2009年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

页2009年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）如果向东走80m记为+80m，那么向西走60m记为（）A．﹣60m B．|﹣60|m C．﹣（﹣60）m D．m【微点】正数和负数．【思路】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东走80m记为“+80m”，那么向西走60m记为“﹣60m”．故选：A．【点拨】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．（3分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（）A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【微点】关于原点对称的点的坐标．【思路】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解析】解：∵点P（﹣2，1）关于原点对称，∴点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．故选：C．【点拨】这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．3．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（）A． B． C． D．【微点】简单几何体的三视图．【思路】左视图是从物体左面看所得到的图形．【解析】解：从正五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B．【点拨】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．4．（3分）2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（）A．0.156×10﹣5 B．0.156×105 C．1.56×10﹣6 D．1.56×106【微点】科学记数法—表示较小的数．【思路】科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数，为整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【解析】解：0.00000156＝1.56×10﹣6．故选：C．【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．5．（3分）一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（）A．50cm B．25cm C．cm D．50cm【微点】含30度角的直角三角形；切线的性质．【思路】钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM＝∠OPN＝30°，根据三角函数就可求出OP的长．【解析】解：∵圆与V形架的两边相切，∴△OMP是直角三角形中∠OPN∠MPN＝30°，∴OP＝2ON＝50CM．故选：A．【点拨】本题主要考查了切线的性质定理，解题的关键是将此问题转化为解直角三角形的问题来解决．6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：则这些运动员成绩的中位数是（）成绩/m1.501.611.661.701.751.78人数232151A．1.66 B．1.67 C．1.68 D．1.75【微点】中位数．【思路】先求出14名运动员成绩的总和，再除以14即可．【解析】解：根据图表可知题目中数据共有14个，故中位数是按从小到大排列后第7，第8两个数的平均数作为中位数．故这组数据的中位数是（1.66+1.70）＝1.68．故选：C．【点拨】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个图表分析的不准确，没有考虑到共有14个数据而不是6个而错解．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．（3分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°【微点】菱形的性质；剪纸问题．【思路】如图：折痕为AC与BD，∠ABC＝60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD∠ABC，∠BAC∠BAD，AD∥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故选：D．【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，有助于提高学生的动手及立体思维能力．8．（3分）小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是（）A．ⓧ＝1，⊕＝1 B．ⓧ＝2，⊕＝1 C．ⓧ＝1，⊕＝2 D．ⓧ＝2，⊕＝2【微点】解二元一次方程组．【思路】把x，y的值代入原方程组，可得关于“ⓧ”、“⊕”的二元一次方程组，解方程组即可．【解析】解：将代入方程组，两方程相加，得x＝⊕＝1；将x＝⊕＝1代入方程x+ⓧy＝3中，得1+ⓧ＝3，ⓧ＝2．故选：B．【点拨】要求学生掌握二元一次方程组常见解法，如加减消元法．9．（3分）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【微点】二次根式的性质与化简．【思路】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解析】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．故选B．【点拨】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A，C在反比例函数y的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为8，则k＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【微点】反比例函数系数k的几何意义．【思路】根据图形的对称性，设点A的坐标，可以表示出点C的坐标，进一步表示矩形的长和宽；再根据矩形的面积求得mn的值，进一步求得k的值．【解析】解：设点A的坐标是（﹣m，n），则点C的坐标一定是（m，﹣n），则AB＝2n，AD＝2m；若ABCD的面积为8，即2n•2m＝8，则mn＝2；又点（﹣m，n）在函数y的图象上，则k＝﹣mn＝﹣2．故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．注意：过反比例函数y的图象上任意一点，作以原点为中心的矩形ABCD，相对的顶点一定在双曲线的另一个分支上，矩形的面积等于4|k|．当k＞0时，面积是4k；当k＜0时，面积是﹣4k．反之，矩形面积是S时，当图象在一，三象限是k；当图象在二，四象限时，k．11．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD＝4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC＝（）A．1：3 B．3：8 C．8：27 D．7：25【微点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路】根据题意可得四边形ACED是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．【解析】解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、H．设AB＝4k，AD＝3k，则AC＝5k．由△AEC的面积4k×3k5k×EH，得EHk；根据勾股定理得CHk．