2023北京西城初三（上）期末数学试卷含答案

2023北京西城初三（上）期末

数学

满分100分，考试时间120分钟.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

1.二次函数y=（x—2/+3的最小值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状

的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是相对称图形，乂是中心对称图形的是

()

3.下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个可

D.任意画一个三角形，其内角和是540。

4.如图，在中，弦A3，C。相交于点P,ZA=45°,Z4PD=8O°,则NT?的大小是()

A.35°B.450C.60°D.70°

5.抛物线），=-2/+1通过变换可以得到抛物线）,=-2（X+1『+3,以下变换过程正确的是（）

A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请

x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）

A.2x=\5B.x（x+l）=15C.x（x-l）=15D.”（丁）二15

7.如图，在等腰“SC中，NA=120。，将绕点C逆时针旋转二（0°<=<90。）得到4。。石，当

点A的对应点。落在上时，连接况，则的度数是（）

A.30°B.45°C.55°D.75°

8.下表记录了二次函数y=e£+—+2（。工0）中两个变显x与〉的5组对应值，其中百</<1.

・・・-5%13•••

y・•・tn020m•••

根据表中信息，当-]<x<。时，直线），=%与该二次函数图象有两个公共点，则火的取值范围是

（）

7

A.-<k<2B.-<k<2C.2<k<-D.2<k<-

6633

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.一元二次方程16=0的解是.

10.已知的半径为5,点P到圆心。的距离为8,则点夕在。。（填“内”“上”或“外”）.

11.若关于x一元二次方程f+3jv+c、=0有两个相等的实数根，则c的值为.

12.圆心角是6（）。的扇形的半径为6,则这个扇形的面积是.

13.点M（3,〃?）是抛物线），=/・不上一点，则加的值是____，点M关于原点对称的点的坐标是

14.已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当人>1时，）随x的增大而增大，请你写出一个满足上

述条件的二次函数的解析式：.

15.如图，在平面直角坐标系xQy中，以点4（及,0）为圆心，I为半径画圆，将OA绕点。逆时针旋转

a（00<a<180。）得到使得oA与y轴相切，则。的度数是

16.如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，且A5_LOC，?为圆上一动点，加为AP的中点，连

接CM,若的半径为2,则CM长的最大值是.

三、解答题（共68分，第17・18题，每题5分，第19题6分，第20・23题5分，第24・26

题，每题6分，第27・28题，每题7分）

17.解方程：x2—4x+2=0

18.己知：点A,B,C在。。上，且NBAC=45°.

求作：直线/,使其过点C,并与。O相切.

作法：①连接0C；

②分别以点“，点。为圆心，。。长为半径作弧，两弧交于。。外一点。；

③作直线CO.

直线C。就是所求作直线/.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面证明.

证明：连接OB,BD，

•：OB=OC=BD=CD,

・•・四边形030。菱形，

•・•点A,B,C在。。上，且NBAC=45。，

A/BOC=______°（）（填推理的依据）.

・•・四边形O8OC是正方形，

AZOCD=90°,即0CJ_C力，

•・•。。为半径，

・•・直线。。为OO的切线（）（填推理的依据）.

19.已知二次函数-2x-3.

（1）将），=——2x—3化成y=—力的形式，并写出它的顶点坐标；

（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

（3）当-l<xv2时，结合图象，直接写出函数值》的取值范围.

20.如图，A8是。。的一条弦，点C是A8的中点，连接0C并延长交劣弧A8于点。，连接。8,

DB，若AB=4,CD=1,求公3。£）的面积.

21.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有

白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出

1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸

球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果.

红球频数八

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750,

0.748

0.746

0.744

6—10002000300040005000600()700()800090001000)摸球哀数/次

（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的叽布袋中随机摸出一个球是红球的概率是

,其中红球的个数是;

（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是

白球的概率.

