2023三维设计二轮第4讲 大题专攻-圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

第4讲大题专攻——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

[之备考领航•重难排查d................悟真题、析考情二轮备考方向明•…

备考⑨领航

一、考情分析

高频考点高考预测

定点问题

在解答题中会继续以椭圆、抛物线、双曲线为几何载体考查定点、

定值问题

定值问题及存在性问题.主要考查逻辑推理.、数学运算等核心素养

存在性问题

二、真题感悟

1.（2022•全国乙卷）（定点问题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、），轴，且

过4。，-2）,《一1）两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A8交

于点7；点H满足甫=帚.证明：直线HN过定点.

解：⑴•・•椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过40,-2）,

.♦•可设椭圆£的方程为捺+?=1,

又椭圆E过4|,T），・,•言+%，得一=3,

••.E的方程为5+?=1.

（2）证明：当直线MN的斜率不存在时，IMN：X=1,

结合题意可知MJ,一箸），乂匕翁），

...过M且平行于工轴的直线的方程为y=一患.

易知点r的横坐标注w[o,引，直线A8的方程为），一（一2）二---j-------XU-0）,

2

即J2,

4^2

,2^/2小2(3+#)

痴：厂小-2#—产T)，即卜3L2-

当直线MN的斜率存在时，如图，设M3,巾），M42,M，IMN：

y=Lt+，〃(k+〃?=­2).

y=外+〃b

|]得(322十4*+6公几1+3〃?2—12=0,zl>0,.*.AI

6km3/w2—12

十“2=_3/+4'3"4.

过M且平行于％轴的直线的方程为y=y,

与直线48的方程联立，得得.=3（〉"b之），.・.7（3（）丁）

］：=!_22

VMT=TH>,.•."(3)，|+6—汨，M)，

y\一、2

府:厂”=3)什6-盯-小一及)，

口ryi—yi,y\—yi

即产3y+6—莺—£+以一3凹+6—Ri•刈

人八，w一(川”+念一)，

(yif)42=+3),2+6-2

令％=o,得)，=》_3V.+6-.V.-A-：-(.v.+.v2)+64-3V.

一(笛)，2+工2)'1)+3)”2+6)，2

—(xi+x->)+6+3(》+力)-3y/

—]2A2,4~4〃?2

・•ji)”=(hi+/77)(te+〃?)=^1X2+nik(x\+%2)+nr=—素工工—，

8”？

y\+)，2=(去।+〃。+(左逾+〃?)=A(xi+x2)+2m=

3火2+4'

-24&

为y2+42)'1=xi(te+f?i)+X2(ALVI+in)=2kx\xz+/n(xi+刈)=

13A2+4'

24k——36A2+12nr——36攵?+12/zr+24k

.・-5义+gD+3)仍=+314=

-24(R-3k—2)

3产+4

24机+18&2+24+24/〃

-(即+X2)+6+3(6+”)=5^+6+=

12(R-3&-2)

3—+4，

-24(-—3A—2)।

.3.+4+6”_

,•尸12(N—3Z—2)=~2,

3&2+4-3”

，直线"N过定点(0,-2).

综上，直线HN过定点(0,-2).

2.(2020・新高考全国I卷)(定值问题)已知椭圆C：/+g=l(a>Z?X))的离心率为当，且

过点A(2,1).

(1)求C的方程：

(2)点M,N在。上，且4M_LAN,AD1,MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|DQ|

为定值.

411

解：⑴由题意得票+出=1,c一r-解得。2=6,从=3.

所以C的方程为4+9=1.

o3

(2)证明：设M(xi,yi),Ng及).

若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为_)=履+〃7,代入・+子=1得(1+2R)/

UJ

+4krnx+2m2—6=0.

2〃产—6

于是为+也=1+23'X1X2=]+23」

由4M_L4N知，AM•AN=0,故(内一2)。：2—2)+但一1)。，2—1)=0,可得伏2+1.武2

+(km-2>(xi+%2)+(加-1A+4=0.

—64G〃J

将①代入上式可得可+1)]+踪2—(外〃—4—2>1+2】+(〃?-1)2+4=0.

整理得(2k+3/〃+l)(2hH〃-1)=0.

因为4(2,1)不在直线MN上，

所以2A+,〃-1W0,故泉+3阳+1=0,kWl.