所以DE＝5kk×2．所以DE：AC＝7：25．故选：D．【点拨】本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值．12．（3分）如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【微点】等腰直角三角形；直角梯形；扇形面积的计算．【思路】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．【解析】解：连接O1O2，设圆O2的半径为x．∵O1O22﹣AO12＝AO22，∴（x）2﹣（）2＝（a﹣x）2，解得：xa．设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．∴CE＝PExa，BCAB，CDABa，∴S阴影＝S△ADC﹣S△CEP＝CD•AD•CE•PE•aaa2．故选：D．【点拨】本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PEDA的面积．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）计算：（2a2）2＝4a4．【微点】幂的乘方与积的乘方．【思路】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解析】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．【点拨】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．14．（4分）如图，直线a∥b，l与a、b交于E、F点，PF平分∠EFD交a于P点，若∠1＝70°，则∠2＝35度．【微点】平行线的性质；三角形的外角性质．【思路】利用两直线平行同位角相等、角平分线的性质及三角形外角和内角的关系计算．【解析】解：∵a∥b，∴∠1＝∠EFD．又∵PF平分∠EFD，∴∠EFPEFD∠1．∵∠1是△EFP的外角，∴∠1＝∠2+∠EFP，即∠2＝∠1﹣∠EFP＝∠1∠1∠170°＝35°．【点拨】本题考查了角平分线的性质；解答此题的关键是要利用两直线平行同位角相等即∠1＝∠EFD，再根据角平分线的性质及三角形外角和内角的关系解答．15．（4分）小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E，楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30度．已知楼房高CD＝21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，则此树的高度约为3.7米．（结果保留两个有效数字，1.732）【微点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路】利用CD及相应的三角函数表示出AC长，减去BC即为AB，进而利用30°的正切函数求BE长．【解析】解：根据题意可得：AC21，∴AB＝AC﹣BC＝2130．∴树高BE＝AB×tan30°＝（2130）×tan30°≈3.7（米）．【点拨】命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．16．（4分）一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是．【微点】概率公式．【思路】列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解析】解：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共3×2＝6种结果，所以其概率是．法二：解：总共有6种搭配结果，依次是：第一种：杯1盖1；杯2盖2；杯3；第二种：杯1盖1；杯2；杯3盖2；第三种：杯1盖2；杯2盖1；杯3；第四种：杯1盖2；杯2；杯3盖1；第五种：杯1；杯2盖1；杯3盖2；第六种：第五种：杯1；杯2盖2；杯3盖1；共6种搭配方式，只有第一种符合完全满足颜色正确搭配，故概率为．【点拨】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．17．（4分）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第670行第3列．第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110…【微点】规律型：数字的变化类．【思路】每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列．每行的最后都是3的倍数．那么2009÷3＝669…2，说明2007排在669行的最后，2008应从670行第4列开始，那么2009应在第670行第3列．【解析】解：∵2009÷3＝669…2，∴2007排在669行的最后，2008应从670行第4列开始，∴2009应在第670行第3列．【点拨】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．关键为：每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列，每行的最后都是3的倍数．18．（4分）如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）答案如下图．【微点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．【思路】本题主要是根据旋转的性质画图．即对应点旋转的角度相行，线段相等，然后再平移2个单元格即可【解析】解：【点拨】本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是掌握平移旋转的性质三、解答题（共7小题，满分60分）19．（8分）（1）计算：（﹣1）2009+3（tan60°）﹣1﹣|1|+（3.14﹣π）0；（2）先化简，再选择一个合适的x值代入求值：．【微点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路】（1）涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）考查分式的化简求值，应先化简再代入求值．【解析】解：（1）原式＝﹣1+3（）﹣1﹣（1）+1＝﹣1+31+1＝1；（2）原式．取x＝0，则原式＝﹣1．（注：x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）【点拨】（1）题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．（2）取合适的数代入求值时，要特别注意原式及化简过程中的每一步都有意义．20．（8分）新民场镇地处城郊，镇政府为进一步改善场镇人居环境，准备在街道两边植种行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民，并将结果绘制成如下扇形统计图，其中∠AOB＝126度．请根据扇形统计图，完成下列问题：（1）本次调查了多少名居民？其中喜爱柳树的居民有多少人？（2）请将扇形统计图改成条形统计图（在图中完成）；（3）请根据此项调查，对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议．【微点】扇形统计图；条形统计图．【思路】（1）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．可求得“小叶榕”的比例为35%，进而求得调查居民的数目；最后计算出喜爱柳树的居民人数；（2）根据比例计算出各部分的人数，将数据依次标在条形图中，就将扇形统计图改成条形统计图；（3）根据实际情况，提出建议即可．【解析】解：（1）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．