4.2 角（12大题型提分练）（原卷版）

（北师大版）七年级上册数学《第4章基本平面图形》4.2角知识点一知识点一角的概念、表示方法◆1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角；②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角；◆2、角的表示方法：角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种：∠AOB∠O）∠1∠α表示方法温馨提示用三个大写表示顶点的在中间.用一个大写一个.用一个阿拉伯弧线，用一个小写希腊弧线，知识点二知识点二角的度量单位及换算方法◆1、角的度量单位是：度、分、秒.我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.◆2、角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.◆3、平角与周角的概念平角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时,所成的角叫作平角；周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边重合时,所成的角叫作周角.1周角＝360°1平角＝180°◆4、度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下：160′1′＝60″1″＝知识点三知识点三角的比较与运算◆1、角的比较有两种方法：方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小.方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较①若边OB在内部，则∠AOB＜∠A'O'B'②若边OB与重合，则∠AOB＝∠A'O'B'③若边OB在外部，则∠AOB＞∠A'O'B'◆2、角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠BOC＝12◆3、角的和、差∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠AOC知识点四知识点四用尺规作一个角等于已知角◆作一个角等于已知角.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.题型一角的定义及角的表示方法解题技巧提炼（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．1．（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示2．（2024春•聊城月考）下列说法中正确的是（）A．直线是平角 B．角的大小与角的两边长有关 C．角的两边是两条射线 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了3．下列关于角的说法中，正确的个数为（）①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．A．0 B．1 C．2 D．34．（2023秋•晋江市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．∠BAC和∠DAE是同一个角 B．∠ABC和∠ACB不是同一个角 C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示5．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．6．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．题型二角的换算解题技巧提炼角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．1．（2024春•张店区校级月考）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（）A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′2．（2023秋•新乐市期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（）A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''3．（2023秋•永年区期中）下列各式中，正确的是（）A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′4．下列式子中错误的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42'＝50.7° C．98°45'+2°35'＝101°20' D．108°18'﹣57°23'＝51°55'5．（2024春•张店区校级月考）1.16°＝°′″；45°57′18″＝°6．计算：（1）8.76°＝°′″；（2）540″＝°．题型三角度的运算解题技巧提炼1、度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．2、度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．1．（2024春•坊子区校级月考）计算：（1）47°53′43″+53°47′42″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″．2．（2023秋•孝南区期末）计算：（1）48°39'+67°31'；（2）23°53'×2﹣17°43'．3．（2023春•谯城区校级期末）计算：（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．4．如图，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度数．5．（2023秋•罗山县校级月考）计算：①180°﹣18°15'×6；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．6．计算．（1）56°18'+61°35'（2）19°26'﹣7°33'（3）78°14'+25°46'（4）108°11'5'﹣22°38'26″7．计算：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．题型四钟表中的角度问题解题技巧提炼1、钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走1122、计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．3、钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．1．（2023秋•梁山县期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．110° B．75° C．105° D．90°2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（）A．90° B．120° C．180° D．150°3．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°4．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（）A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°5．（2023秋•金台区校级月考）当时针指向上午10：15时，时针与分针的夹角是°．6．知识的迁移与应用问题一：甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），后两车相距120km？问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．（1）3：40时，时针与分针所成的角度；（2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为；（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？题型五角的计数与规律探究解题技巧提炼数角的个数的方法类似于数线段的方法,当∠AOB内部有n条射线时，射线的总数就有（n+2）条，共有（n+11．（2023秋•青龙县期中）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（）A．10个 B．9个 C．8个 D．4个2．（2023秋•兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（）A．n（n+1） B．(n+1)(n+2)2C．n(n+1)2 D．3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（）A．n22 B．C．n(n−1)2 D．4．（2023秋•连城县期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A．165 B．186 C．199 D．2105．观察如图，回答下列问题：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…则图中有个不同的角．题型六角的比较解题技巧提炼角的大小比较（1）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC2．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测3．（2023秋•渠县校级期末）如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定5．（2023秋•长安区期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定6．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等7．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）题型七角的和、差、倍、分解题技巧提炼角的和、差、倍、分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确的是（）A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（）A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC4．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）A．∠COD=12∠AOB B．∠AOD=2C．∠BOD=12∠AOD D．∠BOC=5．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（）A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC6．题型八角的平分线的应用解题技巧提炼1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．2.性质：若OC是∠AOB的平分线：则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（）A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1与∠AOB表示同一个角2．A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE的平分线，∠BOC＝．4．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为．5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数．题型九角的尺规作图解题技巧提炼角的尺规作图是利用直尺和圆规作一个角等于已知角.1．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧2．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（）①以C为圆心，OE长为半径画MN，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D．④以O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②3．（2023秋•裕华区期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F（4）作⊕，∠DEF即为所求作的角A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF4．（2024春•芝罘区期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（）A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧题型十三角板中角的计算解题技巧提炼三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算.1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（）A．15° B．20° C．30° D．70°2．（）A．24° B．25° C．26° D．27°3．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD4．（2023秋•市北区期末）如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是度．5．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝°．6．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（）A．55° B．65° C．70° D．75°题型十一角度计算的解答题解题技巧提炼角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线的性质。1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．2．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？（2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？3．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠AOD的度数；（2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数．4．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．（2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．6．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．题型十二角度计算的动态问题解题技巧提炼角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想.1．（2023秋•桥西区期末）已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数；（2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数；（3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．2．（2023秋•泊头市期末）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝9