2023-2024学年运城市稷山中学高二数学上学期11月考试卷附答案详析

2023-2024学年运城市稷山中学高二数学上学期11月考试卷

（试卷满分150分.考试用时120分钟）2023.11

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.直线/：x+y-l=0的倾斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.过点加（2，-3）且与直线x+2y-9=°平行的直线方程是

A2x-y+8=0Bx-2y+7=0Qx+2y+4=0px+2y-l=0

AB+-BC+-BD

3.空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点，则22等于（）

A.ACB.GAC.AGD.MG

4.过点（5,2）,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）

A.2x+y-12=0B.x-2y-l=0或2x-5y=0C.x-2y-l=0D.2x+y-12=0或2x-5y=0

5.如图，在四棱锥P-A8c。中，底面48CD,底面ABC。为正方形，PA=BC,E为CD的中点,

〃为℃的中点，则异面直线勿与此所成角的正弦值为（）

V7885百4-

A.9B.§C.9D.9

6.LA知向量m,n分别是直线I的方向向量和平面Q的法向量，若cos<m,n>=2,贝ij1与a所成的

角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

j_3

7.圆丁+9+24-6），+1=（）关于直线or—力+3=°（«>0,b>0）对称，则二工的最小值是（）.

1620

A.3B.3C.4D.2指

22

口口工一5=1（。>0.8>0）

8.设小心分别是双曲线/什的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点尸，使得

（。尸+0身.尸2尸=0,其中。为坐标原点，且同卜2陷则该双曲线的离心率为

A.3B.13+1c.TD.邓

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知直线4：“一"1+2=0,直线/2：融—（々一2力-3=0,若3"则实数a可能的取值为（）

A.-1B.0C.1D.2

C,――_y2—|

10.已知双曲线.4”一，则（）

在

A.双曲线C的离心率为2

B,双曲线°的焦点到渐近线的距离为1

-y=±—x

C,双曲线0的渐近线方程2

D.双曲线0左支上的点到右焦点的最短距离为4

11.已知圆C的方程为（“一1）-+（y一1）-=4,直线/的方程为x+叼-〃?-2=°,下列选项正确的是（）

A.直线/恒过定点（21）

B.直线与圆相交

C,直线被圆所截最短弦长为2行

D.存在一个实数机，使直线/经过圆心C

12.如图所示，正方体ABCO-AGGA的棱长为1,E、F、G分别为8C、°G、⑶片的中点，则下列

说法正确的是（）.

A.直线马。与直线所垂直

B,直线4G与平面A族平行

9

C.平面AE/截正方体所得的截面面积为G

D.点A与点。到平面4故的距离相等

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设直线/的斜率为％,且一1“<8，则直线/的倾斜角。的取值范围为.

k.过圆*+丁+2.­4），-4=0与直线x-），=0的两个交点，且面积最小的圆的方程为

15.焦点在x轴上的椭圆/25-焦距为6,两个焦点为匕居，弦AB过点勺则居的周长

为

16.2-A8CQ是正四棱锥，48co-A8CQ是正方体，其中人“=2,PA=R,则到平囱PA。的距

离为

匹、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）已知直线乙：2%-〃"-1=°和/2：（加-1）工-"1=0,若〃儿，求实数的值;

（2）已知"3。的三个顶点A（-Z0）,3（2，。），。（6,4）,求其外接圆〃的标准方程.

18.如图，在斜四棱柱ABCD-A8CQ中，底面ABCD是边长为i的正方形，

⑵若PC与AB所成角为45,求二面角/一BE-A的余弦值.

C:「十==1(〃>/?>0)(2\/20)~~

22.已知椭圆少旷的一个焦点坐标为I、’人离心率为2.

(1)求椭圆0的方程；

(2)设。为原点，若点A在椭圆C上，点3在直线'=4上，且。试判断直线A8与圆/+丁=9

的位置关系，并证明你的结论.

1.D

【分析】求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系即可求解.

【详解】因为直线/的斜率为-1,所以/的倾斜角为135。.

故选：D

2.C

【解析】设所求的直线方程为x+2y+〃?=。，代入点M(2,-3),即可求得本题答案.

【详解】因为所求直线方程与直线"+2»'-9=°平行，所以可设为x+2y+〃?=°,又因为经过点“(2,-3),

代入可得"，=4,则所求直线方程为x+2y+4=0

故选：C

【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.

3.C

【分析】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可.

'BC=BM-BD=MG

【详解】VM,G分别是BC,CD的中点，...2,2

AB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG

22

故选：C

4.D

【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.

?=2.

