2023-2024学年吉林市普通高中数学高二年级上册期末质量跟踪监视试题含解析

2023・2024学年吉林市普通高中数学高二上期末质量跟踪监视试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x-y+L,0,

1.变量一＞满足约束条件，为1,贝1」2=6工+5），的最小值为0

x...-1,

A.-6B.-8

C.-lD.5

2.已知空间直角坐标系中的点P（1,1,1）,A（l,0,l）,8（0,1,0）,则点尸到直线AB的距离为（）

ACR6

66

C亚D.也

33

3.的展开式中，常数项为（）

A.—160B.—20

C.20D.160

4.已知平面直角坐标系内一动点P,满足圆。:（1—4）2+丁=1上存在一点。使得/。42=45。，则所有满足条件

的点。构成图形的面积为（）

3兀

A.—B."

4

C.--D.2万

2

5.已知圆G：f+）,一2〃田+"/一1=0和圆。2：/+、2-2町，+/!2-9=。恰有三条公共切线，则

。〃一6）2+（〃-8）2的最小值为（）

A.6B.36

C.10D.Vio

6.已知A（l,-2,3）,则点A关于平面的对称点的坐标是（）

A.(-1,-2,3)B.(-1,-2,-3)

C.(l,-2,-3)2,-3)

7.在平面直角坐标系xOy中，点(0,4)关于直线x-y+l=0的对称点为()

A.(-l,2)B.(2,-1)

C.(1,3)D.(3,1)

8.一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球,

下列结论正确的是()

93

A.第一次摸到绿球的概率是:B.第二次摸到绿球的概率是义

510

34

C.两次都摸到绿球的概率是三D.两次都摸到红球的概率是不

9.设8点是点A(2,-3,5)关于平面xQy的对称点，贝IJ|A8|=()

A.10B.VlO

C.V38D.38

10.如瓯平行六面体ABC。一ABC4中，。为AG的中点，AB=cnAD=b，AA,=c,则AO=()

11.己知产是抛物线C：)，2=2p.E(〃>0)的焦点，直线/与抛物线。相交于尸，。两点，满足/「尸。二〒，记线

d

段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则两的最大值为()

B.百

/3i

D.-

r3

12.已知矩形ABCD,AB=\fBC=6沿对角线AC将_ABC折起，若二面角8—AC—。的余弦值为一；，

则3与。之间距离为()

A.lB.V2

C.>/3D.巫

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝(〃£%)是公差不为0的等差数列，4=1,且％,4,%成等比数列.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设数列-------1的前〃项和为求

14.若4—2,3),8(3,-2),三点共线，则肌的值为.

15.已知函数/(4)=/+(1一2〃)工+/,若关于x的不等式恒成立，则实数。的取值范围是_________

16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的

uuu1iirnr

直棱柱.如图，在堑堵八中，M是AG的中点，AB=2AA,=2ACBN=%BB、,MG=3GN，若

fJ

iiuuuuumuuuu

AG=xAAi+yAB+zACt贝!Jx+>+z=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在空间四边形A3CO中，反尸分别是A民的中点，G,H分别在CDA。上，且

CG:GD=AH:HD=2:\.

A

（1）求证：E,£G,"四点共面；

（2）设E”与AG交于点P,求证：机n尸三点共线.

18.（12分）已知双曲线上—二二1的左、右焦点分别为1，K,过E作斜率为"的弦A8.求:

27

（1）弦AA的长：

（2）△KA5的周长.

19.（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且

每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为g

（1）若出现故障的机器台数为X,求X的分布列；

（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现

故障时能及时维修，都产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂在雇佣维修工人时，要保证在任何时刻多台机

器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%,雇佣几名工人使该厂每月获利最大？

20.（12分）已知｛〃”｝是各项均为正数的等比数列，且4+生=6,4生=%.

（1）求数列｛叫的通项公式;

（2）数列也｝通项公式为式=2〃+1,求数列的前n项和

21.（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育

系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行,

以昂扬的状态迎接中国共产党建党100周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛.为了解

本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中。的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；

（2）已知该样本分数在［70,75）的学生中，男生占女生占:现从该样本分数在［70,75）的学生中随机抽出2人,

求至少有1人是女生的概率.

22.（10分）已知等比数列｛〃〃｝满足4+4=4,%+%=12

（1）求数列｛为｝通项公式；

（2）记瓦=log.。田，求数列-^―1的前〃项和S”

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.

