湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题 含答案

沅澧共同体届高三第一次模拟考试（试题卷）数学时量：120分钟满分：150分命题单位：常德外国语学校一择题：本题共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数为实数，则实数a等于（）A．-2B．C．1D．22．设集合，，则集合中元素的个数为（）A．6B．5C．4D．33．已知幂函数在上单调递增，则m的值为（）A．1B．-3C．-4D．1或-34．已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则m的值为（）A．B．C．D．5．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（）A．B．C．D．6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）A．B．C．D．7．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A．B．0C．D．8是定义在在上的解集为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱D．已知随机变量X服从正态分布且，则10.所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（）A．B．C．D．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（）A．时，满足的点有2个B．的周长等于C．时，满足的点有4个D．的最大值为a2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.若非零向量满足，，则．13.已知点在抛物线上，的焦点为，则．14.在.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生10男生5总计50已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．附：，.0.100.050.012.7063.8416.6351615分）已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．17如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2为的中点．（1）证明：平面平面；（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．1817分）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.（1）求双曲线的方程；（2）且斜率不为0的直线交双曲线于在交双曲线于点，证明：.1917分）已知函数,．（1）求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）求证：.沅澧共同体年上学期高三第一次模拟考试（答案）数学时量：120分钟满分：150分命题单位：常德外国语学校8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CCACBBDA3小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABDBDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.113.214.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人.不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生153分列联表补充如下，喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生101525男生20525总计302050零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得5分根据小概率值断犯错误的概率不大于0.01.6分（2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为.7分表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为1，2，3.8分则，，.11分所以的分布列为123数学期望.13分16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理及，得2分4分，6分，7分（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得8分，.10分由余弦定理得，13分，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9.15分17.（本小题满分15分）解：（1），，D为的中点，，2分，平面，平面，平面.4分又平面，平面平面.6分（2）如图，以点为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系.取中点，连接PE，，.由（1）可知平面，平面，7分又，平面，平面，故平面8分，，D为的中点，.又，E为的中点，.则，，，，，，所以，，9分设平面的一个法向量为，则，令，则，所以.11分设平面的一个法向量，则，令，则，所以.13分设平面与平面的夹角为，则，所以.所以，平面与平面的夹角的正弦值是.15分18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可得3分解得，5分所以双曲线的方程为.6分（2）证明：设直线，点，，则.联立，得9分，11分，，则13分，16分所以.17分19.（本小题满分17分）解：（1）因为，所以，2分所以切线斜率为4分所以函数的在处的切线方程为，即5分（2）要证，只需要证明，其中，设，6分设，7分因为函数、在上均为减函数，则在区间8分因为，，所以，，使得，当.时，；当时，.所以在区间内单调递增，在区间9分又因为，，，，使得，当时，