22.如图，在四边形A8CO中，AC,8。是对角线，将点8绕点C逆时针旋转60。得到点E，连接

AE,BE,CE.

（1）求NC8E的度数；

（2）若△4?。是等边三角形，EZABC=30°,A3=3,BD=5,求8E的长.

23.已知关于x的方程x?-2mx+m?-9=0.

（I）求证：方程有两个不相等的实数根：

（2）设此方程的两个根分别为阳，/，且若2%=9+5,求加的值.

24.如图，在中，AB=AC,N8AC=90。，点。是AC上一点，以。为圆心，OA长为半径作

圆，使与3C相切于点。，与AC相交于点£.过点8作B/〃AC,交。的延长线于点尸.

（1）若AB=4,求。。的半径：

（2）连接80,求证：四边形3庄。是平行四边形.

25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项FI之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在

着陆坡上的点。处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里04表示起跳点A到地面

。8的距离，OC表示着陆坡的高度，08表示着陆坡底端5到点。的水平距离，建立如图所示的平面

直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度）'（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满

足函数关系：y=-^-x2-^bx+c,已知。l=70m,OC=60m,落点2的水平距离是40m,竖直高度

16

是30m.

(1)点A的坐标是,点。的坐标是;

(2)求满足的函数关系)，=一3/+版+。；

16

(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡8c竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距

离.

26.在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=奴2+以+(.(。工0)的对称轴为直线工="且

3a+2/?+c=0.

(1)当c=0时，求Z的值；

(2)点(一2,凹)，(1,%)，(3,%)在抛物线上，若a>c>0,判断%，当与),3的大小关系，并说明理

由.

27.如图，在A/WC中，AC=BC,48=90。，ZA依=45。，连接CP,将线段CP绕点。顺时针旋

转90。得到线段CQ,连接AQ.

(1)依题意，补全图形，并证明：AQ=BP；

(2)求NQ4P度数；

(3)若N为线段A8的中点，连接NP,请用等式表示线段NP与。尸之间的数量关系，并证明.

28.给定图形W和点尸，Q,若图形W上存在两个不重合的点M,N,使得点P关于点M的对称点与

点。关于点N的对称点重合，则称点尸与点。关于图形W双对合.在平面直舛坐标系工。丫中，已知点

4(-1,-2),8(5,-2),C(-l,4).

(1)在点。(-4,0),七(2,2),“(6,0)中，与点。关于线段A8双对合的点是；

(2)点K是工轴上一动点，OK的直径为1.

①若点A与点T(Oj)关于©K双对合，求t的取值范围：

②当点K运动时，若上存在一点与OK上任意一点关于OK双对合，直接写出点K横坐标々的

取值范围.

参考答案

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

1.【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的性质解答即可.

【详解】二次函数y=（x-2）2+3,

当x=2时,最小值是3,

故选A.

【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心史称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心时称图形，故A选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意：

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

3.【答案】B

【解析】

【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；

C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意：

D.任意画一个三角形，其内角和是540。，是不可能事件，故不选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件

下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在

一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形的外角的性质可得NC+NA=NA/Y),求得NC,再根据同弧所对的圆周角相等，即

可.得到答案.

【详解】解：vZC+ZA=ZAPD,Z4=45°,Z4PD=80°,

/.ZC=ZAPD-ZA=80°-45°=35°,

."="=35。，

故选:A.

【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；

【详解】解：抛物线y=-2f+l通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线

y=-2(x+l)2+3,

故选择：D

【点睛】本题考查抛物线的平移.熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=gx(x-1),由此可得出方

程.

【详解】解•：设邀请x个队，每个队都要赛(1-1)场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得="7)=15.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球

队之间的关系.

7.【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得/4笈。=幺6=30。，根据旋转的性质，得

BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形内角和定理得

/CBE=NCEB=^(180°-30°)=75°,即可求得NBED=NBEC-Z.CED.