【详解】根据不等式组作出可行域如图，

z=6x+5），=>y=--x+-则直线2=6工+5），过4（-1,0）时，工取最小值-6.

55t

故选：A.

2、D

【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】••41,0,1),5(0,1,0),P(l,l,l),

「•A3=(-l/,一l),AP=(0,1,0),\AP\=\f

4,从5…APAB1.万

A尸在AB上的投影为由=国=5'

则点尸到直线A8的距离为］卜42-（养券）=「1=半.

故选：D

3、A

【解析】写出展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.

［详解］（：_，’的展开式通项为4M=晨｛2j.（-x）f=c;-26--.（-i）r.x2r-6,

令2—6=0,可得r=3,因此，展开式中常数项为C；23.（_l）3=-160.

故选：A.

4、D

【解析】先找临界情况当尸。与圆。相切时，ZCPg=45，进而可得满足条件的点尸形成的图形为大圆（包括内部）,

即求.

【详解】当尸。与圆。相切时，ZCPQ=45,这种情况为临界情况，当产往外时无法找到点。使NCQQ=45,当

尸往里时，可以找到。使NCPQ=45,故满足条件的点尸形成的图形为大圆（包括内部），如图,

由圆C:(X—4『+)，2=1,可知圆心。(4,0),半径为1,则大圆的半径为血，

，所有满足条件的点尸构成图形的面积为万=2乃.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可

解决.

5、B

【解析】由公切线条数得两圆外切，由此可得"7,〃的关系，从而点。(〃?,〃)在以原点为圆心，4为半径的圆上，记

P(6,8),由归。求得|PQ|的最小值，平方后即得结论

【详解】圆C标准方程为“一〃。2+尸=1,C,(m,0),半径为1=1,

圆C2标准方程为/+(),_〃)2=9,。2(0,〃)，半径为4二3,

两圆有三条公切线，则两圆外切，

所以，加1=1+3=4,即〃—+〃2=]6，

点Q(〃z,〃)在以原点为圆心，4为半径的圆上,记。(6,8),

|P6=J(0—6尸+(0—8尸=10,所以归。喃=10—4=6,

所以(加-6)2+(77-8)2的最小值为62=36

故选：B

6、C

【解析】根据对称性求得坐标即可.

【详解】点A关于xQy平面的对称点的坐标是(1,—2,—3),

故选：C

7、D

【解析】设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可

【详解】解：设点(0,4)关于直线X—y+l=0的对称点是(“/),

3+1=0

22。=3

贝广解得:j

b-4.

-------=-I

故选：D

8、C

【解析】对选项A,直接求出第一次摸球且摸到绿球的概率；对选项B,第二次摸到绿球分两种情况，第一次摸到绿

球且第二也摸到绿球和第一次摸到红球且第二次摸到绿球；对选项C,直接求出第一次摸到绿球且第二也摸到绿球的

概率；对选项D,直接求出第一次摸到红球且第二也摸到红球的概率

C13

【详解】对选项A,第一次摸到绿球的概率为:才故错误;

C1C1C1C16

对选项B,第二次摸到绿球的概率为：才*才+才、才=而，故错误;

^**5^**4^**5^**41U

C1C13

对选项C,两次都摸到绿球的概率为：—f-＞故正确；

JJI。

c1C11

对选项D,两次都摸到红球的概率为：才=6,故错误

JJ।U

故选：C

9、A

【解析】写出4点坐标，由对称性易得线段长

【详解】点B是点A(2,-3,5)关于平面xO)，的对称点,

二.B的横标和纵标与A相同，而竖标与A相反，

8(2,-3，-5),

直线48与z轴平行,

.[40=5-(-5)=10,

故选：A

10、B

【解析】先用向量A4,与4。表示AO，然后用向量,表示向量A4,与4。，即可得解

【详解】解：为AG的中点，

AO=A4)+AiO=AA]+gAC=A4,+；(A4+AA)

=A4,+：(AB+AO)

=。+耳(。+。)

1-1•

=c+—a+—0

22

故选：B

【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运

算，属于基础题

11、C

【解析】设10/1=机,1。/1=〃，过点尸，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P',。'，进而得

4JP尸l+|QQ'L竺2,再结合余弦定理得|户。『=,/+/+"源，进而根据基本不等式求解得

22

上＜1」

I尸。厂4x(1-：)3・

【详解】解：设I尸尸1=人1。尸|=〃,

过点p,Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为尸

则PP，=,n,QQ'=%

因为点A为线段PQ中点，

所以根据梯形中位线定理得点A到抛物线c的准线的距离为d=='上，

22

因为NPFQ=与，

所以在APFQ中，由余弦定理得|PQ『=川+〃2_2〃〃?cosy-=m2+n2+nm,

d~_(m+n)2_(m+n)2_1

所以1尸。『4(w2+n2+nin)4](阳+〃尸一〃〃?]〔mn,

(m+n)2

_mn1

又因为(〃?+〃)2,4〃"2,所以7--------当且仅当帆时等号成立，

(〃7+/?)4

1

d<—!—p=-诂d6

所以4x(l-l)3,故画(彳・

所以岛的最大值为立•

\PQ\3

故选：C

【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.

