样的切线有3条.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于，先将表示为，求的坐标，再求出其模长；对于，先利用向量数量积的坐标表示求出，再求出；对于，由，得为边上的高，再由等面积法求出；对于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可.【详解】对于，，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；对于，因为，所以平分，即，又，所以，所以，故正确．故选：.10.在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（）A.长度的取值范围是B.直线与平面所成的角为C.若，则，所成的角为D.若，则三棱锥外接球的表面积为【答案】BD【解析】【分析】对A，由题可得，可得得解；对B，由题可得平面，由线面角定义求解判断；对C，由勾股定理可得，得平面，进而得，得解；对D，取的中点为F，由对称性得外接球的球心必在的延长线上，由，分别由勾股定理建立方程求得外接球的半径，得解.【详解】对于A，因为，为的中点，所以，所以，所以，故A错误；对于B，由题，易得，又平面，所以平面，所以与平面所成的角为，故B正确；对于C，因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，所以，故C错误；对于D，如图，取的中点为F，连接，则，由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设，由，分别由勾股定理得，所以，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故D正确．故选：BD.11.如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据全概率公式、概率的乘法公式可得数列的递推关系，结合等比数列的定义与通项公式求出数列的通项公式，再结合等比中项的定义、以及指数函数的性质，对选项中的结论逐一判断即可.【详解】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确；对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，，则有所以，进一步得，因为，所以，所以，所以不成等比数列，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用交集运算得，根据集合非空和子集关系列不等式组求解即可.【详解】因为非空集合，，所以，又，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：13.我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______．【答案】【解析】【分析】利用相似比以及棱锥的体积和表面积公式即可.【详解】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为，高分别为，因为，所以，，，则，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为．故答案为：14.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______．【答案】【解析】【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程.【详解】设的方程为，代入中，整理得，设，则，由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为，联立，得，由可得，即，所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为.联立解得消去，得，所以两条切线交点的轨迹方程为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为42【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解；（2）求出的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望.【小问1详解】所求概率为.【小问2详解】的所有可能取值为，，，，．所以的分布列为X30405060P的数学期望.16.如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，，求平面与平面的夹角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依次求证和，再由线面垂直判定定理即可求证；（2）建立适当的空间直角坐标系，依次求出向量和平面的法向量即可由空间角向量法公式计算求解.【小问1详解】由题意在圆锥中，平面，又平面，所以，因为为的中点，，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图．因为，，所以，，由（1）知平面一个法向量为，又，，所以，，设平面的法向量为，则，取，所以，所以平面与平面的夹角为．17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．（1）证明：；（2）证明：；（3）记，若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.【小问1详解】设，则．由余弦定理得，所以，所以．【小问2详解】在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．【小问3详解】若，则，得，与已知矛盾．若，则，所以化，即，整理得，即，解得．18.已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．（1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意，解方程组即可得解.（2）设，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算化简得，即可得证.（3）设，则，利用面积分割法得，然后利用向量线性坐标公式得点的坐标，代入椭圆方程得，然后利用二次函数性质求解最值.【小问1详解】设的半焦距为．依题意得，所以，解得，所以的方程为．【小问2详解】设，由消去得，则，，因为，所以，化简得，此时成立，证毕．【小问3详解】设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点，所以不妨设，则．．由，得点的坐标为，又，所以代入的方程得，化简得，则．所以，即四边形PRQS面积的取值范围为．19.已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围．（2）若，设的正零点从小到大依次为．①证明：；②判断数列的单调性，并证明．附：当时，．【答案】（1）（2）①证明见解析；②数列是递减数列，证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离后转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数求最大值，即可求解；（2）①首先利用导数说明函数每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较大小后，即可证明；②首先设，利用分析法转化证明，根据条件，以及正确公式得到，并通过作差构造函数，理由导数分析单调性后即可证明.【小问1详解】由题意，即对任意恒成立．设，则