【详解】解：・・・AB=AC,Z4=120%

.­.ZAOC-zTACB-300,

由旋转得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,

/.ZCBE=ZCEB=g(180°-30°)=75°,

ABED=ZBEC-ZCED=75°-30°=45°,

故选:B.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关

键.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根据表中数据得出对称轴犬=-1，进而得到抛物线与/轴的交点，利用交点式得到

)，=a(x+3)(x—l),从而得到二次函数表达式为＞=一日/一：工+2,根据当一1＜工＜0肘，直线

JJ乙

Q

y=k与该二次函数图像有两个公共点，可得2＜%＜§.

-5+3

【详解】解：由(-5,〃。、(3,/〃)可得抛物线对称轴x=、一二一1,

又由(/0)、(1,0)以及对称轴尸―1可得司=-3,

/.(-3,0).(1,0),则设抛物线交点式为y=a(x+3)(x-l),

vy=tz(x+3)(x-l)=6/(x2+2t-3)=ar2+2at-36z与y=ax2+bx+2(awO)对比可得一3a=2,

2

解得。=一］,

二•二次函数表达式为y=——%2——x+2»

JJ

当x=0时，y=2.

2

当x=-l时，y=--(-i+3)(-i-i)=-,

785

♦.♦一＜2＜一，当一一＜x＜。时，直线y=Z与该二次函数图像有两个公共点，

632

3

故选：C

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键.

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.【答案】即=-4,X2=4

【解析】

【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.

【详解】解：方程变形得：f=i6,

开方得:x=±4,

解得：x[=-4,A-2=4.

故答案为：汨=-4,X2=4

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键.

10.【答案】外

【解析】

【分析】点与圆的位置关系有3和.设OO的半径为〜点P到圆心的距离OP=〃，则有：O点尸在圆外

<=></>r；②点尸在圆上<=>d=r；③点。在圆内<=>[<〃，由此即可判断：

【详解】解：vr=5,d=8,

:.d>r,

二•点夕在0。外.

故答案为:外.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点尸在圆外r；②点?在圆上o"=心③点?在

圆内•是解题的关键.

9

11.【答案】一

4

【解析】

【分析】根据判别式据=0求解即可.

【详解】解：丁一元二次方程f+3x+c=0有两个相等的实数根，

•**A=32-4c=0,

9

解得c=：.

4

9

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了一兀二次方程ax2+bx+c=0（a和）的根的判别式△:b2-4ac：当△>（）,方程有两个小相

等的实数根；当△=（）,方程有两人相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.

12.【答案】67r

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式s=”计算，即可得出结果.

360

【详解】解：该扇形的面积5=607rx6-二6乃.

360

故答案为67r.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

13.【答案】①.6（-3,-6）

【解析】

【分析】将加（3,m）代入二次函数解析式，得出M（3,6）,根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分

别互为相反数，即可求解.

【详解】解：•・•点M（3,机）是抛物线y=f-x上一点，

/??=32—3=6»

・・・M（3,6）,

・••点M关于原点对称的点的坐标是（-3,-6）,

故答案为：6,（-3,-6）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点M（3,6）是解题的关键.

14.【答案】y=d-2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可.

【详解】解：图像过原点，

可以设解析式为：J=av（x-A|b

时，N随X的增大而增大，

开口向上，且对称轴x=

即x,<2,

二•可以设二次函数为

y=公（上一百），满足a>°，X工2均可.

故答案不唯一，如：y=x2-2x.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键.

15.【答案】45。或135。

【解析】

【分析】分析可知：A在以。为圆心，、后为半径的圆上运动，分情况讨论，当4转到4时，

。4'=及，作A7?_Ly轴与点从利用勾股定理可知08=1,进一步可求出旋转角度为45。；当A转到

A〃时，。4〃=&，作A'C_Lx轴与点C利用勾股定理可知。C=1,进一步可求出旋转角度为135。.