于是MN的方程为y=4J—§—,

所以直线MN过点底，一；）

若直线MN与x轴垂直，可得Ma，—_Vi）.

由切・7AT=0得（为-2）（即一2）+。|-1）（一6—1）=0.

又j+1=l,可得3亓一8即+4=0.

2

解得xi=2（舍主），.vi=g.

此时直线MN过点从；，一

令Q为AP的中点，即。（点

若。与P不重合，则由题设知AP是RtZXAO户的斜边，

故|DQ=；HP|=¥.

若。与。重合，则|。。|=夕4。|.

综上，存在点想，;），使得|。@为定值.

重难?排查

1.求圆锥曲线定点问题的两种常见方法

（1）由特殊到一般法：利用由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特

殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关：

（2）参数法：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量（此

处设为乃-＞利用条件找到A与待求定点的曲线F（x,），）=（）之间的关系-研究变化量与参数

何时没有关系，找到定点.

2.求解圆锥曲线定值问题的两种常见方法

（I）从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①研究特殊情形，如直线斜率不存在等，得

到所要探求的定值；②探究一般情形；③综合上面两种情形下结论；

（2）直接消参求定值：常见处理方法：①确定•个（或两个）变量为核心变量，其余量均结

合条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变鼠进行表示（有的甚至就是核心变

量），然后进行化简，看能否得到一个常数.

3.求解存在性问题的一般策略

（1）“肯定顺推法”：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法

设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)

存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.

(2)两个策略：①当给出结论要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；②当

条件和结论不唯一时要分类讨论.

［之考点整合•研透悟通。....................研典例、抓要点高考题型全通关一

1-11圆锥曲线中的定点问题

【例1】(202。・全国I卷)已知A,8分别为椭圆E：/+,2=13>1)的左、右顶点，G

为七的上顶点，而•请=8/为直线x=6上的动点，布与七的另一交点为C,PB与E

的另一交点为D

(1)求E的方程；

(2)证明：直线。过定点.

解(1)由题意得A(-a,0),8(°,0),G(0,1).

则行=(〃，1),■=(〃，-1).

由AG-68=8得/-1=8,即。=3.

所以E的方程为小产1.

(2)证明；设。(xi,yi),D(X2,yz),P(6,t).

若设直线CD的方程为由题意可知一3v〃<3.

由于直线PA的方程为y=/r+3),所以)，1=3加+3).

直线P8的方程为y=5(x-3),所以3).

可得3yi(X2—3)=y2(.ri+3).

由于率2-1，故货—一(-+3)9(心一3),可得27)，其一一3+3)(必+3)，即(27+

打尸加”+ni(n+3)3+”)+(〃+3)2=0.①

将x=my-\-n代入,+)2=1得

(nr+9)y2++w2—9=0.

公।”2-9

所以》+)，2=一许,)然=许.

代人①式得(27+加^(，产—9)—2〃?(〃+3)〃?〃+(〃+3)2•(m2+9)=0.

3

解得〃=一3(舍去)或〃=不

自

3、

过也O

一

故直线co的方程为才,

若1=0,则直线CO的方程为y=0,过点(|,0).

综上，直线CO过定点(1,0).

I方法总结I

直线过定点问题的解题策略

/展题意至存疑出藉,拓基数，石咨由至

书.线的斜率

适〉~^加亮推新二亲兀以豪务应1

：关系，求出定点的坐标

竹而之£.疗正斯谪定讦录瓦瓦瓦

程，即可证出直线经过该定点：

国跟踪训练

过原点。的直线与抛物线C：)2=2外。＞0)交于点,4,线段0A的中点为M,P(3p,0),

且PM_LOA在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答问题.

①|0川=4#；②|尸M=2小；③△POM的面积为6/1

(1)，求。的方程；

(2)在(1)的条件下，过y轴上的动点8作C的切线，切点为。(不与原点。重合)，过点

B作直线/与。。垂直，求证：直线/过定点.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)由题意知直线的斜率存在且不为0,设其方程为y=Ax(kW0),

r=勿

由TN"4=0或可得A国哈

［丁="，ly=0=生'J

Vk,

所以线段OA的中点为朋(1，%

ZZ

因为PMA_OA,kpM=~^=］_31'所以］3左'*k=-1，解得k=F2，

场一3〃

所以直线04的方程为.25)，=0,A(4p,±272/;).

