第8章 幂的运算（4类压轴题专练）（解析版）

第8章幂的运算（4类压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一逆用幂的相关公式求值】 1【考点二先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 5【考点三利用幂的运算比较大小】 9【考点四新定义型有关的幂的运算】 12【考点一逆用幂的相关公式求值】例题：（2024上·广东湛江·八年级统考期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查幂的运算法则．（1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答；（2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答．【详解】解：（1）∵，，∴原式；（2）∵，，，原式．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)30(2)24【分析】（1）的指数是，用同底数幂相乘的形式表示是；（2）的指数是，用同底数幂运算的形式表示是．【详解】（1）解：，，，．（2），，，，．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握同底数幂的乘法法则及幂的乘方的运算法则是解题的关键．2．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知，．(1)求：①的值；②的值；(2)已知，求的值【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①利用同底数幂相乘法则的逆运算计算即可；②利用幂的乘方和同底数幂除法的法则逆运算计算即可．（2）把展开化简得到，把代入即可求解．【详解】（1）①∵，．∴；②；（2）原式，∵，∴原式．【点睛】本题主要考查了幂的运算，整式的化简求值．熟练掌握幂的运算法则的逆运算，去括号，添括号，整体代入法，是解题的关键．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）8；（2）1025【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可；（2）先根据积的乘方将所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此代值计算即可．【详解】解：（1）∵，，∴．（2）∵，∴．4．（2023上·湖南永州·七年级统考期中）回答下列问题．(1)填空：①，②，(2)比一比，（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当n为正整数时，．(3)试一试，计算：的值．【答案】(1)①，；②，(2)相等，(3)【分析】（1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算；②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算；（2）由（1）归纳可得：；（3）由，可得，再利用规律进行简便运算即可．【详解】（1）解：①；；②，；（2）（n为正整数）（3）．【点睛】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘法运算的应用，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键．5．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则如果反过来写，式子可以表达为：；；，可以起到简化计算的作用．(1)在括号里填空：；；(2)已知：，．①求的值．

②求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)，，(2)①；②(3)的值为：【分析】（1）根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解；（2）①根据同底数幂的乘的逆运算即可求解；②根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解；（3）根据乘方的运算，将等式左边化成底数相同的数，再根据同底数幂的乘法运算法则列式解方程即可求解．【详解】（1）解：∵同底数幂的乘法是底数不变，指数相加，即，∴；∵同底数幂的除法是底数不变，指数相减，即，∴；∵幂的乘方是底数不变，指数相乘，即，∴；故答案为：，，．（2）解：，①∵，∴原式，∴的值为：；②∵，∴原式，∴的值为：．（3）解：变形得，，∴，∴，解得，，∴的值为：．【点睛】本题主要考查整式的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的乘除法运算法则，及逆运算的计算方法，解方程的方法是解题的关键．【考点二先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知为正整数，且，求的值．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解决本题的关键是转化为同底数幂的乘法．【变式训练】1．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）已知，求的值．（2）已知，求n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法计算法则求解即；（2）先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，进一步推出，由此得到，则，即．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（）；（）．【分析】（）利用积的乘方的逆运算，再列方程即可求解；（）利用幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算即可求解．【详解】（）解：，，∴，解得：；（）解：，∵，∴，∴原式．【点睛】此题考查了幂和积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．3．（2023春·江苏·七年级校考周测）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）81（2）【分析】（1）首先将变形为，再将变形为，然后利用幂的乘方与同底数幂乘法得到，再把代入计算即可；（2）首先将变形为，即，则，求得,代入计算即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，，，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘方法则及其灵活运用是解题的关键．4．（2023春·江苏·七年级期中）求值：(1)已知，求的值．(2)已知，，求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴；（3）∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算．正确掌握相关运算法则是解题的关键．5．（2023下·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在算的运等中规定：若且，，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)若，，用含的代数式表示．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；（3）把代入即可．【详解】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴∴（3）∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形．【考点三利用幂的运算比较大小】例题：（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）比较下列各题中幂的大小：(1)比较，，，这4个数的大小关系；(2)已知，，，比较a、b、c的大小关系；(3)已知，，比较P，Q的大小关系；【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，，比较即可；（2）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，比较即可；（3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果．【详解】（1）解：，，，，，；（2），，，，，；（3）．【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一．【变式训练】1．（2023上·北京海淀·八年级校考期中）阅读下列材料：若，比较a，b的大小．解：因为，所以，所以．依照上述方法解答下列问题：已知，试比较x与y的大小．【答案】【分析】仿照题意分别求出，由此可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟知是解题的关键．2．（2023下·山东枣庄·七年级统考阶段练习）阅读下列材料若，则a，b的大小关系是a_____b（填“<”或“>”），解：因为，所以所以，解答下列问题：(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方(2)已知，试比较x与y的大小关系．(3)已知，比较a，b，c的大小关系．【答案】(1)C(2)(3)【分析】分别根据幂的乘方法则的逆运算计算．【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选：C．（2），，，；（3），，，且，．【点睛】本题考查幂的乘方，实数的大小比较，关键是掌握幂的乘方的法则．3．（2023上·全国·八年级课堂例题）在比较和的大小时，我们可以这样来处理：．，即．根据上述材料，回答下列问题：(1)请比较下列两组数的大小：①和；②和．(2)（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的____________，从而比较大小，试用类似的方法，比较的大小．【答案】(1)①；②(2)指数，【分析】（1）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为指数相同的形式比较大小即可得到答案；（2）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为底数相同的形式比较大小即可得到答案．【详解】（1）解：①∵，又∵，∴，即；②∵，，又∵，∴，即；（2）解：（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的指数，从而比较大小；又∵，∴，即．【点睛】本题考查幂的大小比较，读懂题中材料，灵活运用幂的乘方运算及其逆运算按材料中的方法求解是解决问题的关键．【考点四新定义型有关的幂的运算】例题：（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．(1)填空：当，时，__________；(2)若，，求的值．【答案】(1)3(2)81【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论．【详解】（1）解：，故答案为：3；（2），，，，整理得：，，解得：，．【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．【变式训练】1．（2022上·广东东莞·八年级东莞市东莞中学初中部校考期中）我们给出以下两个定义：①三角形

；②3×3的方格图

请你根据上面两个定义，解答下列问题：(1)填空：

=__________(2)填空：

=____________(3)若

，求

【答案】(1)16(2)48(3)18【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可；（2）根据②中所给公式直接进行求解即可；（3）根据题中所给公式直接代值求解即可．【详解】（1）解：由题意得：

；故答案为16；（2）解：由题意得：

；故答案为48；（3）解：由题意得：，∴，∴．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键．2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．(1)求的值；(2)，求的值；(3)若运算的结果为，则t的值是多少？【答案】(1)96(2)96(3)2【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；（2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解；（3）根据新定义得出，即可求解．【详解】（1）解：依题意，（2）∵，∴．（3）因为，即，即，所以．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023下·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果，那么．例如：∵，∴．我们还可以利用此定义证明等式成立．证明如下：设，则．∴．∴，即．(1)根据上述规定，填空：＝______，＝______，＝______；(2)计算：_______________，并说明理由；(3)记，，，求证：．【答案】(1)2，2，3(2)(3)见解析【分析】（1）按照题目给出的运算方法计算即可；（2）按照题目给出的运算方法计算即可；（3）按照题目给出的运算方法计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；故答案为：2，2，3．（2）解：设，则．∴．∴，即；故答案为：．（3）解：因为，，，所以，因为，所以，所以即．【点睛】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算．4．（2023上·江西赣州·七年级统考期中）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”，特别地，规定：．另外我们知道，有理数