本题解题的关键在于根据题意，设|。/|二，几|。/|=〃，进而结合抛物线的定于与余弦定理得1=32,

2

IPQf=m2+n2+inn,再求最值.

12>C

【解析】过点8在平面A8C内作B£_LAC,过点D在平面AC。内作DF_LAC,以F。、FE为邻边作平行四边

形EFDG,连接AG,分析可知二面角N—AC—Q的平面角为NREG,利用余弦定理求出AG,证明出DG_LRG,

再利用勾股定理可求得3。的长.

【详解】过点笈在平面A8C内作8£_LAC,过点。在平面AC。内作OF_L4。，以FD、FE为邻边作平行四边

形EFDG,连接BG,

因为AB上BC,AB=lt灰7=百，则，6+叱=2,

因为8E_LAC,由等面积法可得BEJBBC二好,同理可得。尸=正，

AC22

由勾股定理可得AE二yjAlf-BE?=L,同理可得.♦.£F=AC-2AE=1,

22

因为四边形夕'OG为平行四边形，且DQEF,故四边形为矩形，所以，EG1AC,

因为8E_LAC,所以，二面角A—AC—。的平面角为/3EG,

在j8EG中，BE=EG=—»cosZBEG=--t

23

由余弦定埋可得BG2=BE2+EG2-2BEEGCOS/BEG=2，

•/DG//AC,EGA.AC,BE1AC,则EG_LDG,BEIDG,

因为EG=E,.•.QG_L平面BEG,・・・8Gu平面BEG,则DG_L8G,

•：DG=EF=\,由勾股定理可得BQMJZXL+BG?=g.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1)a„=n；(2)7；=1--------.

n+1

【解析】(1)根据6=1,且。2，4,％成等比数列，利用等比中项由(l+3d)2=(l+c/)(l+7d),求得公差即可.

⑵由⑴得到共1士=1占，再利用裂项相消法求解.

【详解】(1)设数列｛/｝(〃£%")的公差为d,

因为4=1,且4，%，6成等比数列，

所以(l+3d『=(l+d)(l+7d),

即/—/=0,

解得1=1或4=0(舍去),

所以数列｛a,,｝的通项公式为=q+(〃-l)d=〃；

(2)由(1)知：q.%—+1)—厂〃+］，

….1111111

所以=-----1-----F...4

"1223n/7+1~n+\

【点睛】方法点睛：求数列的前〃项和的方法

(1)公式法：①等差数列的前〃项和公式，S“=〃(4+%)+"("7)4②等比数列的前〃项和公式

212

navq=\

Sn=<^(1-tf)；

———Lg

"q

⑵分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解

⑶裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，止负相消剩卜首尾若十项

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广

⑸错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前〃项和用

错位相减法求解.

⑹并项求和法：一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如(一1)7(〃淡型，可采用两项

合并求解

14、0

【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出

【详解】由4—2,3),5(3,-2),三点共线，可知A3所在的直线与AC所在的直线平行，

-c心__2-3_3-77?3-m

又Q3讦L'小工

由已知可得一1二一上=，解得〃2=0

3

故答案为：o

15、岛+8)

【解析】分析：应用换元法，令u=/(x)=f+(1-2〃)/+。2,(“三不等式/(/"))20恒成立，转

化为之0在恒成立，确定/3)min关系式，即可求得答案.

4

详解：f(尤)二r+(1—2o)x+ci~—［x—(ci——+rz——

，函数对称轴小=。一3,最小值/(x)min=。一；

令口=/(x)=x2+(l-2«)x+«2,〃w［a-；,+oo)

则/(/(%))>0恒成立，即在〃€一；,+8)上/(W)min>0.

11

a—>a—,

42

113

.../(〃)在［a-7,+8)单调递增，/(w)=—

4inin416

。一弓3NO,解得。之3弓，即实数。的取值范围是［3弓,+8)

161616

故答案为［盘,+8).

