第二章 有理数及其运算的知识归纳与题型突破（十五大题型清单） （原卷版）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（北师大版2024）

第二章有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点4：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点5:绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点6：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点7：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点8：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点9：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点9：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点10：倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.知识点11：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点12：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点13：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点14：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×1053.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。0303题型归纳题型一正负数

例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，那么亏本400元记作（

）A．−400 B．−600 C．+400 D．+600巩固训练1．若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是+4，−0.4，−0.7，−2.4，最接近标准质量的是（

）A．+4 B．−0.4 C．−0.7 D．−2.43．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作()，彩椒组成活8棵记作()．题型二相反意义的量表示例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．−3cm巩固训练1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，−12.00表示支出12元，下列说法正确的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支总和为15.04元 D．收支总和为8.96元2．一次数学测验全班的平均分为95分，小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作()分．3．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g题型三有理数的概念辨析例题：下列说法中，正确的是（

）A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数巩固训练1．在−0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．在数−2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5题型四有理数的分类/大小比较

例题：把下列各数填在相应的括号里−3，235，7，3.14，2024，−334，0，+2.01，−5整数集合：{

}分数集合：{

}非负数集合：{

}非负整数集合：{

}例题：比较大小：−−27−38（填“>巩固训练1．比较大小：−232．把下列各数分别填在相应集合中．−3，负数集合：{______…}整数集合：{______…}正分数集合：{______…}负整数集合：{______…}3．把下列各数填入相应的括号内．−12，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%(1)正分数：{___________}；(2)整数：{___________}；(3)负有理数：{___________}；(4)非负数：{___________}．题型五数轴和数轴上的点所表示的数．例题：在数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是（

）A．5 B．−5 C．5或−5 D．1例题：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．0<−a<b B．−a<0<b C．b<0<−a D．b<−a<0巩固训练1．以下数轴画法正确的是（）A． B．C． D．2．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为1cm，若在这条数轴上任意画出一条长度为2024cm的线段，则线段盖住的整点个数为（

A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个3．如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为−3，1．若点C在数轴上，且AB=12AC，则点CA．8 B．5 C．5或−4 D．5或−11题型六倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用例题：2024的相反数是（

）A．2024 B．12024 C．−2024 D．例题：−1A．3 B．13 C．−3 D．巩固训练1．下列各组数中，互为相反数的是()A．7和−7 B．−7和17 C．−7和-17 D．12．−2的相反数是（

）A．2 B．−2 C．12 D．3．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为()A．−6 B．6 C．−3 D．34．若a，b互为相反数，则代数式a+b−2的值为.题型七绝对值定义、绝对值的性质与化简例题：−5的绝对值是（）A．15 B．5 C．−5 D．例题：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a−b+b的化简结果是（A．a B．−a C．a−2b D．2b−a巩固训练1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（

）A． B． C． D．2．请根据以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“−”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球的编号是（

）编号1234偏差/+0.03−0.02+0.05−0.04A．1 B．2 C．3 D．43．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简a+b−c−b+aA．2a+2b B．2a+2b−c C．−c D．−2b−c4．已知数a、b、c位置如图所示，化简a−b−a+c题型八非负性的性质例题：若|m−2+n−7|=0，则m+n=A．2 B．7 C．8 D．9巩固训练1．若x−4+y+132A．43 B．8 C．−8 D．2．若a+2+5−b2=03．如果|a−1|+|b−2|=0，那么2ab=．4．已知a+22与b−3互为相反数，则a−b=题型九有理数的加减运算例题：把7−−3+−5A．7−3−5−2 B．7+3−5−2 C．7+3+5−2 D．7+3−5+2

例题：计算：−3+40+−32+−8；(3)5.6+−0.9+4.4+−8.1+−1巩固训练

1．计算：(1)0−+5(2)−352．计算：(1)0−−2+−7(3)−0.5−537−1+33．计算：(1)25.3+−7.3+−13.7−−7.3(3)−47++3【题型10】有理数乘除法运算

例题：计算：−3÷−134×0.75÷(3)−72×巩固训练1．计算：(1)−3÷−1342．计算：−81÷23．计算：(1)−81÷94×4【题型11】有理数的乘方例题：下列各组数中，数值相等的是（）A．−22和−22 B．C．−2和−2 D．−22

巩固训练1．下列各式中，不相等的是（）A．−23和−23 B．−32和32 C．−32和2．下列各组数中，相等的一组是（

）A．−−2与+−2 B．+C．−23与−23 D．3．计算−23A．−6 B．6 C．−8 D．84.下列各组数种，值相等的是（

）A．−23与−23 B．23与32 C．−22【题型12】有理数混合运算

例题：（1）−37+56−43÷(−2)2−3（6）−5

巩固训练1．计算：(1)−12022+−23×5−2．计算：(1)6+−5+4+−5；3．计算：(1)−32×(−19【题型13】算“24”点

例题：小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．巩固训练1．小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或−24．小亮抽到的4张卡片上的数分别是2，−6，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或−24的算式．2．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1，−2，2，3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式：，使其结果等于24．3．根据“二十四点”游戏规则，3，4，−6，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或−或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，便其结果等于24，算式为．4．有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次），使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：1+2+3×4=24．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出3，−5，6【题型14】科学计数法和近似数的表示

例题：“村超”出圈带动“村经济”，“村BA”的赛事同样火热，在“村BA”赛事期间，台江县接待游客181900人次，其中181900用科学记数法表示应为（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 例题：用四舍五入按要求对0.07056取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到十分位） B．0.07（精确到0.01）C．0.070（精确到千分位） D．0.0706（精确到0.0001）巩固训练1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．3．南宁市2023年全年粮食总产量约为2130000吨，其中数据2130000用科学记数法表示为（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．4．小星用天平称得一个罐头的质量为2.046kg，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.055．8.0648保留一位小数是()，精确到百分位约是()．【题型15】有理数实际应用

例题：出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：km）如下：−3,+9,+10,−6,−12,2,8,−10．(1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？(2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？(3)若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3巩固训练1．2021年第17号台风狮子山给防城港市造成严重影响．救援队驾着冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向东为正方向，当天航行次记录如下（单位：千米）：16,−6,15,−9,12,−4,13,−5，问：(1)B地在A地的东面，还是西面？与A地相距多少千米？(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为35升，求途中至少需要补充多少升油？2．为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下：+2，−5，+3