【详解】解：♦・•A（、/1。），将绕点。逆时针旋转。（0。＜。＜180。）得到。4

在以。为圆心，、后为半径的圆上运动，

当A转到4时.，。4二&，作45_1y轴于点从

由勾股定理可得：OB=JA02一4的=1E_F=1,

・•・Aa%'为等腰直角三角形，

/.ZBOA=45°,ZAOAf=45°,即旋转角度为45。；

当A转到A〃时，04〃=拒，作A'C_Lx轴于点C,

。4”半径为1,。4"与），轴相切，

・•・C4*=l,

由勾股定理可得：0C=办"。2一=J方一］2=「

・•・△0C4〃为等腰直角三角形，

・・・/COA〃=45。，ZAOAff=180o-45o=135°,即旋转角度为135。；

故答案为：45°,135°

【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转,

理解A在以。为圆心，^2为半径的圆上运动.

16.【答案】x/5+1##l+>/5

【解析】

【分析】连接QM,PB,取A0中点。，连接CO、DM、PB,AB是。。的直径，可推出

由此可知NAP8=NAMO=90°,则M在以AO为直径的圆上，当

CM与。点重合时，CM最大，根据A8_LOC求出CO长代入即可.

【详解】解：连接OM,PB，

P

C

•・•AB是。。的直径，

・•・ZAPB=90°,

•・•例为AP的中点，。为A3的中点，

AAMO〜&APB,

・•・ZAPB=ZAMO=90°,

取,4。中点。，连接CO、DM、

・•・M在以A。为直径的圆上，

•・•三角形两边之和大于第三边，且OO的半径为2,

・•・DM=1,

，当CM与。点重合时，CM最大，

：・CM=CD+DM,

•・•A8_LOC,

二8=6+,=后,

:・CM=国\，

故答案为、6+1.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90。及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关

键.

三、解答题（共68分，第17・18题，每题5分，第19题6分，第20・23题5分，第24・26

题，每题6分，第27・28题，每题7分）

17.【答案】耳=2+血，/=2—夜；

【解析】

【分析】选用配方法可解此方程.

【详解】解：x2-4x+2=0

x2-4x+4-2=0

（x-2）2=2

:.x-2=72或x-2=-72

解得：％=2+0，&=2-6

故答案为％=2+0，^=2-72.

【点睛】本题考查了选用适当的方法解•元二次方程.

18.【答案】（1）见解析；

（2）90。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是

圆的切线

【解析】

【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空.

【小问1详解】

解：补全图形，如图所示；

【小问2详解】

9（）。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.

【点睛】本题考查作图•复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

19.【答案】（1）（1,-4）

（2）见解析（3）-4<y<0

【解析】

【分析】（I）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；

（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；

（3）根据函数图像确定当-1Vxv2时对应的y的取值范围即可.

【小问1详解】

y=x2-2x-3

=X2-2X+\-\-3

=("1尸—4.

【小问2详解】

列表如下：

X-10123

y0-3-4-30

由图象可得，当—lvxv2时，-4<y<0.

【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次

函数的图象成为解答本题的关键.

20.【答案】1

【解析】

【分析】设。。的半径为X,由垂径定理得出8C,用含X的式子表示OC,再根据勾股定理列方程解得半

径的长，即可求解..

【详解】解：设。。=x,则08=x.

•・•点C是AB的中点，。。过圆心O，

.\OC1AB.

\-AB=4,CD=1,

BC=-AB=2,OC=OD-CD=x-\.

2

■/在RtABCO中，OB?=OC2+BC2，

/.x2=(x-I)2+22.

解得，x=

0D=~.

2

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出0C是4B的垂直平分线是解题的关键.

21.【答案】（1）0.75,3

⑵！

【解析】

【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；

（2）列出表格，利用概率公式计算.

【小问1详解】

解：由图表可知：摸出红球的频率分布在。.75上下，

则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75,

红球的个数是：4x0.75=3.

故答案为：0.75,3：

小间2详解】

由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球.