【详解】当直线过原点时，直线方程为‘-即21-5)，=0

xy.52

-H---=1(c--1---=1。=6

当直线不过原点时，设直线方程为。2。，代入得〃2a,

所以直线方程为2x+)'—12=0

故选：D

5.A

【分析】如图建立空间直角坐标系，求出4"和PE的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值,

再由同角三:角函数基本关系即可求解.

［详解］因为尸底面A8CO,A及ADu面AN。，可得笈_LAB,PA±AD,

因为四边形A3CO为正方形，可得A8J.A。,

所以A氏八。用。两两垂直，如图分别以八及4。，4P所在的直线为x»，z轴建立空间直角坐标系，设AB=2,

则展2,

可得3（2,0,0）P（0,0,2）,0（220）,:（1,1,1）,£（1,2,0）,

所以即=（一1』,1）正=（1，2，一2）,

所以〈，|明•四厚39,

设异面直线BF与正所成的角为

【解析】根据线面角与方向向量与法向量的夹角的关系进行判断.

【详解】设1与a所成的角为e且6£[0,90°1，WiJsin9=|cos<m,n>|=2.A0=30°.

故选：A.

【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角向量的解法.

7.A

【分析】根据题意可知直线经过圆心（T'3）,整理得§“+"一1（。>°,b>0）,结合基本不等式运算

求解.

【详解】由圆/+/+2x-6），+1=0可得标准方程为（x+N+U-3）2=9,

即圆心为㈠孙

因为圆关于直线以一力+3=°对称，则该直线经过圆心（T，3）.

-a+b=\

艮|一，一劝+3=0,整理得3b>0),

—+-=—a

贝!。°13

3b3a.3

——=—a=b=一

当且仅当。〃，即4时，等号成立，

1316

--1--

所以。人的最小值是3.

故选：A.

8.D

【分析】由(8+啕•右=°,得1研=1°周，取产工中点M,可得3门勺利用双曲线的定义结

合勾股定理解出该双曲线的离心率.

【详解】由(8+叫6尸=°，得如=阿，取次中点〃，则。所以尸口”,

设|Pg|=〃7,则附|=2叫且归国一俨闾=2«="?,因此(4a)?+(2a)2=(2c)2,解得,

故选：D.

9.BC

【分析】由《,幻可得"+-2)=0,即可得出答案.

【详解】解：因为4U,所以"〃32)=0,解得。=0或1.

故选：BC.

10.ABC

【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.

c•—-y2=1-

［详解］解：双曲线4'中，〃=4方=1,所以°2=/+/=5,则a=2,b=l,c=V5

c_75

所以双曲线°的离心率为力二耳，故A正确：

双曲线的焦点为到渐近线，=±5"的距离为》+(，)，故B正确，C正确；

双曲线c左支上的点。到右焦点居的距离为归闾"+〃=石+2,故最短距离为蓬+2,故D不正确.

故选：ABC.

11.ABC

【分析】化简直线/的方程为■r-2+，〃(y-l)=0,结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点I24)

能距离，得到点。在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线

PC垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线/的方程，可判

定D不正确.

【详解】对于A项：由直线/的方程〃-2=°,可化为x-2+〃?（y-l）=°,

x-2=0

联立方程组b'T=°,解得x="=l,即直线/恒经过定点P（2J）,所以A正确：

对于B项：由圆C的方程（XT"1一1）'、可得圆心C（U）,半径r=2,

又由俨4=1<2=、可得?（ZD在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；

对于C项：由归根据圆的性质，可得当直线和直线PC垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长

为2历时=2-=23所以c正确；

对于D项：将圆心81）代入直线/的方程X+〃D」〃L2=0,可得1+〃-2=-100,所以不存在一个

实数〃?，使得直线/过圆心°,所以D不正确.

故选：ABC.

12.BCD

【分析】根据空间向量数量积计算判断A；

通过线面平行的定义判断B；

根据截面形状计算面积判断C：

根据图形关系判断点到平面距离是否相等即可判断D.

【详解】如图所示，在棱长为1的正方体中，建立以。为原点，以OA、DC、所

区为E、F、G分别为8C、CC、BBI的中点,

则0(0,0,0)A(0,0,1)4(1,0,0)F。心

DD—00="'3）DD）-AF=—^0

对于A选项，叫一（。，。川、12人...2,故A错误

对于B选项，连接阳、"%・."卬比尸，.・.A、A、E、F四点共面，

”.//GJAA=GJ...四边形A.FG为平行四边形，

・Afi〃D\F又AGa平面4即，.Fu平面从政，

・・・AG//平面AEE,故B正确；

对于C选项，连接他、加，・・・他//斯，

・•・四边形AD'FE为平面AEF截工方体所得的截面,

逑=2

见四边形物庄的面积为22）48,故C正确:

对于D选项，连接交A"于点°,

则。是A0的中点，且。是线段4。与平面AD'FE的交点，

・•・点4和点D到平面A痔的距离相等，故D正确；

故选：BCD

【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为:

（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解；

（2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解；

（3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解.

