2023届北京通州区高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的函数满足/（4）=1,/"）为八外的导函数，已知），=/*）的图象如图所示，若两个正数。力

2.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他

证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如。sin/zr的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是

基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=（）.（）6sinl80（X）0/构成乐音的是（）

A.y=0.02sin360000/B.y=0.03sin180000/C.y=0.02sin181800;

D.y=0.05sin540000/

3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）

田

A.16B.12C.8D.6

4.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则/项系数为（）

A.10B.32C.40D.80

22

5.已知集合4={-2,B={x\x<a,aeN^}t若他4,则。的最小值为（）

6.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

B.>/2C.石D.2>/2

7.已知双曲线C:鼻一斗=1（。>0/>0）,点尸（x0,%）是直线/以一分+4。=0上任意一点，若圆

♦X))2二1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）.

A.(1,2]B.(1,4]

8.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

°12344567X9IOIII2）\

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

9.已知等边内接于圆r：x2+j2=l,且尸是圆r上一点，则两・（M+正）的最大值是（）

A.72B.1C.73D.2

10.在棱长为2的正方体ABC。-/LBiGOi中，尸为Aid的中点，若三棱锥P-A6C的四个顶点都在球。的球面上,

则球0的表面积为（）

A.12兀B.-C.-D.10TI

24

11.已知复数〃+"佃+〃为纯虚数。为虚数单位），则实数（）

A.-1B.1C.0D.2

12.已知集合用={1,2,3,…（〃£*）,若集合A={q,%}qM,且对任意的bwM,存在％〃£{一1,0,1}使

得力=/lq.十〃勺，其中\<i<j<21则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合

M={1,2,3,4,5,6}的基底的是（）

A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{〃"}满足4=1,%对任意〃22,〃eN*,若4（47+2《山）=3q.[4+1,则数列{〃〃}的通项公式

%=________

0V

15.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分

别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.

如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色,已知这13名学

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新

加入的学生可以扮演的角色的种数为.

16.已知a,°w—,7i,cos（a+/）=一，cosp---=-—,则sina+二=_____.

【4J5I4；13I4；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有旦另有1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为〃

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当p=:时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计

算）？并说明理由.

18.（12分）已知在四棱锥产一A3CZ）中，/%，平面48。。，B4=在四边形A3CO中，D4_LAB,ADHBC,

AB=AD=2BC=2f£为相的中点，连接OE,尸为OE的中点，连接A厂.

D

（i）求证：AF±ra.

（2）求二面角A—EC—。的余弦值.

19.（12分）如图，在平面直角坐标系无。>，中，已知椭圆J+4=im>b>0）的离心率为不，且过点1，;.F为

a~b~2V2；

椭圆的右焦点，AB为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF,BF分别交椭圆于C,D两点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若求空的值；

FD

⑶设直线A8,CO的斜率分别为占，Q是否存在实数〃2,使得％2=〃的，若存在，求出机的值；若不存在,

请说明理由.

20.（12分）以直角坐标系X。），的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线G的极坐标方程为

p=4cos8+8sin。，尸是G上一动点，OP=2OQ,点。的轨迹为。2・

（1）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

x=tcosa-I-

（2）若点M（0,l）,直线/的参数方程।。为参数），直线/与曲线G的交点为A，3,当M4+/

y=l+rsincr

最小值时，求直线/的普通方程.

21.（12分）［选修45不等式选讲］:已知函数/（x）=|x+2a|+|x—a

（1）当。=1时,求不等式/。）24—次+2|的解集；

12

（2）设〃>0,b>0,且八x）的最小值为/.若，+3）=3,求一十1的最小值.

ab

22.（10分）如图在四边形ABC。中，BA=6BC=2,E为4c中点，BE=—.

2

（1）求AC；

（2）若D=《，求AACO面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

先从函数单调性判断2〃十人的取值范围，再通过题中所给的。功是正数这一条件和常用不等式方法来确定叱的取值

4+1

范围.

【详解】

由尸f（x）的图象知函数/（X）在区间（0,+8）单调递增，而加+匕>0,故由/（加+。）<1=/（4）可知2〃+8<4.

b+\4-2a+\c7u

故---<--------=-2+----<5,

a+\a+\a+\

b+\b+\-2+工」

综上得篙的取值范围是e，5）.

又有a+\公b3〃3,

J---

22

故选：C

【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.

2.C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得＜=初(〃wN、),利用/=』二/■可得/(〃£N),即可判断选项.

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/=!=*,可知若＜=时、(〃wN)则必有的=〃&,(«eN*),

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

3.B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正二角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如；三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

4.D

【解析】

根据二项式定理通项公式(+i=C：a'V可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最后依据(+1=，可得

结果.

【详解】

rsr

由题可知：Tr+i=C；xa-

当r=0时，常数项为7；=4

又(x+a)5展开式的二项式系数和为25

由=2'=＞。=2

所以7^=C"r25f

当〃二2忖，7；=C；/23=80/

所以/项系数为80

故选：D

【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

5.B

【解析】

解出x2<分别代入选项中。的值进行验证.

【详解】

解：•.•储《。2,当4=1时,8={-1,0,1},此时A=B不成立.