列表如下：

白红1红2红3

白白，红1白，红2白，红3

红1红1,红2红1,红3

红2红2,红3

红3

可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即

（白，红1）,（白，红2）,（白，红3）,（红1,红2）,（红1,红3）,（红2,红3）,且这些结果出现的可

能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红

1）,（白，红2）,（白，红3）,

31

所以尸（A）=，=_.

62

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选

出符合事件4或4的结果数目〃2,然后根据概率公式求出事件4或4的概率.也考查了利用频率估计概

率.

22.【答案】（1）60°

(2)4

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质得到。8=。£,/3。E=60。，进而证明aBCE为等边三角形，即可得到答

案；

(2)首先证明之后在Rt^ABE中根据勾股定理得到班:的长.

【小问I详解】

解.：■/将点8绕点C逆时针旋转6()。得到点E，

:.CB=CE,NBCE=60°,

「.△BCE是等边三角形，

/.ZCBE=60°.

【小问2详解】

解：•.•△ACD是等边三角形，

:.AC=DC^ZACZ)=60°，

:.ZACE=ZDCB,

乂;CB=CE，

:.△ACEWADCB，

AE=BD»

•,­BD=5，

AE=5.

,.・NCBE=60。,ZABC=30°,

：.ZABE=90°,

•.在Rt^ABE中，RE=yjAE2-AB2-

・・•AB=3,

..BE=4.

【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握

相关定理是解题的关键.

23.【答案】(1)见解析；

(2)-4.

【解析】

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A>0,由此可证出此方程有两个不相等的实数根；

(2)解方程，再由玉>々，2$=/+5,即可得到关于〃?的一元一次方程，解之即可得出结论.

【小问1详解】

证明：•.,△=(-2〃?)2-4xlx(“2-9)

=4//r-4m2十36

=36>0.

•.•方程有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解：解方程，得工=处叵=网变，

22

西>工2，

x1=m+3,x2=m-3.

,/22—x2I5,

.•.2（〃z+3）=〃z-3+5.

/.m=-4.

【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关铤是掌握根的判别式、根与系数的关系的表

达式，并会熟练计算.

24.【答案】（1）4正-4；

。）见解析.

【解析】

【分析】（1）连接0。，由O。与A8相切于点A，与8。相切于点。，得到NO3C=90。，OD=DC,

由切线长定理得：BD=AB=4,由勾股定理求出AC=4上,即可得到。。的半径.

（2）连接AO,交。8于点儿由AE是O0的直径，得到NADE=90。.根据3c与0。分别相切

于点A,。，证得NAHO=90。.得到08〃M.即可证得四边形3FEO是平行四边形.

【小问1详解】

•・•在&48C中，AB=AC,ZBAC=90°,

工0。与A3相切于点A,NACB=45°.

•••。。是。。的半径，O。与BC相切于点3,

・•・ODVBC.

：.ZODC=90°,OD=DC.

VAB=4,

，由切线长定理得：BD=AB=4,由勾股定理得：BC=4B

•*-OD=DC=4y/2-4-

・・・。。的半径是4&_4.

【小问2详解】

证明：连接AO,交0B于点H,如图.

•・•AE是。。的直径，

/.ZA£）E=90°.

•・・AB8C与。。分别相切于点A,D,

:.BD=AB,ZABO=ZDBO.

：.OBA.AD.

：,ZAHO=90°.

・•・/AHO=AADE.

：.0B〃EF.

♦:BF〃AC,

・•・四边形8庄。是平行四边形.

【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定

理，熟记各定理是解题的关键.

25.【答案】（1）/1（0,70）,夕（40,30）；

1,3一

（2）y-------x~+—x+70；

•162

（3）18m

【解析】

【分析】（1）OA=70m,落点P的水平距离是40m,竖直高度是30m,即可得到点A、尸的坐标；

（2）用待定系数法求解即可；

（3）由OC=60m,先求出直线3c的表达式，作MV〃y轴交抛物线和直线3。于点M、N,用含未

知数机的式子表示M/V,再根据二次函数的性质进行判断即可.

