2023-2024学年河北省沧州市普通高中数学高二年级上册期末学业质量监测模拟试题含解析

2023・2024学年河北省沧州市普通高中数学高二上期末学业质量监测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点A(T,a),3(。,2)的直线的斜率等于2,则。的值为()

A.OB.1

C.3D.4

2.在-ABC中，角A,BtC的对边分别为“，b,c,若"=从十且4=2笈，则一ABC为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角二角形D.钝角二角形

3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线。的离心率为G，则其渐近线方程为()

y=±A/2XB.y=±^^-x

2

C.y=±2xD.y=±^x

4.已知等比数列｛凡｝的前3项和为3,4+2生+34+6〃4=0,则/二()

A.-8B.4

C.-2D.l

5.某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选

《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学

生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为()

A.5B.1O

C.12D.15

6.在平面区域｛(x,y)|()<犬Ky«1｝内随机投入一点P,则点P的坐标(乂)，)满足不等式x+y>1的概率是

()

uuir

7.在棱长均为1的平行六面体A6CO—A4GR中，N8AD==/。/0=60。，贝UAQ=（）

A,CB.3

C.V6D.6

8.如图所示，某空间几何体的三视图是3个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2,则该空间几何体的体积为（）

7

俯视图

A.iB.还

33

9.在空间直角坐标系中，点A（L2,3）关于》轴的对称点为点2,则点C（3,0,l）到直线A8的距离为（）

A.2G

5

「2而

5

10.设p是双曲线焉一卷=1上的点，若月,F2是双曲线的两个焦点，贝叫卜（）

A.4B.5

C.8D.10

11.已知向量。二（2,1,—3）,。=（1,一1,2）,则。+26=（）

A.3V2B.（4,-l,l）

C.（5,l,-4）D.V7

12.已知空间四边形48C。中，。4=〃，OB=b，OC=c»点N在BC上,且CN=2NB,M为。4中点，见1MN

等于（）

X.-a-—b+—cB.——a+-b+-c

232233

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知正方体A8c。一的梭长为2,E为。。的中点，。为面A8CO内一点.若点P到面的距离

与到直线的距离相等，则三棱锥D,-P4E体积的最小值为

14.若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上））分别记为〃、T,相应的抛掷两枚硬币的样

本空间为。={〃",〃7,加,77},则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为

15.已知函数/0）=1nx+x+l的图象上有一点P（〃?,2）,则曲线y=/（幻在点2处的切线方程为.

16.已知动圆尸过定点人（一3,0）,且在定圆8:（立一3『+），2=100的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/7BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD="!■AD.E为棱AD的中点，异面直线PA

2

与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

18.（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本.V（元）与

生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

Xi2345678

y56.53122.7517.815.9514.51312.5

根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型），=。+2和指数函数模型）,二"公分

别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y=48.376e-0195r,In），与x的相关系数

4=-0.929.

（1）用反比例函数模型求关于x的回归方程；

（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.0。1）,并用其估计产量为10千件时每件产品非

原料成本；

（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布用样本平均数》作为〃的估计值〃，用样本标

准差$作为。的估计值°,若非原料成本），在之外，说明该成本异常，并称落在（4-。，4+之外的

成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的

原因？

1

参考数据（其中%=一）：

无

一个88g8

Xz70.61x1545.555V193.194

UU

r=l1=11=1<=l

0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9

参考公式：对于一组数据（%,凶）,（々，）’2），…，（五，％），其回归直线$=々+八的斜率和截距的最小二乘估计公式分

2工/一位5

别为：-----------,a=y-bxt相关系数

2百一"广

i=l

19.（12分）动点与定点F（J5,0）的距离和它到定直线/：/=走的距离的比是G，记动点M的轨迹为曲线

3

C.

（1）求曲线c的方程；

（2）已知过点P（-山）的直线与曲线C相交于两点A,B,请问点尸能否为线段AB的中点，并说明理由.

20.（12分）如图，在三棱锥P-43。中，AB=BC,PAJL平面43C,M,N分别为棱AC,A尸的中点.

p

（D求证：BM人PC；

（2）若AB=小,AC=2f二面角A-8N-用的大小为30。，求三棱锥。一ABC的体积.

21.（12分）在平面直角坐标系X。），中，已知椭圆C:1+与=1（。＞人＞0）过点尸（2,1）,且离心率6=立.

a~b~2

（1）求椭圆。的方程;

（2）直线/的斜率为直线/与椭圆C交于两点，求△PA8的面积的最大值.