当。=2时,4={一2,-1,0,1,2},此时AqB成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

6.B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.

【详解】

正方体的面对角线长为2枝，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为血，故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.

7.B

【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx-ay+2a=0与直线bx-ay=0的距离d,根据圆

自一*0『+（丫-丫0『=1与双曲线。的右支没有公共点，可得dNl,解得即可.

【详解】

x2v?b

由题意，双曲线C:J—3=1（2>02>0）的一条渐近线方程为丫=一*,即bx-ay=O,

a'b-a

VP（Xo，yo）是直线bx-ay+4a=0上任意一点，

j4a4a

则直线bx-ay+4a=0与直线bx-ay=O的距离d=/。=一,

Va"+b~c

•・•圆（x-Xo『+（y-y0y=1与双曲线C的右支没有公共点，则d之1,

4ac

/.—>1,即e=-V4,又e>l

ca

故e的取值范围为（1,4],

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线。的右支没有公

共点得出d21是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基砧题.

8.D

【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由图可知月收入的极差为90-30=60,故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确；

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为30,故选项C正确，选项D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

9.D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设「（cos"sin。），贝ij西•（而十卮）=l—cos。，计算得到答案.

【详解】

/./T\/.

如图所示建立直角坐标系，则A。,。)，B,C——,——,设。(cos。,sin"),

\乙乙/\乙乙/

则可•(丽+无)=(1-cos8一sin。)•(-1-2cos仇-2sin8)

=(1-cos^)(-1—2cos^)+2sin20=2cos20—cos0—1+2sin2=1-cos^<2.

当0=一不，即p(—l,o)时等号成立.

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

10.C

【解析】

取8G的中点。，连接P0,80,CQ,PDf则三棱柱"CQ-AOP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥尸-A5C有相同

的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径

【详解】

如图，取BiG的中点。，连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱3C0-4O尸为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都

在球。的球面上，整8。的外接圆直径为2r=03石"，球。的半径R满足R2=，+(/"=2,所以球。的

sinZ.QCB2216

417[

表面积S=47tR2=——,

故选：C.

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属

于中档题.

11.B

【解析】

化简得到z=。-/+（。+根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】

z=（7++i）=a-/+Q+/），为纯虚数，故0-1=0且"+1*0,即a=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

12.C

【解析】

根据题目中的基底定义求解.

【详解】

因为l=-lx2+lx3,

2=1x24-0x3,

3=0x2+lx3,

4=1x2+lx2>

5=lx2+lx3,

6=Ix3+lx3,

所以｛2,3｝能作为集合M=｛1,2,3,4,5.6｝的基底，

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由4(0~+2〃的)=34.£.可得----------=2(------------),利用等比数列的通项公式可得----------=2\再利用

累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

/、11〜11、

由4(4-+冽用)=3%%,得二———=2(~~~

4+1anUnWn-I

11c,111

----------2,数列｛----------｝是等比数列，首项为2,公比为2,

%qq+i4

——-=2\n>2,-———=2n-',

/an%

1/11、/11、z11.1

——=(-----------)+(--------------)-----(-----------)----

%a”C*%%a24q

=2"1+2,r2+...4-2+1=-^-=2M-1,

1-2

满足上式，/二工

%2"-1

故答案为:白

【点睛】

本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

14.2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出。的值.

【详解】

解：若心丁灶\,则

3

即〃一*,所以。=2.

33

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，

属于基础题.

15.9

【解析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.

【详解】

依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.

①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各I名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；

②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；

③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1

名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；

④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；

⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.

综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.

【解析】

(\

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin(o+〃)，sinp--的值，由两角差的正弦公式即可计算得

的值.

I4)

【详解】

5

cos(a+0=±,cosp——

V4J13

:.a+/3e

sin(a+4)=-yji-cos2+/3)=-3

5

sin

(a+Q)_(/

\一£I

33

=sin(a4-/7)cos

1I卜65

故答案为:

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25

17.(1)—；(2)不会超过预算，理由见解析

32

【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

2

C；(1)xl+C；(g)3=C；g)3+C；d)3=1，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系

统的概率为C；(1)3[l-(^)2]=白，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.求得P(X=1500)=C\p[\-p)2,

p(X=9OO)=l-C；p(l-p)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l-p)2,对其求导，研究函数的单调性,

可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

(1)•••某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

明)2xg+Cig)=*)3+锯旷=1,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

C：(工卉1一d)2]=三•.某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为-+—=

■223223232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.

•/尸(X=1500)=—〃-，P(X=900)=p)2

E(X)=900x[l-C>(l-p)2]+1500xC]p(l-/7)2=9OO+I8OO/?(1-p)2

令g(〃)="(1一〃〃G则=(1一〃)2—2〃(1一〃)=(3〃-1)(〃一1)

当〃6(0,；)时，g'(P)>0,g(p)在(0,；)上单调递增；

当〃£(上1)时，g'(p)<0,g(p)在上(：1)单调递减，

J3

g(P)的最大值为^(―)=—,

4

•••实施此方案，最高费用为100+9000x(900+1800x—)x107=1150(万元)，

27

•.•1150<1200,故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决

的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

18.(1)见解析；(2)叵

7

【解析】

(D连接AE,证明依_L4),AE_L依得到依_1面4。石，得到证明.

