2025河北中考：数学必考知识点

2025河北中考：数学必考知识点

以下是河北中考数学可能的必考知识点：一、数与代数1.实数-有理数与无理数的概念-例如判断一个数是有理数还是无理数，像\(\sqrt{2}\)是无理数，而\(-3\)是有理数。-实数的运算-包括加、减、乘、除、乘方、开方运算。如计算\((-2)^3+\sqrt{9}\)，先算乘方\((-2)^3=-8\)，再算开方\(\sqrt{9}=3\)，最后相加得到\(-8+3=-5\)。2.代数式-整式的运算-整式的加减，如\((2x^2-3x+1)-(x^2-2x-1)\)，需要去括号后合并同类项得到\(x^2-x+2\)。-整式的乘除，如\((2x)^3\divx^2\)，先算乘方\((2x)^3=8x^3\)，再算除法得到\(8x\)。-因式分解-运用提公因式法、公式法（平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)、完全平方公式\(a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2\)）进行因式分解。例如\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，\(x^2+4x+4=(x+2)^2\)。-分式的运算-分式的化简求值，如\(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\div\frac{x-1}{x+1}\)，先将分子分母因式分解，再进行约分得到\(1\)。当\(x=2\)时，可代入求值。3.方程与不等式-一元一次方程-例如\(3x+5=2x-1\)，通过移项、合并同类项求出\(x=-6\)。-二元一次方程组-用代入消元法或加减消元法求解。如\(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\)，将两个方程相加可消去\(y\)，求出\(x=2\)，再代入求出\(y=1\)。-一元二次方程-掌握一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)的解法（配方法、公式法、因式分解法），求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。例如解方程\(x^2-3x+2=0\)，用因式分解法得到\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。-不等式（组）-解一元一次不等式，如\(2x-3\gt5\)，解得\(x\gt4\)。解一元一次不等式组，如\(\begin{cases}x-1\gt0\\2x+1\lt7\end{cases}\)，分别解出两个不等式\(x\gt1\)和\(x\lt3\)，所以不等式组的解集为\(1\ltx\lt3\)。二、函数1.一次函数-一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)的图象与性质，当\(k\gt0\)时，函数图象从左到右上升；当\(k\lt0\)时，函数图象从左到右下降。-求一次函数的解析式，例如已知一次函数图象过点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，可将两点代入\(y=kx+b\)得到方程组\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(b=1\)，所以解析式为\(y=2x+1\)。2.反比例函数-反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图象与性质，当\(k\gt0\)时，图象在一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k\lt0\)时，图象在二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。-反比例函数\(k\)的几何意义，如过反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上一点\(P(x,y)\)作\(PM\perpx\)轴于\(M\)，\(PN\perpy\)轴于\(N\)，则矩形\(PMON\)的面积\(S=|k|\)。3.二次函数-二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的图象与性质，包括对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。-二次函数的解析式的求法，有一般式\(y=ax^2+bx+c\)、顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)（顶点坐标为\((h,k)\)）、交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1\)、\(x_2\)为函数与\(x\)轴交点的横坐标）。例如已知二次函数顶点为\((1,-2)\)且过点\((2,0)\)，可设顶点式\(y=a(x-1)^2-2\)，把\((2,0)\)代入求出\(a=2\)，解析式为\(y=2(x-1)^2-2\)。三、图形的性质1.三角形-三角形的内角和定理-三角形内角和为\(180^{\circ}\)，例如在\(\triangleABC\)中，已知\(\angleA=50^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，则\(\angleC=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}\)。-等腰三角形与等边三角形的性质-等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形三边相等，三个角都是\(60^{\circ}\)。如等腰三角形底角为\(70^{\circ}\)，则顶角为\(180^{\circ}-70^{\circ}\times2=40^{\circ}\)。-全等三角形的判定与性质-判定方法有\(SSS\)（边边边）、\(SAS\)（边角边）、\(ASA\)（角边角）、\(AAS\)（角角边）、\(HL\)（直角、斜边、直角边）。全等三角形对应边相等，对应角相等。例如已知\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)，\(AB=5\)，则\(DE=5\)。2.四边形-平行四边形的性质与判定-平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定方法有两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。例如平行四边形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=4\)，则其周长为\(2\times(3+4)=14\)。-矩形、菱形、正方形的性质与判定-矩形四个角都是直角，对角线相等；菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分一组对角；正方形具有矩形和菱形的所有性质。判定时根据各自的特征，如一个四边形对角线互相垂直且相等，它不一定是正方形，还需要满足是平行四边形等其他条件。3.圆-圆的基本性质-圆的半径、直径、弦、弧等概念，同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等）。-圆周角定理及其推论-圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，\(90^{\circ}\)的圆周角所对的弦是直径。例如在圆\(O\)中，圆心角\(\angleAOB=100^{\circ}\)，则弧\(AB\)所对的圆周角\(\angleC=50^{\circ}\)。-切线的性质与判定-切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。如直线\(l\)是圆\(O\)的切线，切点为\(A\)，则\(OA\perpl\)。四、图形的变化1.图形的平移-平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变，对应点的连线平行且相等。例如将\(\triangleABC\)沿\(x\)轴正方向平移\(3\)个单位，\(A(x_1,y_1)\)的对应点\(A'(x_1+3,y_1)\)。2.图形的旋转-旋转的性质：旋转前后图形的形状和大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。如将正方形\(ABCD\)绕点\(A\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)，得到正方形\(AB'C'D'\)，则\(AB=AB'\)，\(\angleBAB'=90^{\circ}\)。3.图形的轴对称-轴对称的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如\(\triangleABC\)与\(\triangleA'B'C'\)关于直线\(l\)对称，则\(AA'\perpl\)且\(AA'\)被\(l\)平分。4.相似图形-相似三角形的判定与性质-判定方法有两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例等。相似三角形对应边成比例，对应角相等。例如\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(2:3\)，若\(AB=4\)，则\(DE=6\)。-位似图形-位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比。如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点的连线都经过同一个点，并且对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形。五、统计与概率1.统计-数据的收集、整理与描述-了解普查和抽样调查的区别，会用表格、条形图、折线图、扇形图等整理和描述数据。例如对班级同学的身高进行调查，可以采用普查的方式，然后用频数分布表和直方图来描述数据。-平均数、中位数、众数-平均数\(\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数）或最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据。例如数据\(1,2,2,3,4\)的平均数为\(\frac{1+2+2+3+4}{5}=2.4\)，中位数为\(2\)，众数为\(2\)。-方差-方差\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]\)，方差越大，数据的波动越