【分析】根据倾斜角与斜率的关系及正切函数的性质计算可得.

【详解】解：直线/的倾斜角为"，则"4°"）,由74k<6,得-Kana〈后,

一。,小户

故答案为：L14

【分析】先得到圆f+)'+23-4)，-4=°与直线"-)，二°的交点坐标AI,进而得到过这两个交点且面

稹最小的圆是以A8为百件的圆，得到圆心和半径，得到答案.

【详解】设圆/+)/+2工-4)，-4=°与直线4-、=()的两个交点为48,

j2+/+2%-4y-4=0（x=-\x=2

联立卜7=0,解得i）'=T或心

不妨设4-LT)、W2,2),

贝!过这两个交点且面积最小的圆是以八4为直径的圆,

15.4后

【分析】根据椭圆的方程和焦距求得a,再由△加马的周长为4a求解.

r2

—+--=I

【详解】解：焦点在x轴上的椭圆25焦距为6,

所以2c=6,解得c=3,

所以/=25+9=34,则〃=曲，

所以△屿的周长为4〃=4后，

故答案为：4后

6亚

16.5-

【分析】以A"为文轴，AA为y轴，AA为z轴建立空间直角坐标系，求出平面幺。的法向量，8①的

坐标，利用距离公式，即可得到结论.

【详解】解：以A妫为X轴，AR为y轴，AA为Z轴建立空间直角坐标系,

设平面幺。的法向量是'〃=(K)'，Z),

AO=(0,2,0),AP=(1,1,2)

m-AD=Of2>'=0

..由可得［x+y+2z=。

取z=l得加=(-2,0』)，

4A=(-2,(X2),

.・.4到平面幺力的距离WI5.

6x/5

故答案为：—.

【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

17.⑴小=2；⑵-+(k6)2=40

【分析】(1)根据《“A得出两直线的斜率相同，解出m的值，再检验m的值；

⑵设外接圆的标准方程为。-4+。一方=产,结合待定系数法求出a、b、r的值即可.

【详解】(1)由题意，得

直线人的斜率'一”,直线12的斜率&2=6-1,

因为所以占=*2即机一",解得m=2或m=-L

当m=2时，4：2x—2y—l=0,4：x—y+l=O,符合题意；

当m=-l时，K2x+y—l=(),£-2x-y+\=Of4与"重合，不符题意.

故m=2；

(2)由题意，设48c外接圆H的标准方程为a-a)2+()i)2=L

因为点A、B、C都在外接圆H上，

(-2-十(一力)'=r'a=0

■(2-a)2+(-b)2=r2<b=6

所以k6_4+(4_八：解得|「=2啊

所以乂BC外接圆H的标准方程为V+()」6)2=40

18.(1)证明见解析；

⑵3

【分析】(1)由AC="十A8+AO,80=4)-48,应用向量数量积的运算律及已知可得

AC^BD=0即可证结论；

(2)由I4GI之AVA8+AO|[应用数量积运算律得方程求侧棱"A的长.

【详解】⑴由图ACLAVACLM+AA+AAnAAj+AB+AZ),BD=AD-ABt

所以AC〕,BD=(.AAi+AB+AD)-(AD—AB)=A4(,AD+AD—AAi,AB—AB~

Z8AA=ZDAA=-.A-2„2

又6且底面ABC。是边长为i的正方形，则4r=xr=Ax8,

所以4G4。=0,即AG18。

(2)由(])知・MGI2=1MI2=M2++AD"+2M-AB+2AA.•AD+2AB-AD

根据已知条件，所以IAA『+2#1AAi|-9=(|/V\|+3\/5)(|A4,|-75)=0,贝|j|A4J=\/5

19.(l)x=0或3x-4y+20=0；

⑵f+y2+2x-]]y+30=0

【分析】(1)根据垂径定理求解弦长，再根据弦长为46即可求出直线方程：

⑵设圆C内过点P的弦的中点为D(x,y),则CDJ_PD,则00。=°,据此化简即可得轨迹方程.

【详解】(1)圆C的方程可化为：*+2)2+(>—6)2=16,圆心c(—2,6),半径r=4.

如图,设直线1与圆C交于AB两点,则1ABi乂色D是AB的中点,则>=2色|AC|=4.

