2024届四川省普通高中数学高二年级上册期末联考试题含解析

2024届四川省普通高中数学高二上期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.已知抛物线C：y=-xt则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是O

4

A.4037B.4044

C.2019D.2022

2.函数/。）=（%-1）一的图象大致为（）

3.在等腰RtAABC中，在线段斜边上任取一点则线段AM的长度大于AC的长度的概率()

A.也

2

272

亍

4.若圆¥+>2+2.2/+m=()的半径为退，贝U实数()

3

A.-----B.-1

2

3

D.-

2

5.函数f（x）=g/+2Y+3x在J2.2］上的最小值为（）

3

14

A.—B.4

3

84

C.一一D.一一

33

6.等差数列｛4｝的首项为正数，其前〃项和为S“.现有下列命题，其中是假命题的有（）

A.若S“有最大值，则数列｛4｝的公差小于0

8.若4+43=。，则使S”>0的最大的〃为18

C.若%>0,a）+4o〈O,贝ij｛S〃｝中S9最大

D.若%>0,%+4（）<°，则数列｛|可|｝中的最小项是第9项

7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

A.3B.4

C.5D.6

8.随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量x与送餐里程》

的统计数据表：

订餐数X/份122331

送餐里程力里153045

现已求得上表数据的回归方程》=加+G中的A值为L5,则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路

程约为（）

A.155里B.145里

C147里D.148里

9.已知公差不为0的等差数列｛q｝中，q=4,且％,%,可。成等比数列，则具前〃项和S“取得最大值时，〃的值

为（）

A.12B.13

C.12或13D.13或14

10.设B点是点42,-3,5）关于平面xOy的对称点，贝i」|A3|=（）

A.10B.V10

C.屈D.38

11.记S”为等差数列｛q｝的前〃项和，有下列四个等式，甲：4=1；乙：53=9；丙：S6=36；T：4=6.如

果只有一个等式不成立，则该等式为（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

12.已知函数/（x）=V+加2-4x+d在[一•1」）上单调递减，则实数人的取值范围是（）

「厂

A.，—2,—1]B.—1।,—

2jL2j

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.心父-一、[展开式的常数项是

14.已知点尸是椭圆3+5_=1上的一点，点则|P@的最小值为.

15.己灯抛物线C:y2=2〃式〃、0）的准线方程为“=_2,在抛物线。上存在A、区两点关于直线/：x+）-7=0对

称，设弦A8的中点为M,O为坐标原点，则IOMI的值为.

16.写出一个公比为3,且第三项小于1的等比数列牝=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）命题P：存在X0£R,使得片+，/+。=0；命题，对任意的xe[0,+8）,都有a《k）g2（x+2）+2i

（1）若命题〃为真时，求实数。的取值范围：若命题q为假时，求实数〃的取值范围:

（2）如果命题〃V，/为真命题，命题〃八，/为假命题，求实数。的取值范围

18.（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐

年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费）’（单位：万元）

的统计数据如下表所示：

使用年限工（单位：年）1234567

失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合）'与x的关系.请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（2）求出）‘关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费

参考公式:相关系数〃=i=\

.加-加-司一一

线性回归方程§，二区+6中斜率和截距最小二乘估计计算公式：人=J-----——，a=y-bx

I=I

参考数据：Z（苍一x）（£->'）=14.00,E（%-y）2=7.08,7198.24«14.10

1=11=1

19.（12分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随

机地取出了一份作业.

（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？

（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？

（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？

20.（12分）设数列｛qJ｛a〃£R｝是公比为g的等比数列，其前〃项和为S”

（1）若4=%4=1,求数列｛S.｝的前〃项和；

（2）若昂，S9,§6成等差数列，求g的值并证明：存在互不相同的正整数〃?，〃，p,使得q”，/，4P成等差数

列；

（3）若存在正整数左（1《&<〃），使得数列S-S……S”（〃24）在删去耳以后按原来的顺序所得到的数列是等

差数列，求所有数对（几。）所构成的集合,

21.（12分）在四棱锥P—A3CO中，底面A8CD为直角梯形，ADKBC,ZAOC=90,平面A4DJ_底面48c

（1）求证：平面MQ3_L平面PA。；

（2）若BM上PC,求直线叱与BM所成角的余弦值.