若选①，不妨令A(4p,2-72/7),

由|。川=4#,得'(4〃)2+(2嫄p)2=4#,解得〃=2,

所以C的方程为尸=4尤

若选②，因为PM_LOA,|PM|=2小，

所以点尸到直线。4的距离为2小，即1厂+0般),=2小,解得〃=2,所以C的方

程为yr=^x.

若选③，不妨令A(4p,2^2/7),

因为|OM=,OA|=3(4〃)？+(2吸〃)2=#〃,

点P到直线OA的距离|PM|=I固”广=麻

Vl2+(±V2)2

所以5“加=!|。"|><『必=；又加〃乂于〃=6^,解得〃=2,

所以C的方程为)口=4元

(2)证明：由题意可知切线8Q的斜率存在且不为0,设8(0,与SW0),

y=kix+b,

设切线BQ的方程为y=^x+6由1,,得不，2—外+4〃=0,(*)

l)?=4x,

所以/=(-4)2—4XA|X4/)=0,解得心=",所以方程(*)的根为y=2/?,

代入y2=4x得x=R,所以切点。(乂，2b),

b

工曰，2b2则---

T"koQ一方一卞牙

所以直线/的方程为y=—那+力，即y=-3(x—2),

所以直线/恒过定点(2,0).

号点2圆锥曲线中的定值问题

【例2】已知椭圆C：於+方的左、右焦点分别为八，尺，左顶点为4，

离心率只，点从I，号是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/过椭I员IC的右焦点尸2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP,AQ与直线X=4

分别交于点M，N.求证：.M,N两点的纵坐标之积为定值.

r_c_i

e~a~T

a2=4,

解（1）由题意知，.解得，

a2'4b2〃=3,

故椭圆C的方程为?+与=1.

(2)证明：由(1)可知c=l,F2(l,0),显然直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=

my+1,

与，+个=1联立，消去工，得（3评+4））。+6冲-9=0,4=144（〃户+1）>0,

设P,。两点的坐标分别为（片，yi）,。2,yi）,

ri.—6m—9

则》+”=藐阡？『必二菽二，

直线AP的方程为）=峭_2（X+2）,

令x=4,得同理可得抄=7^）

_______36>12_______________36-_______

（xi+2）（也+2）（〃中+3）（〃乎+3）

_________36yly2________

m2yiy2^-3in（yi+jz）+9

-9

36•、，一

3/M-+4,.

=Z7=-9,为定值，

,—9,—6m,

"•济7+3"万帝+9

|方法总结|

I.求定值问题常见的方法

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这

类问题选择消元的方向是非常关键的.

国跟踪训练

已知抛物线C：)2=2〃必?>0)经过点P(1,2),过点2((),1)的直线/与抛物线C有两个

不同的交点人，B,且直线南交y轴于M,直线交y轴于N.

(1)求直线/的斜率的双值范围；

(2)设O为原点，~QM=XQO,~QN=n~QO,求证：；+七为定值.

A〃

解：(1)因为抛物线尸=2px过点P(l,2),所以2P=4,即p=2.

故抛物线。的方程为)，2=4X.

由题意知，直线/的斜率存在且不为0.

设直线/的方程为)，=辰+l/NO),

)0=4x,

由,得正炉+(2左一4)x+1=0.

y=h+l,

依题意4=(2左一4)2-4XRXi>0,解得k<0或0<A<l.

又掰，P8与y轴相交，故直线/不过点(1,-2).从而ZW—3.

所以直线/的斜率的取值范围是(一8,—3)U(—3,0)U(0,1).

(2)证明：设A(xi,yj),8(x2,yz).

2k—4|

由(1)知汨+12=一二^-,总工2=庐

直线%的方程为2=,V1_^(x—1).

X]1

令x=0,得点令的纵坐标为)4=手苧+2==：]；+2.

同理得点N的纵坐标为川=•二T2.

由西=2而，研="而，得i=l一加，〃=|一处.

去以.[XL1.M11.20也一(即+―)

4〃1—ysi1—yN(4——1)xiCk~\)xzk—14i人2

22k—4

1F+"^一

7k—71*1i=2.

三

所以：+’7为定值.