22.（10分）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，已知4=3%=3,且当〃22,〃eN*时，。向+2。小+3sM=3S”

（1）证明数列｛5“-%｝是等比数歹！1;

,a„+1,、

（2）设q广广丁，求数列｛〃｝的前〃项和乙

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】利用斜率公式即求.

【详解】由题可得与乙=2,

-1-67

；•。二0.

故选：A

2、B

【解析】由余弦定埋可得A=1,再利用A=28可得答案.

【详解】因为/=从高-加,所以比=从+。2一。2,

由余弦定理cosA=b+：a=!，

2bc2

因为OCAVTT,所以A=g,

J

又3=LA=2,.・.C=2,故二ABC为直角三角形.

262

故选：B.

3、A

【解析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.

a

【详解】因双曲线焦点在x轴上，所以渐近线方程为：v=±-x,

a

又因为双曲线离心率为G，且/+从=。2,

解得2二血，即渐近线方程为：)，=二&.

a

故选：A.

4、D

【解析】设等比数列｛4｝公比为夕(4工())，由已知结合等比数列的通项公式可求得《=4,q二-1，代入即可求

2

得结果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4(4工0),

2

由q+2出+3%+6a斗=0,得a1+2a、q+3aAc/+=0

即q(1+2q+3q~+6q')=0,又4w0

l+2c?+3q2+6“3=0,即(1+3“2)(I+2“)=0

又l+3q2>0,.•.1+24=。，解得4=

又等比数列｛4｝的前3项和为3,故6+。闯+词=3,

(11、

即,]_+=3,解得6=4

—qq=1

故选：D

5、B

【解析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.

【详解】根据分层抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为40x黑=10

500

故选：B.

6、A

【解析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.

【详解】根据题意作出示意图，如图所示：

4(。」)D(L1)

飞E(L0)

0\，

于，所求概率尸二S,sE=2=1.

uqA?B4CD乙r

故选：A.

7、C

【解析】设4B=a，AD=b，AA,=c,利用AC；=++结合数量积的运算即可得到答案.

【详解】设人B=〃，AD=b，A4,=c,由已知，得<〃/>=60,<6；,<?>=60,<c,b>=60,

\a\=\b|=|c|=1,所以。.力=ac=cb=；,

iUUiT|rt~~r~~r—/r2r2r2rrrrrr

所以AC=，(〃+/?+c)2=>/〃+/?+c+2ab+2a-c+2b-c=\/6.

故选：C

8、A

【解析】在该空间几何体的直观图中去求其体积即可.

【详解】依托棱长为2的正方体得到该空间几何体的直观图为三棱锥A-8C。

1]14

则VA-BCD=^S^BCD-AB=-X-X2X2X2=-

故选：A

9、C

【解析】按照空间中点到直线的距离公式d=直接求解.

【详解】由题意，B(-l,2,-3),AB=(—2,0,-6),43的方向向量H常素。言荻H一卡)

AC=(2,-2,-2),则点C到直线A8的距离为

【解析】根据双曲线的定义可得：|归用-归6||二2。，结合双曲线的方程可得答案.

【详解】由双曲线3-[=1可得〃=4

169

根据双曲线的定义可得：忸用一忱矶=2〃=8

故选：C

11、B

【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果

【详解】。+28=(2,1,—3)+(2,-2,4)=(4,-1,1)

故选：B.

12、B

【解析】利用空间向量运算求得正确答案.

【详解】MN=ON-OM=OB+BN--OA=OB+-BC--OA

232

—1——1—1—2—1-1-2-1-

=OB+-(OC-OB)一一0A=——OA+-OB+-OC=——a+-b+-c.