22.（10分）在二项式的展开式中，.

给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；

②所有奇数项的二项式系数的和为256.

试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题:

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式的常数项.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】根据己知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解

【题目详解】丁抛物线C：y=-X2即/二分，

49

由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于），轴的那条弦，

则过抛物线。的焦点，长度最短的弦的长为4x1=4,

由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有2018x2=4036条，

故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是4036+1=4037

故选：A

2、A

【解题分析】利用导数求得/(力的单调区间，结合函数值确定正确选项.

【题目详解】由/'(幻=起",可得函数的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8),

当x<0时，/(x)v0,可得选项为A

故选：A

3、C

【解题分析】利用几何概型的长度比值，即可计算.

【题目详解】设直角边长AC=a,斜边46二拒0，

则线段AW的K度大于AC的K度的概率P=那二q—l-l

同2

故选：C

4、B

【解题分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出机的值.

【题目详解】由题意，圆的方程可化为(工+1『+()，-1『=2-〃7,

所以半径为二五二石，解得加=-1・

故选：B.

【题目点拨】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

5、D

【解题分析】求出导数，由导数确定函数在［-2,2］上的单调性与极值，可得最小值

【题目详解】f(x)=x2+4.r+3=(.r+l)(.r+3),所以一2vxv-1时，f(x)<0,f(x)递减，—Ivxv2时，f(x)>(),

f。)递增,

］4

所以x=—l是/")在［-2,2］上的唯一极值点，极小值也是最小值,/(-1)=--+2-3=--

JJ

故选：D

6、B

【解题分析】由S〃有最大值可判断A；由《,+43=49+40=0,可得的>0，即)<0,利用心二四爱、18可

判断BC；%>。，%+4o<。得出>。，同=/〈一ROTGOI，

可判断D.

【题目详解】对于选项A,・・・S”有最大值，・•・等差数列｛2｝一定有负数项，

工等差数列｛q｝为递减数列，故公差小于0,故选项A正确；

对于选项B,•・•4+43=4)+4o=°，且4〉。，

:.%>。，go<0,

AS=17^>0,儿=、pxl8=(),

179

则使S”>0的最大的〃为17,故选项B错误；

对于选项C,•・•%>0，%+。［0<0,

:.>0,《0<0,

故母｝中品最大，故选项C正确；

对于选项D,・・・4>。，4+4。<0,

••内〉0,=%v-"io=|^io|，

故数列｛|例|｝中的最小项是第9项，故选项D正确.

故选：B.

7、B

【解题分析】循环体第一次运行后S=0+丁=1/100条=1；第二次运行后S=l-T=3<10Ck=3第三次运

行后S==11<卜了.*="第四次运行后5=11+二」二，”>100弋二4；循环结束，输出k值为%答案

选B

考点：程序框图的功能

8、C

【解题分析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得3=-3,即可得回归方程，进而估计了=100时

的y值即可.

【题目详解】由题意：无=12+；+31=22,4=15+3,45=3。,则30=22x1.5+/,可得力=—3,故

JJ

y=1.5x—3,

当x=100时，9=147.

故选：C

9、C

【解题分析】设等差数列｛4｝的公差为心根据4，%,%。成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前

〃项和公式求解.