(2)以出，AB,A。所在直线分别为工，)'，z轴建立空间直角坐标系A一肛z,〃=。,一1,2)为平面的法

向量，平面OEC的一个法向量为〃;二(31,2),计算夹角得到答案.

【详解】

(D连接AE,在四边形ABCO中，DA±AB,%_L平面ABC。，

AZ)u面ABC。，.•.AD_L总，尸4八4^=4,..A。，面以B,

又「PBu面BAB,.•.PB_LA力，

又.•在直角三角形Q钻中，PA=AB,E为PB的中点，，AE上PB,AOcAE=A,.♦.。8_1_面4力月，AFu

面AOE,..A尸JLP8.

(2)以Q4,AB,A力所在直线分别为刀，)'，z轴建立空间直角坐标系A—“z,

P(2,0,0),3(020),£(1,1,0),0(021),A(0,0,0),0(0,0,2),

iiAC=02y+z=0

设〃=",y,z)为平面A£C的法向量，AC=(O,2,l),XE=(l,l,0),,令x=l,则

n-AE=0x+y=0

y=T,z=2».-.77=(1,-1,2),

同理可得平面DEC的一个法向量为而=(3』,2).

3-14-4_>/21

设向量而与［的所成的角为仇cos8=

^xV14-7，

由图形知，二面角A-EC-力为锐二面角，所以余弦值为上.

7

【点睛】

本题考查了线线垂直,二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

FV27,、5

19.(1)—+2_=1(2)-(3)"!二一

4333

【解析】

22(3、/3A

试题分析：⑴三+工=1；⑵由椭圆对称性，知A1,：，所以8,此时直线旅方程为力一4丁一3=(),

43k2；2)

BF1-(-1)_7

故尸。一133.（3）设A（Xo，%）,则8（—5，-%）,通过直线和椭圆方程，解得

------1

7

3yo_-3%

8-5与-3yo8+5x03)'o），所以-湍登好衿2・

C，D(

5+2x5+

(5-2x05-2x0>02x0

5+2x05-2x0

试题解析:

1

-c--_----

（D设椭圆方程为二十4=1（。＞〃＞0）,由题意知：＜a2

a-b~19

—+—

a~4b-

a=2v-2v2

解之得：公，所以椭圆方程为：—+^=1

b=643

（2）若A/uRr,由椭圆对称性，知A（1弓,所以8（-1,一；）,

此时直线方程为31一4），-3二0,

3工一4y-3=0,

由」x2y2，得7/一6工一13=0,解得x=（x=—l舍去），

—+—=1,7

43

BF1-（-1）_7

故而一13一§・

------1

7

（3）设4“0，%），则见一天），一X）），

直线A尸的方程为）'二一%（1-1）,代入椭圆方程/+^=1,得

与一143

（15—6%）V_8y；—15片+24.%=0,

8—5x

因为工二%是该方程的一个解，所以C点的横坐标％=不妥，

〉一，玉）

又。&,九）在直线丁二号（工一1）上，所以%=&（毛-1）=涔7,

X。-1xo—1J—z,xo

,8十5/3\\、

同理,。点坐标为(E'G)'

3%

所以&7浸_；8左-〉-0=争3x=为3

0

5+2升)5一2x0

即存在加小使得「济

20.(1)P=2cos<9+4sin<9,(x-1)2+(y-2)2=5；(2)x+y-l=O.

【解析】

(1)设点P,。极坐标分别为3，e),(p,e),由丽=2而可得0=；/90=28$。+4疝。,整理即可得到极坐标方

程，进而求得直角坐标方程；

(2)设点AB对应的参数分别为九%,则|M4卜同，|加8|二回，将直线/的参数方程代入G的直角坐标方程中，再

2

利用韦达定理可得4+芍=2(cosa+sina),格=-3,=|/1|+|r2|=|r)-r2|=^+r2)-4r,r2,求得

|A^4|+|MB|取最小值时a符合的条件,进而求得直线I的普通方程.

【详解】

(1)设点P,Q极坐标分别为3，夕),(。,6),

因为丽=2而，则0=耳2()=2cos0+4sin。,

所以曲线C?的极坐标方程为0=2cos夕+4sin。，

两边同乘。，得p?=2pcos0+4s0inO,

所以G的直角坐标方程为Y+y2=2x+4)，，即(X—1『+()，—2)2=5.

x=/coscc

(2)设点A8对应的参数分别为.出，贝四四呻2|，将直线/的参数方程［、二］+称而q口参数)'代

入。2的直角坐标方程(工一1『+(y-2)2=5中，整理得/-2(cosa+sina»—3=0.

由韦达定理得乙+q=2(cosa+sina),txt2=-3,

所以|M4|+=闻+同=1-I?I=7(ZI+Z2)2-472=J4(cosa+sinay+12=,4sin2a+16>2>/3，当且仅

当sin2(z=—1时，等号成立，贝!Jtana=-1,

所以当|M4|+|A叫取得最小值