32233233

O

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—##0.5

2

【解析】由题意可知，点Q在平面A5CO内的轨迹是以“为焦点，直线AO为准线的抛物线，如图在底面48CO建

立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线AE的方程，将直线AE向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点P,

此时的面积最小，则三棱锥。一24£体积的最小

【详解】因为〃为面A6c。内一点，且点尸到面ADQ4的距离与到直线打片的距离相等，

所以点尸在平面A8CO内的轨迹是以B为焦点，直线AO为准线的抛物线，

如图在底面ABCD,以AB所在的直线为x轴，以A5的中垂线为),轴建立平面直角坐标系，则

A(-1,0),5(1,0),现0,2),

设抛物线方程为V=2px,则得〃=2,所以抛物线方程为)，=4<，0<x<l,

直线AE1的方程为二+5=1,即y=2x+2,

-12

设与直线AE平行且与抛物线相切的直线方程为y=2x+mf

y-=4x

由J,，得)广9一2)，+2m=0,

y=2x+m

由A=4—8〃7=0,得〃2=g,所以与抛物线相切的直线为y=2工+g,

此时切点为P,且上产的面枳最小,

|2_1|3

因为点户到直线AE的距离为二_|_2，

d=R飞

3

所以的面积的最小值为』AE|"=，XJ^XN-=3，

211~275~4

所以三棱锥A—PAE体积的最小值为1:S八稗-2=1：x3=x2=1=,

3342

故答案为：!

14、0,{HT},{777},{777,777)

【解析】先写出与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.

【详解】与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间为{Hr7H},此空间的子集为0,{”7},{TH},

{HT,TH}

故答案为：0,仍7},{77/},{HT.TH}

15、y=2x

【解析】利用导数求得/(“为增函数，根据/⑴=2,求得加=1,进而求得/'(1)=2,得出即在点P处的切线的

斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解

【详解】由题意，点P(〃?,2)在曲线y=/(x)上，可得/(M=lnm+〃?+l=2,

又由函数/(x)=lnx+x+l,x>0,则/'(x)=』+l〉0,

所以函数/(%)在(0,+8)上为增函数，且，(1)=2,所以〃?=1,

因为广（工）=4+1，所以/'（1）=2,即在点尸处的切线的斜率为2,

x

所以曲线y=/（X）在点。（1,2）的切线方程为y-2=2（x-l）,即），=2x.

故答案为：y=2x

【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算

公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力

16、—+^=1

2516

【解析】设切点为M,根据题意，列出点P满足的关系式即IPAI+IP8HPMI+IP例=|83|=10.则P点的轨迹是椭

圆，然后根据椭圆的标准方程求户点的轨迹方程

【详解】设动圆P和定圆B内切于点M,

动点。到定点4-3,0）和定圆圆心8（3,0）距离之和恰好等于定圆半径，

即IPAI+ITO|=|PMI+1P3|=|BM|=10>6,

•・•点?的轨迹是以A,3为两焦点，长轴长为10的椭圆，

b=h5-9=4，

二点夕的轨迹方程为看卷=1,

故答案：三十"=1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）见解析；（II）1.

【解析】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,

利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，

还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.

试题解析：（I）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB,DC,相交于点M（MS平面PAB）,点M即为所求的一个点.

理由如下：

由已知，BC〃ED,且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM//EB.

又EBU平面PBE,CM平面PBE,

所以CM〃平面PBE.

(说明：延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(II)方法一：

由己知，CD±PA,CD±AD,PA'AD=A,

所以CD_L平面PAD.

从而CD1PD.

所以/PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45。.

设BC=L则在RSPAD中，PA=AD=2.

过点A作AH_LCE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PAJ_平面ABCD,

从而PA_LCE.

于是CE_L平面PAH.

所以平面PCEJL平面PAH.

过A作AQ_LPH于Q,则AQJ_平面PCE.

所以NAPH是PA与平面PCE所成的角.

在R3AEH中，ZAEH=45°,AE=1,

所以AH=Y2.

2

在RtAPAH中，PH=7M2+A/72=—

AH\_

所以sinZAPH=

~PH3

方法二:

由已知，CD±PA,CD±AD,PAAD=A,

所以CD_L平面PAD.

于是CD1PD.

从而/PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45。.

由PA_LAB,可得PAJ_平面ABCD.

设BC=L贝!)在RtAPAD中，PA=AD=2.

作Ay_LAD,以A为原点，以A。的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A・xyz,

则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),E(l,0,0),

所以尸(IQ-2),£C=(1,1,0),AP=(0,0,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

n-PE=。,x-2z=0,

由｛得｛八设x=2,解得n=(2,・2,l).

n-EC=0tx+y=0,

\nAP\21

设直线PA与平面PCE所成角为a,则sina=7~.—~―/,,=T=7.

\n\-AP2xy]2-+(z-2y+\~3

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为g.

考点：线线平行、线面平行、向量法.