人〃

圆锥曲线中的存在性问题

【例3】已知点?是动点，直线用与直线y=x垂直，垂足为点A且位于笫一象限，

直线P8与直线)，=-x垂直，垂足为点8且位于第四象限，四边形Q4P8(。为坐标原点)的

面积为2,动点夕的轨迹记作。.

(1)求。的方程；

(2)设7是直线x=l上一点，过7的直线/与。交于C,。两点，试问是否存在点。

使得南•初=/2?若存在，求丁的坐标，若不存在，请说明理由.

解（1）由已知设点A"〃，B（〃，一〃）（〃>0）,易知四边形0AP8为矩形，因为

其面积为2,所以10Ali08=小小•g〃=2〃?〃=2,所以小〃=1.

由题意可得直线PA的方程为工+厂2加=0,直线PB的方程为x-y-2n=0,

Jx+y—2/H=0,x=m+〃，

解得彳即P(/〃+〃，/〃一〃),

Lv—y_2n=0,

y=m—nt

所以(m+〃)2—(m—〃)2=4〃?〃=4.

因为〃z+〃22⑺石=2,所以。的方程为f—y2=4(i22).

(2)设7(1,/),C(xi,》)，0(X2,”)，设直线CO的方程为)­/=红¥—1),即y=6+f

y=kx-\-t-k,

一女，由<,,、、得(&2-11「+2%”一4.+。一女)2+4=(),易知&#±1,则/=4炉(/

X2—>,2=4(x22),

28-2kt

—k)2—4(k2—1)1(/-k)24-4]=4(/+k)(t—3k)+16>0,且xi4-^2=,_i->0,XlX=

K212

(1—k)2+4

及2—1>0,

所以市•折二|1^||初1=（1+产）比一1|g一1|=（1+炉）仅次2一（即+及）+1|=

（於+3）（1+乃）

好一I

假设存在点丁满足万可•折=声，则，"73]_[丁、）=产+1,

整理得户+/+2=0,但产+/+222>0,所以假设不成立，故不存在满足题意的点

T.

I方法总结I

1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，

再险证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达

式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.

2.求解步骤：（I）假设存在，即假设所探究的问题存在符合题意的点、直线、常数等，

并把其当成已知条件来用；

（2）推理论证，即利用圆锥曲线的几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系的相关知识等

进行推理论证，在推理论证的过程中经常把直线方程与圆锥曲线方程联立，通过消去y或x

转化为关于x或），的方程，从而可利用根与系数的关系、判别式等进行推理论证；

（3）判定结果，即如果得到了一个合理的推理结果，就肯定假设，对问题进行正面回答；

如果得到一个矛盾的结果,就否定假设.对问题进行反面回答.

国跟踪训练

已知椭圆G：兴+方=1(4》>0),其短轴长为2小，离心率为ci，双曲线Q：，一］=

1(/?>0,(7>。)的渐近线为离心率为62，月.ei•<?2=1.

(1)求椭圆G的方程；

(2)设椭圆G的右焦点为八动直线/(/不垂直于坐标轴)交椭圆G于M,N不同诙点，

设直线BW和EV的斜率为肌，弱,若e=一心，试探究该动直线/是否过x轴上的定点，若

是，求出该定点；若不是，请说明理由.

解：(1)由题意知，椭圆G：，摄=I3>QO),其短轴长为2小，可得〃=小，椭圆

的离心率为61,双曲线。2：1^•=1(/?>0,<7>0)的渐近线为y=±小工,

=3,所以离心率为62=y+彳=2,且ei・62=l.

所以门=3{=寸亭=正电解得。=2,

所以椭圆G的方程为?+与=1.

(2)假设该直线过定点“，0),设直线/的方程)，=&Q—。,

y=kCx—t）,

联立I^+注_]消去y整理得（3+4&2•2-8&2次+4FF-12=0,

Sk2t4^-12

设M（xi,yi）»Ng>2）,则xi+*2=3+4R'处制=3+4公，

由/>00必产一3一妹2<o,

V2k（xi—r）k（X2~z）

-

X2-1X\-1X2-1

（XL/）（右一1〕+（检一/）（XL1）

（X1—1）（X2~1）

2X1X2-（f+1）（Xi+12）+2/

=k-

X\X2~（X1+X2）+1

所以2.VIA2—（f+1）3+也）+2f=0,

4/产一1286,862一24—8公产—8处+61+8//

即2.什1）.+2--------------------------------------------二0

3+4R

所以一24+6f=0,解得f=4,即直线过定点(4,0).