【题目详解】设等差数列｛4｝的公差为公

因为4=4,且％,alt%)成等比数列，

所以(q+64『=4(%+9"),

解得"=+,

,/?(/?-1)125

所以S“=na,+—-----d=——〃"7+—n>

"।266

所以当〃=12或13时，S“取得最大值，

故选：C

10、A

【解题分析】写出4点坐标，由对称性易得线段长

【题目详解】点8是点42,-3,5)关于平面xOy的对称点，

.•.8的横标和纵标与A相同，而竖标与A相反，

•••倒2,-3,-5),

「•直线A3与z轴平行，

:\v4B|=5-(-5)=10,

故选：A

11、D

【解题分析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案

【题目详解】设数列｛q｝的公差为"，

3q+3d=9①3

4=563

若甲不成立，贝46q+151=36②，由①，③可得，此时64+151=上

.32

©+3d=6③a=—

与②矛盾；A错,

q=1@4=1

若乙不成立，则《64+154=36②，由①，③可得•

5,此时6q+154=31；

d=-

%+3d=6(3)3

与②矛盾；B错,

4=1①4T

若丙不成立，贝卜3“+34=9②，由①，③可得,5，此时3q+3d=8；

d=-

4+3d=6③3

与②矛盾；c错，

4=1

67.=1

若丁不成立，贝人34+34=9,由①，③可得<八，此时3%+3d=9；

d=2

6%+15J=36

,D对，

故选：I).

12、A

(2\f'\--^0

【解题分析】由题意，/("=3/+2笈-4W0在一a』上恒成立，只需满足『I3J即可求解.

【题目详解】解：因为/(x)=V+Zz?-4x+d,所以/'(x)=3d+2区一4,

因为函数/(力=丁+加2-4x+J在(一上单调递减,

3)

f9]

所以/'(工)=3/+的一4工0在一上恒成立,

\J

f——<0t丝”1

只需满足‘I3j即33,解得一

2

尸⑴<03+2b—4«0乙

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-20

【解题分析】求出一_L)的通项公式，令工的指数为0,即可求解.

【题目详解】2丁一_三的通项公式

I2/)

1

是G=C：(2d严=(-1/C*X26-2*X,8-6S攵=0』,2,6,

2?

依题意，令18-6A=0,「M=3,

\6

所以2寸——1的展开式中的常数项为VX20=-20.

I2/

故答案为：-20.

14、坐

4

1Y

【解题分析】设P(x,y),表示出|p0卜+(),一。)2,消去〃利用二次函数求最值即可.

X——4J

【题目详解】设夕(%>),

1丫

则|P0=x——+()，一。厂

4J

X—+31-—

4)I4J

所以当x=l时，|PQ|=乎最小.

故答案为：乎

15、5

【解题分析】先运用点差法得到例(3,4),然后通过两点距离公式求出结果

详解】解：抛物线。：)，2=2*(〃>0)的准线方程为％=-2,

所以］=2,解得〃=4,

所以抛物线的方程为V=8x,

设点&N，y),Bg,y2)tA3的中点为M(%,为)，

则=8A-),y}=8X2,

两式相减得（y-y2）（yl+y2）=85-电）,

.y-88

即kAB=-------=-7-=7-，

又因为A,3两点关于直线/：工+>-7=（）对称，

=-1

所以2%,

、%+%-7=0

解得“一：，可得M（3,4）,

〔为二4

贝!）|CM|=，3?+42=5,

故答案为：5

16、p--3rt-1（答案不唯一）

【解题分析】由条件确定该等比数列的首项的可能值，由此确定该数列的通项公式.

【题目详解】设数列{4}的公比为9,则q=3,

由已知可得叫<1，・'・9q<l,

所以4<g，故为可取历，

故满足条件的等比数列的通项公式可能为％=木•3"T,

故答案为：5・3'"（答案不唯一）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17、（1）p为真时或g为假时

（2）{4心4或0va4}・

【解题分析】（1）P为真应用判别式A20求参数范围；q为真，根据恒成立求参数范围，再判断q为假对应的参数范

围.

（2）由题设易得p、q一真一假，讨论p、q的真假，结合（1）的结果求。的取值范围

【小问1详解】

若P真，则其+“+。=0有实数根，

••・△=4一4。20,解得或

33

若4为真，则a«log2（0+2）+2g=K，即

故4为假时，实数。的取值范围为。＞|

【小问2详解】

:命题〃vg真命题，命题〃△夕为假命题，

:・p,4一真一假,

碗0或a4

当P真q假时，3，可得。之4

a＞—

2

0＜白＜4

3

当P假4真时，〈3，可得0＜〃＜不

“，-2

2

综上，实数。取值范围为{4。之4或OvaW]}.