点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数

问题求解的换元法

【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.

【详解】设AB=2,如下图所示，建立空间直角坐标系，4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,0,l),4,(0,1,0)M[0,1,1

N(2」,02,a0卜(01；卜(2,

贝|JMN=

I3WK)

2(31"

所以AG=AM+MG=

32八228J

、c311

又因为AG=xAA,+yAB+zAC=(2y

f7228

所以Ay+zJ+LLU

2488

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】(1)根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明EF//HG,进而证明问题；

(2)先证明Pw平面Pw平面BCD,进而证明点尸在两个平面的交线上，然后证得结论.

【小问1详解】

「Arj

连接AC,E,尸分别是AB,BC的中点，.•.$//4c.在二A。。中，—=——，:.GHNAC,:.EF//HG.所以

GDHD

E,£G,H四点共面.

A

【小问2详解】

・：EHcFG=P,所以PsEH,

又£77u平面AB。,，平面ABD,

同理：PsFG,尸Gu平面BCR..PE平面BC。，

.•.尸为平面A5。与平面8c。的一个公共点.

又平面平面BCD=BD,:.PwBD,即P,鼠。三点共线.

18、（1）16x/2；

（2）36及.

【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，求得交点的坐标，再用两点之间的距离公式即可求得|4用；

（2）根据（1）中所求，利用两点之间的距离公式，即可求得三角形周长.

【小问1详解】

设点A,8的坐标分别为（%,y）、（&,%）,

由题意知双曲线的左、右焦点坐标分别为6（-3,0）、5（3,0）,

直线AB的方程_y=凤x-3）,

V2v2

与二一匚二1联立得丁―12工+20=0,解得％=2,%=1（）,

27

代入AB的方程为y=J7（x-3）分别解得y\=一万,y2=7。.

所以|A却=J（X-丹）~+（y-）=J（2-10）+（-b-7币）=165/2•

【小问2详解】

由(1)知|AB|=16夜,

\AF,\=^（2+3）2+（-A/7-0）2=4及，

|明=｛（1（）+3『+（7五—0）2=16收，

所以△尸A8的周长为|4国+忸制+|AB|=36上.

19、（1）答案见解析

（2）雇佣3名

【解析】（1）设出现故障的机器台数为X,由题意知X即可由二项分布求解；

（2）设该厂雇佣〃名工人，〃可取0、1、2、3、4,先求出保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的

概率不小于90%需要至少3人，再分别计算3人，4人时的获利即可得解.

【小问1详解】

每台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为:，4台机器相当于4次独立试验

（八

设出现故障的机器台数为X,则XB4,-,

P（x=o）y即如印«1）=唔,•目啜

P（X=2）=C陪）.电嗡P（X=3）=C咱.停）备

P（X=4）=C：g）=1.

则X的分布列为:

X01234

16322481

P

8?8?8?8?8?

【小问2详解】设该厂雇佣〃名工人，〃可取0、1、2、3、4,

设“在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修”的概率为P（XW〃），贝!I：

/I01234

16487280

P(X</?)1

818?IFs?

V—<90%<—,

8181

，至少要3名工人，才能保证在任何时刻多台机器同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%

当该厂雇佣3名工人时，设该厂获利为y万元，则y的所有可能取值为"，12,

QA1

P（y=17）=P（X<3）=^j,P（r=12）=l-P（r=17）=—,

的分布列为:

Y1712

801

P8?8?

.r(v\1^711372

・・E\Y\—17x-----F12x——=------«16.9,

\)818181

，该厂获利的均值为16.9万元

当该厂雇佣4名工人时，4台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为100%,该厂获利的均值为

4x5-4=16万元

，若该厂要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%时，雇佣3名工人使该厂每月获

利最大

20、(1)6=2”；(2)7；=5-与二

【解析】（1）设｛4｝的公比为夕，利用基本量运算求出公比，可得数列｛q｝的通项公式;

（2）利用错位相减法计算出数列a的前〃项和7；

【详解】（1）设｛〃”｝的公比为必由题意知：4（1+9）=6,a；q=%qt

又〃“>0,解得％=2,q=2,所以4=2".

b2〃+1

⑵么=2〃+L令则%=

2〃

3572,7-12/7+1

因此］=q+C2+・・+%=耳+旌+m+

2"一［2〃

又I3572〃-12〃+1

-7—r—r+

21223242〃2"'।

131112〃+132A?+1_52〃+5

两式相减得±7；=士+.、