在RSADC中，可得18k於叶丽=际=2

兰直线I的斜率存在时，设直线I的斜率为k,

贝!吏线1的方程为y-5—kx,即kx-y+5—0.

|-2k-6+5|3

出点到直线的距离公式得而==2,解得k=*,

此时直线1的方程为3x-4y+20=0.

当直线1的斜率不存在时，此时直线1的方程为x=0,

x=0

<、,=>y=±2rV3+6

[(x+2)2+(y-6)2=16",

...弦长为|(26+6卜(-26+6)|=4百满足题意.

因此，直线1的方程为x=0或3x—4y+20=0.

(2)设圆C内过点P的弦的中点为D(x,y),则CD_LPD,

:.CDPD=。,*;C£)=(x+2,y-6)PD=(x,y-5),

.*.(x+2)x4-(y—6)(y—5)=0,

化简得轨迹方程：x24-r+2x-lly4-30=0

20.(1)3.(2)3

【分析】(I)如图建系，写出各点坐标以及4"、平面"EG的法向量"?=(X，X，zJ,由向量的夹角公式

即可求解;

(2)连接EF,证明FC/g利用线面平行的性质定理即可求证，直线"C到平面AEG的距离等于点尸到

平面AEG的距离，计算点F到平面"的距离即可.

(1)如图：以2为原点，以°人所在的直线为人轴，.G所在的直线为)‘轴，所在的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，贝/(I，。/)，网1,2,1),E(IJO),G(0,2,0),

广(1,1,1)A3=(O,2,O)AE=(OJ,-l)明=(-1,1,0)

设平面4对的法向量为,

m-AE=y-马=0

V

贝！［"明=F+M=°,令K=1可得4=1,所以"(I』」)

设A8与平面AEG所成角为夕，

则'”同网73x23,

所以48与平面"EG所成角的正弦值为3,

(2)连接石尸，因为点E为线段斗四的中点，点/为线段A8的中点，

所以睥嗯二,则四边形瓯C是平行四边形，

所以FC/g,

因为EGu平面AEG,尸Ca平面AEC,

所以“C〃平面

区为FC〃平面A£G,所以直线产。到平面AEG的距离等于点尸到平面AEG的距离，

吃喝।⑺

d=।J==—

所=(°m),所以距离IH&3,

立

所以直线尸c到平面的距离等于3.

21.（1）证明见解析（2）3

【分析】（1）根据幺=。/九£为A。的中点，得到小工人。，再由正_LC。，利用线面垂直和面面垂

直的判定定理证明：

（2）以E为原点，以£4为x轴，所为轴，以科为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面七防的一

m-n

cos<m,n>=-------

个法向量为机=E户Z）,再由平面树的一个法向量为〃由1〃小1川求解.

【详解】（1）证明：

•:PA=PD,E是A。的中点，♦・・。石工4。，

又PE工CD,AD"）CD=DfA。、CQu平面ABCD,

・•・PE_L平面ABCD，•二PEu平面PAD,

・•・平面"O_L平面A8CQ；

BC=CD=-AD=\

（2）解：•・,AD//BC、4OC=90、2,：,AE±BE,

以上为坐标原点，射、EB、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，

连接比，

•：AE〃BC、人E=8C,.•.四边形A£C3为平行四边形，

AAB//CE，,“CE是异面直线尸C与AB所成的角，则NPCE=45°,

:.PE=CE=叵,则石（（），（），（））、川°'°,a）、8（0,1。）、C（T，I，（）），

/।1⑥

r--9-9---

・・・I22

-一,EF=（-——

设平面8£尸的法向量为机=（x，y，z）,又E8=（0,l,0）、2'2'2,

m-EB=y=0

'“11应c

/.222，令z=l,则x=Vi、y=。，

...$=（x/2,0,1）,又平面母的法向量〃=（0,0,1）,

设二面角尸一/坦-A的平面角为0,经观察。为钝角，

V3xl3

X

三+J

22.（1）168；（2）相交，证明见解析.

c=2&

cV2

<。=-=—

a2

a2=h2+c2,

【分析】（1）根据题意列出方程组,解方程组的“力的值即可求解；

（2）设AG。，〉'。），W'，4）,且而工°,由=°可得/，%」的关系，分类讨论直线A8的斜率是否

存在，求出原点到直线A8的距离，与半径比较大小即可求解.

c=2xi伤

C_V2c=2>/2

<e=­

a2,a=4

cr=b2+C2L.、仄

【详解】（1）由题意可得：，解得：

x2/.

--++--=1

所以椭圆C的方程为168,

（2）设4（%，%），8（（4）,且毛工。，可得°A=（%，NO）,OB=(f,4)

”-必

医为N1OR,所以。4。"=*,+4K=（）,解得