专题检测

1.已知椭圆氏，+提=13>〃>0)的两个焦点与短轴一端点为一个正三角形的三个顶

点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.

（1）求椭圆月的方程;

⑵过点”（4,0）的直线/与椭圆E交于A,8两点，点A关于x轴的对称点为求证:

直线43过定点.

4=2,

解：⑴由〈a~c=1,解得，n

宗=4+8,

«=1.

y2\,2

所以椭圆E的方程为5+^=1.

（2）证明：法一：设直线I的方程为x=〃?），+4,代入椭圆方程，并整理，得（3〃P—4）），2

+24〃?v+36=0.

令/=(24〃?)2—36X4⑶褚+4)=144Q/—4)>0,则，〃V—2或m>2.

24m36

设A(xi,yi),8(必,”)，则》+力=3〃户+4，V'>'2=3〃於+4・

)与+)'1

因为4（为，-yi）,所以B

X2—X\

于是，直线AB的方程为），+“=

_)'1(_一汨

即y—a—xo-y尸篇

X2~X\”+川”+yiJ

24/〃36代入,得产/伏

将Xi=WVi+4,12=1冲2+4,»+*=3〃产+4'V・*=3〃产+4

7)，

所以直线A'B过定点（1,0）.

法二：设直线/的方程为x=〃?y+4,代入椭圆方程，并整理，得（3加+4»。+24加）'+36

=0.

令J=(24m)2-36X4(3m2+4)=144(w2-4)>0,则，〃<一2或m>2.

24w36

设&孙y。，8（X2,）2）则则+”=3M+4'?・工=3用2+甲

因为4（X1,—yi）,所以4,8=，1?,

X2

于是，直线A5的方程为），+），|=空出（、一制）,

X2片

即），一。一内）一力，

人2人I

人八洱二（一一片）」为"+12-

11

令y=0,得x：------T-------+.11=rr

•yi-ryi»+）r

（〃?yi+4）”+（〃?>2+4）》

9+以

36

■------

2m），,2+4（yi+j2）2my\yi,13〃9+4

=-J------------=_T^+4=----7；-----+4=—3+4=1.

yi+”y\-ryi24〃？

3-2+4

所以直线A8过定点n，0).

2.已知抛物线Q的顶点是椭圆9+9=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线。的方程；

(2)已知动直线/过点P(4,0),交抛物线力于4,B两点,是否存在垂直于x轴的直线

也被以4P为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出，〃的方程；如果不存在，说

明理由.

解：(1)由题意，设抛物线方程为)2=2px(p>0),

222

由椭圆［•+¥=1知，c=a—b=4—3=lt所以c=l,

••.抛物线的焦点为(1,0),

2=*即〃=2,

，抛物线D的方程为)2=4X.

(2)设存在直线/〃：满足题意，4(汨,ji),

则圆心M(咛吆，5)，过M作直线x=z的垂线，垂足为£,

设直线机与圆M的一个交点为G,可得|EGF=|MGF—|M£|2,

（即-4）2+行

即|£G|2=|MA|2一|ME|2=

4然-

、,（X1-4）2—（XI+4）2

彳+---------4-----------+/（川+4）—/2

=X\—4A-|+t(x\+4)—产=(/—3)X\+4r—t2,

当，=3时，|EG|2=3,此时直线〃?被以AP为直径的圆例所截得的弦长恒为定值2小,

因此存在直线6：x=3满足题意.

3.己知双曲线C：点步=13>。，Q0)的焦距为2小，且双曲线C右支上一动点P(xo,

.⑹到两条渐近线小/2的距离之积为华.

(1)求双曲线。的方程；

(2)设直线/是曲线C在点P(.m,泗)处的切线，且I分别交两条渐近线于M,N两

点，。为坐标原点，证明：△MCW面积为定值，并求出该定值.

解：⑴双曲线C：点一方=l（a>0,5>0）的渐近线方程为Z?x+ay=0和公一缈=0,

心工上»/、刎而攵匕、片注/,