小问1详解】

解：•.•04=70m,落点尸的水平距离是40m,竖直高度是30m,

/.A（0,70）,P（40,30）；

【小问2详解】

解：把A（0,70）,P（40,30）代入了=--!-/+版+c

70=c

彳414I

、’30=——X402+40Z?+C

16

(.3

b=一

解得，2,

c=70

13”

v=---JC+—x+70；

’162

【小问3详解】

解：•「OC=60m,

「•设直线BC的表达式为y=依+60(Aw0),

把尸(40,30)代入，得30=404+60,

3

解得，k=--,

4

3/八

v=--八+60,

,4

(]3、

设Mm,—m2+彳〃7+70到8。竖直方向上的距离最大，作MN〃y轴交抛物线和直线BC于点

I17672>

M、N,

-L，+5+i。

164

高苏-36/72+182-182)+10

--(/M-18)3+—+10

16V74

=4WT)2+号

「-""18)2<0,

.•・当相=18时，MN最大,即水平距离为18m时，运动员与着陆坡8C竖直方向上的距离达到最大.

【点睛】本题考查J'二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点

是解题的关键.

3

26.【答案】（1）一

4

⑵为＜y3Vx

【解析】

【分析】（1）由3〃+2Z?+c=0,c=0,可得3a+2Z?=0,根据对称轴为直线上=-2即可求解;

2a

⑵根据3a+%+c=0,求得对称轴工="-?的范围，再将点（―2,y）根据对称性转化到对称轴右侧,

再根据。＞。＞0得抛物线开口向上，y随x的增大而增大，即可得出答案.

【小问1详解】

当c=0时，得3。+4=0,

2a2a4

【小问2详解】

3々+2Z?+。=0,

,3。+c

:.b=---------，

2

3a+c

b23a+cc3,

•t=-----=-------仝——=-------=-----1--

2a2a4。4a4

。>c>0,

0<—<—,

4a4

3.

z.-<r<1,

4

点(-2,y)关于直线x=t的对称点的坐标是(2f+2,y),

7

/.—v2t+2<4.

2

:.\<3<2t+2.

・•・当时，y随x的增大向增大.

y2<%<Y.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开I」方向、对称性以及增减性，熟知二次函

数的基本性质是解决函数问题的关键.

27.【答案】（1）画图和证明见解析：

（2）135°（3）CP=y[iNP，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS证明t△ACQ即可证明=8尸；

（2）连接。尸，如图所示.先由等腰直角三角形的性质得到NCQP=NCPQ=45。.再证明

44尸。二/。8由全等三角形的性质得到NCQA=/CPB.则可以推出NA尸Q+N尸04=45。，利用

三角形内角和定理即可得到/QAP=180O-NAR2-NPQA=135。；

（3）如图所示，延长PN至K,使得NK=PN,连接AK.证明△ANK名△BVP.得到

/KAN=/PBN,AK=BP，则AK〃8尸.进一步证明NK4尸=135。.得到NK4P=NQAP.由

此证明△必P会得到KP=QP.在等腰直角△PC。中，CP=CQ,则KP=QP=0CP,

即可证明CP=&NP.

【小问1详解】

补全图形，如图所示.

证明：•・•线段。绕点C顺时针旋转90。得到线段CQ,

:・CP=CQ,ZPCQ=90°

•・•乙46=90。，

・•・/BCP=ZACQ,

,:人C=BC,

•••△BCP^ACQ(SAS)

：,AQ=BPi

【小问2详解】

解：连接QP,如图所示.

由（1）可得△PCQ是等腰直角三角形，

・•・/CQP=NCPQ=45。.

・•・/CQA+NPQA=45。.

•・•乙APB=45。，

・•・ZAPQ