18、（1）y=6+-—

x

（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，

（3）见解析

【解析】（1）令”=',则可转化为y=q।求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，

XX

（2）求出）'与1的相关系数弓，通过比较用,闻，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将刀=10代入回归方

A

程中可求结果

（3）利用己知数据求出样本标准差s,从而可得非原料成本y服从正态分布N（23,139）,再计算（〃-3〃+。）,

然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论

【小问1详解】

令“二！，则＞可转化为丁=。+人”，

XX

-184.

因为uy=——=23,

8

8__

93.06-8x0.34x23

所以§二七-------=50,

t一8〃1.53—8x0.342

/=|

所以4=卞-31=23—50x0.34=6,所以），=6+50〃,

所以y关于x的回归方程为y=6+型

x

【小问2详解】

y与L的相关系数为5=

x

—9306-8x0.34x23^().993

1.53-8x0.115)(5777.555-8x232)V0.61x1545.55530.705

因为㈤<1寸，所以用反比例函数模型拟合效果更好，

把x=10代入回归方程得)，=6+需=11(元)，

所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元

【小问3详解】

因为亍=等=23,所以〃=23,

O

1

因为样本标准差为1(5777.555-8x23x23)-J1x1545.555«J193794-13.9,

\/=|8

所以。=13.9,

所以非原料成本y服从正态分布7V(23,13.92),

所以(4—b,〃+b)=(23—13.9,23+13.9)=(9.1,36.9)

因为56.5在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因

19、(1)工2-2=1

2

(2)不能，理由见解析.

【解析】(D利用题中距离之比列出关于动点M(x,y)的方程即可求解；

(2)先假设点产能为线段A区的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.

【小问1详解】

解：动点M(x»)与定点F(V3,0)的距离和它到定直线/:x=—的距离的比是6

等式两边平方可得:

/十户2&+3=3/+1-2瓜

化简得曲线C的方程为:

一二二1

【小问2详解】

解：点尸不能为线段AB的中点，理由如下:

由（1）知，曲线C的方程为：/工=]

2

过点尸（T1）的直线斜率为34（不）[）,

因为过点的直线与曲线C相交于两点A,B

r2_21--1

Ai—1

所以2,,两式作差并化简得：z十招—21三&"=。①

当P（—l』）为A8的中点时，则玉+占=-2，）1+%=2②

将②代入①可得：k=-2

此时过点P的直线方程为：2x+y+\=0

将直线方程与曲线C方程联立得：

2x2+4/+3=0，

A=16-4X2X3=-8<0,无解

与过点打-11）的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点尸不能为线段48的中点

【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.

20、（1）证明见解析；

3

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；

（2）利用坐标法，结合条件可求PA=2厉，然后利用体积公式即求.

【小问1详解】

・；AB=BC,M是AC的中点,

±ACt

•.•Q4_L平面ABC,83u平面ABC,

/.BMA.PA,又PA1AC=A,

.•.8M_L平面PAC,

・・・PCu平面PAC,

:.BMA.PC；

【小问2详解】

yAB=BC=6AC=2r

:.BM=2,

取PC的中点。，连接何。，则MD〃Q4,

」.MDl平面ABC,

以M为坐标原点，分别以M3、MC、MD所在直线为X、）'、z轴建立空间直角坐标系,

设AN=i,则M(0,0,0),N(O,-1J),A(O,-1,O),3(2,0,0),

「.MB=(2,0,0),MN=(0,-1J),AN=((W),A8=(2,1,0),

设平面BMN的一个法向量为"=(乂y,2),

n-MB=2x=0

由<,取z=l,得〃=(。1,1)；

n-MN=-y+tz=0

设平面的一个法向量为〃7=(X],y,zJ,

由《，取％=1,得〃?=(1,-2,0),

["?•AB=2x1+y=0

;二面角A-BN-M的大小为30。，

,-一,\mn\\2t\石5H「

.\|cos</n,H>|=------=解得，二后，

\m\\n\V5-Vr+12

PA=2AN=2x/15，

则三棱锥P—A8C的体积V='S\ABC•尸A二LxLx2x2x2ji?=&^5.

3"Be323

22

21-.(1)—+2--1；(2)2.

82

【解析】(1)由离心率小去得到/=4/,再由点P(2,l)在椭圆上，得到提+表=1,联立求得/=8,〃=2,

即可求得椭圆的方程.

(2)设/的方程为