高考数学总复习课时训练(基础过关 能力训练)：第二章　函数与导数第8课时　指数函数、对数函数及幂函数(含答案)

第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)1.已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．答案：m<n解析：∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，∴函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)>f(n)，得m<n.2.函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的值域为________．答案：(－∞，－1)∪(0，1)解析：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0，))由0<a<1画图可知．3.要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则实数t的取值范围为_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.4.函数y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1－2x－27)的定义域是________．答案：[2，＋∞)解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1－2x－27≥0，得32x－1≥27，即2x－1≥3.5.已知函数f(x)＝2x－2－x，有下列结论：①f(x)的图象关于原点对称；②f(x)在R上是增函数；③f(0)＝0；④f(|x|)的最小值为0.其中正确的是__________．(填序号)答案：①②③④解析：f(x)为R上的奇函数，故①③正确．又2x与－2－x均为增函数，故②④正确．6.若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．答案：eq\f(1,4)解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，所以a＝2，m＝eq\f(1,2)，此时geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝－eq\r(x)是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，所以a＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,16)，此时g(x)＝eq\f(3\r(x),4)，符合．7.已知过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC∥x轴时，点A的横坐标是________．答案：log32解析：设A(x0，3x0)，则C(x0，9x0)，所以B(2x0，9x0)．因为O、A、B三点共线，所以x0·9x0＝2x0·3x0，即3x0＝2，x0＝log32.8.函数f(x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,2)，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．答案：{－1，0}解析：f(x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,2)＝eq\f(1＋2x－1,1＋2x)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,1＋2x)，则f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).又f(x)＝eq\f(2x－1,2（2x＋1）)，f(－x)＝eq\f(2－x－1,2（2－x＋1）)＝eq\f(2x（2－x－1）,2·2x（2－x＋1）)＝eq\f(1－2x,2（1＋2x）)＝－f(x)，且定义域为R，所以函数f(x)为奇函数，当f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))时，f(－x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，y＝[f(x)]＋[f(－x)]＝－1＋0＝－1；当f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(－x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，y＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0－1＝－1；当f(x)＝0时，y＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0，则y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1，0}．9.(1)解关于x的方程3x＋2－2×3－x＋3＝0；(2)求函数y＝4x－eq\f(1,2)－3·2x＋5，x∈[0，2]的最值．解：(1)方程可化为9×3x－eq\f(2,3x)＋3＝0，即9×(3x)2＋3×3x－2＝0，所以3x＝eq\f(1,3)，x＝－1.(2)函数y＝4x－eq\f(1,2)－3·2x＋5＝eq\f(1,2)·4x－3·2x＋5，设t＝2x，则eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2).因为x∈[0，2]，所以t＝2x∈[1，4]，所以函数y＝4x－eq\f(1,2)－3·2x＋5的最大值为eq\f(5,2)，最小值为eq\f(1,2).10.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a、b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．解：(1)当a>0，b>0时，任意x1、x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，∵2x1<2x2，a>0a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>－eq\f(a,2b)，则x>log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；当a>0，b<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)<－eq\f(a,2b)，则x<log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).11.已知函数f(x)＝2x(x∈R)，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1)求g(x)，h(x)的解析式；(2)若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝g（x）＋h（x）＝2x，,f（－x）＝g（－x）＋h（－x）＝2－x，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）＋h（x）＝2x，,－g（x）＋h（x）＝2－x，))解得g(x)＝eq\f(1,2)(2x－2－x)，h(x)＝eq\f(1,2)(2x＋2－x)．(2)由2a·g(x)＋h(2x)≥0，即a(2x－2－x)＋eq\f(1,2)(22x＋2－2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t＝2x－2－x，由于t在x∈[1，2]上单调递增，所以t＝2x－2－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4))).因为22x＋2－2x＝(2x－2－x)2＋2＝t2＋2，所以a≥－eq\f(t2＋2,2t)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(2,t)))在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4)))上恒成立．设φ(t)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(2,t)))，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4)))，由φ′(t)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al