可求得“小叶榕”的比例为∵100%＝35%，总人数为∴280÷35%＝800，800×（1﹣40%﹣35%﹣10%﹣10%）＝40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．（2）如图．（3）建议多植种香樟树．（注：答案不唯一）【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【微点】根的判别式．【思路】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△＝b2﹣4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．【解析】解：（1）∵△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8，又∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1；（2）假设0是方程的一个根，则代入原方程得02+2（k﹣1）•0+k2﹣1＝0，解得k＝﹣1或k＝1（舍去），即当k＝﹣1时，0就为原方程的一个根，此时原方程变为x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，所以它的另一个根是4．【点拨】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．（8分）李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．【微点】一元一次不等式的应用．【思路】（1）等量关系为：种种兔的数量增加了20只B＝种种兔的2倍少10只，据此列方程即可求解；（2）关系式为：A种种兔少于B种种兔；共获利≥280，根据这两个不等关系列不等式组即可求解．【解析】解：（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意得x+20＝2x﹣10解得x＝30即一年前李大爷共买了60只种兔．（2）设李大爷卖A种兔y只，则卖B种兔30﹣y只，则由题意得y＜30﹣y①15y+（30﹣y）×6≥280②解①得y＜15解②得y即y＜15．∵y是整数，11.11∴y＝12，13，14．即李大爷有三种卖兔方案方案一：卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利12×15+18×6＝288（元）；方案二：卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利13×15+17×6＝297（元）；方案三：卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利14×15+16×6＝306（元）．显然，方案三获利最大，最大利润为306元．【点拨】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的关系式和不等关系式组．利用不等式找出x的取值范围并根据实际意义求得x的值获取方案是常用的方法，要掌握．23．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣x+c经过点Q（﹣2，），且它的顶点P的横坐标为﹣1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．【微点】二次函数综合题．【思路】（1）横坐标为﹣1，那么1，再把点Q坐标代入即可．（2）与x轴的交点，此时，函数值y＝0，可化为一元二次方程求解．（3）易求得AB之间的距离，可设出一次函数的解析式，把P、B坐标代入即可求得过P、B的解析式，与y轴的交点就是OC的长．【解析】解：（1）由题意得，解得a，c．∴抛物线的解析式为yx2﹣x．（2）把y＝0代入yx2﹣x得：x2﹣x0，整理得x2+2x﹣3＝0．变形为（x+3）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1．∵抛物线与x轴的交点A点在x轴负半轴，B点在x轴正半轴，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（3）将x＝﹣l代入yx2﹣x中，得y＝2，即P（﹣1，2）．设直线PB的解析式为y＝kx+b，将P（﹣1，2），B（1，0）代入得：，解得：k＝﹣1，b＝1．即直线PB的解析式为y＝﹣x+1．把x＝0代入y＝﹣x+1中，则y＝1，即OC＝1．又∵AB＝AO+OB＝1+3＝4，∴S△ABCAB×OC4×1＝2，即△ABC的面积为2．【点拨】图象与x轴的交点的纵坐标为0；二次函数的顶点坐标为（，）；数轴上两点间的距离＝数轴右边的数减去左边的数．24．（10分）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，AB与PC交于Q点．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若∠ABP＝15°，△ABC的面积为4，求PC的长．【微点】等边三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【思路】（1）由圆周角定理知，∠BAC＝∠BPC＝∠APC＝∠BPC＝60°，即可证明△ABC是等边三角形；（2）过B作BD∥PA交PC于D，证得△AQP∽△BQD，，再证PB＝BD即可；（3）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．【解析】（1）解：△ABC是等边三角形．证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP＝∠APC＝60°，又∵∠AQP＝∠BQD，∴△AQP∽△BQD，∴，∵∠BPD＝∠BDP＝60°，∴PB＝BD，∴；（3）解：设正△ABC的高为h，则h＝BC•sin60°．∵BC•h＝4，即BC•BC•sin60°＝4，解得BC＝4，连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，由△ABC是正三角形知∠BOC＝120°，从而得∠OCE＝30°，∴，由∠ABP＝15°得∠PBC＝∠ABC+∠ABP＝75°，于是∠POC＝2∠PBC＝150°，∴∠PCO＝（180°﹣150°）÷2＝15°，如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM＝15°，则∠RNG＝30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH＝1，则cos∠GNM＝cos15°．在Rt△GHN中，NH＝GN•cos30°，GH＝GN•sin30°，∴RH＝GH，MN＝RN•sin45°，∴cos15°．在图中，作OF⊥PC于F，∴PC＝2CF＝2OC•cos15°．【点拨】本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很强的综合性．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m＝n时，如图，求证：EF＝AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．【微点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；反证法；相似三角形的判定与性质．【思路】（1）根据m＝n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF＝AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG＝BE，则OG＝OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG＝BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45＝135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF＝AE了．（