18、（1）答案见解析；（2）5=O.5x+2.3；失效费为6.3万元

【解题分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数「可得结果;

（2）根据公式求出/；和方可得》关于人的线性回归方程，再代入x=8可求出结果.

.—1+2+3+4+5+6+7

【题目详解】（1）由题意，知工=---------------------=4,

7

2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90,“

)'=-------------------------------------------------------=4.30,

7

222

力(七-,2=(1-4『+(2-41+(3-盯+(4—4)2+(5-4)+(6-4)+(7-4)=28

/=|

14.00_14.00^14.00

・・・结合参考数据知:之0.99

,28x7.08-J198.24~14.10

因为），与X的相关系数近似为0.99,所以》与X的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合了与X的关系

7

.—心-习*8

(2)=-----------：—

r=l

・•・〃=),-*=4.3-U.5x4=2.3

・•・y关于x的线性回归方程为y=O.5x+2.3,

将.E=8代入线性回归方程得＞'=0.5x8+2.3=6.3万元，

・••估算该种机械设备使用8年的失效费为6・3万元

19、(1)-

6

【解题分析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率;

⑵利用对立事件的概念即可求得结果；

⑶结合⑴即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.

【小问1详解】

设每个学生恰好拿到自己作业为事件及事件“包含的事件数为I,

所以P(£)=,；

6

小问2详解】

设每个学生不都拿到自己作业为事件F,

因为事件F的对立事件为E,

所以P(F)=l—P(E)=m；

6

【小问3详解】

设每个学生拿的都不是自己作业为事件G,事件G包含的事件数为2,

P(G)=；4

63

na+n2a

20、(1)

2

（2）q=—J｝,证明见解析.

（3）不存在，0

【解题分析】（1）数列｛'｝为首项为。公差为〃的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；

（2）S,，Sg,S,,成等差数列，则邑+S6=2S”根据等比数列求和公式计算可解得夕=-，1,进而计算可得

4+%=2%,即可判断结果;

（3）由题意列出号，邑，…，SL,Sk，Sk+\,S……S”（〃N4）在删去既以后，按原来的顺序所得到的数列

是等差数列，则],解方程组可得q无解，则所有数对（〃国）所构成的集合为0.

+\+2=25+|

【小问1详解】

4=。，＜7=1,数列｛%｝｛《,£R｝是公比为q的等比数列，

S“=na,

，数列｛$“｝为S]=a,S?=2。,…，SH=na,

••数列为首项为。公差为。的等差数列，

••数列⑻的前〃项和7＞心誓=丝产.

【小问2详解】

S3,59,S（,成等差数列，

•"S3+Sq=2SQ9

当q=1时,S3+4=9q,2S9=184,不符题意舍去，

当gwl时，《0-0+41-力=2.4°一力.

\-q\-q\-q

]-q3+]_g6=2.（]_49）wq3+g6=2g9,

3-1）（2d+1）=0,.“'I（舍）或q'=_；即g==_g

存在互不相同的正整数，使得%,%,%成等差数列,

1I1/।y।

1--=-a,2%=2%•=2%•一=-^>

I，/2]12/2

/.ax+aA=2a7.

【小问3详解】

由题意列出5，S2,...»SS&T，&,S“S«+2,…，S〃（〃24）在删去&以后，按原来的顺序所得到的数列是等差

数列,

\[5-If-至>—1

q=------或--------

=

S«-2+\+i25卜]%+见+1=。1日门夕+夕=122

则，即彳1，解得:方程组无解.

Sj+Sg=2S*|%+4+1=%+2q+T=q-V5+l_l-x/5

右M或丁

即符合条件的q不存在，所有数对（〃国）所构成的集合为。.

PM=2PC（O<A<1）»根据8M_LPC可得出加/.户Z=（），求出4的值，利用空间向量法可求得直线AP与8M

所成角的余弦值.

【题目详解】（1）为47）的中点，且AD=23C,则。。=8C,

又因为BC//AD,则8C//。。，故四边形8C。。为平行四边形，

因为4。。=90,故四边形BC。。为矩形，所以8Q_LA。，

•・・平面?AD_L平面ABCD,平面P