江苏省扬州市邗江区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷（含详解）

江苏扬州市邗江区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷一、单选题1．若，，则（

）A． B． C． D．2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则B=（

）A． B．或 C． D．或3．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．4．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．在中，，，则（

）A．2 B． C．-2 D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．在中，设，则下列说法错误的是（

）A． B．边上的高是C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是二、多选题9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（

）A． B．C． D．10．下列计算结果为的是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．函数有3个零点B．若函数有2个零点，则C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则D．关于的方程有5个不等实数根三、填空题12．若向量，则与同向的单位向量的坐标是.13．已知，为锐角，则.14．已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为．四、解答题15．解答下列各题：(1)在中，已知，，.求的长.(2)锐角中，角所对应的边分别为，，，，求；16．已知向量，.(1)若，求；(2)若，，求与的夹角的余弦值.17．已知函数.(1)将函数化简为的形式；(2)求函数的最小正周期及在区间上的最大值；(3)若，，求的值.18．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.(1)若、分别为、的中点，求；(2)若，求的范围；(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.19．为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题.

(1)若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值；(2)若最终敲定方案为，求扩建后四边形面积的最大值.题号12345678910答案DACABCADACAD题号11答案BCD1．D利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果.【详解】易知.故选：D2．A利用正弦定理进行求解即可．【详解】在中，已知，，可知，所以．由正弦定理得，所以，则．故选：A．3．C判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.【详解】因为函数和函数在上都单调递增，所以函数为增函数，又，，，，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.故选：C.4．A先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解．【详解】在中，，，，则，由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故选：A5．B根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B.6．C先由求出和，再用两角和的正切公式即可求出.【详解】因为在中，，所以为锐角，所以，，则.故选：C7．A利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】因为，则.故选：A.8．D根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项.【详解】对于A，，解得，故A正确，对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确；对于D，由等积法知，，故D不正确.故选：D.9．AC根据平面向量数量积运算性质和定义逐一判断即可.【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；B：与共线，与共线，而与不一定共线，所以不一定成立，因此本选项不一定成立；C：，所以本选项一定成立；D：当时，，所以本选项不一定成立，故选：AC10．AD根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，A选项正确.B选项，，B选项错误.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：AD11．BCD根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【详解】根据题意，函数，由此作出函数的草图：依次分析选项：对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误；对于B：令，可得，则函数的零点个数即为与的图象的交点个数，若函数有两个零点，由图象可知，B正确；对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点.不妨设，由图象可得：，且，，所以，故C正确；对于D：因为，解得或，结合图象可知：有一个根，有四个根，所以关于的方程有5个不等实数根，D正确．故选：BCD.12．(0.6，-0.8)根据向量的坐标，可得，从而根据即可得出与同向的单位向量的坐标.【详解】解：因为，则，则与同向的单位向量的坐标是故答案为：(0.6，-0.8)13．根据角的象限，以及平方关系求得，再根据两角和的余弦公式求值即可.【详解】因为，且为锐角，所以，所以.故答案为：.14．利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，的角平分线交于点，且，因为，即，即，即，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.15．(1)；(2)（1）根据内角和定理求得，再由正弦定理求解即可；（2）由正弦定理可得，从而得，再由，求解即可.【详解】（1）解：在中，，所以，由正弦定理得，所以；（2）解：在中，由正弦定理得，即，解得，又为锐角三角形，所以，所以.16．(1)；(2).（1）利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示求出x，然后根据坐标运算和向量模的坐标表示可得；（2）利用向量的坐标运算和向量平行的坐标表示求出x，然后根据向量的夹角公式求解可得.【详解】（1），由可得，即，解得，所以，故.（2）依题意，又，所以，解得，则，，，所以，故与的夹角的余弦值为.17．(1)(2)，2(3)（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）由正弦型函数的周期性以及值域，代入计算，即可得到结果；（3）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意得，.（2）所以函数的最小正周期为.由可知，则当，即时，取得最大值为.（3）∵，∴.又，∴，∴.∴.18．(1)；(2)；(3)存在，.（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得；（2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得；（3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得.【详解】（1）解法1：因为，，所以，，，.解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系则，，，，所以，，，.（2）由，，故，则，所以，由，故；（3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，由题意可得，即，假设存在点，使得最大，由，即有最大，设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，即存在，且.19．(1)(2)（1）利用三角形面积公式结合基本不等式即可求出最值；（2）设，，分别利用余弦定理及勾股定理表