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文档简介
高中数学函数知识点总结
1.函数的三要素是什么若何比较两个函数是否一样
〔定义域、对应法则、值域〕
一样函数的判断方法:①表达式一样;②定义域一致(两点必须同时具备)
2.求函数的定义域有哪些常见类型
函数定义域求法:
•分式中的分母不为零;
•偶次方根下的数〔或式〕大于或等于零;
•指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数y=tanxxeR,且xNk兀、——,keZ
•余切函数y=cotx(xeR,且xwkr,keZ)
•反三角函数的定义域
r.«i
函数y=arcsinx的定义域是[—1,1],值域是2'2,函数y=arccosx的定义域是[—1,1],
值域是[0,n],函数y=arctgx的定义域是R,值域是23.,函数y=arcctgx的定义域是R,
值域是(0,n).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他
们的交集,就得到函数的定义域。
3.若何求复合函数的定义域
义域是______________。(答:[a,-a])
复合函数定义域的求法:y=/(x)的定义域为[加,"],求y=/卜(无)]的定义域,可由加<g(x)〈〃解出x
的范围,即为y=/[g(x)]的定义域。
例假设函数y=/(x)的定义域为;,2,则/(log2%)的定义域为。
分析:由函数y=/(x)的定义域为;,2可知:-<x<2;所以y=/(log2X)中有,<log2X<2。
_222
解:依题意知:<log2x<2
解之,得V2<x<4
/(log2X)的定义域为{rIV2<X<4)
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些匕菌简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=:的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例'求函数y=,-2x+5,xe[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用,但这类题型有时也可以用其他方
法进展化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=①上值域。
5x+6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单
调性,最常用的就是三角函数的单调性。
miex-12sin。-12sin6-1/±T
例求函数—,y=------y=----------kA的A值1域。
e+11+sin。1+cos0
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=245+10g,Hf〔2WxW10]的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+G7的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目假设运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:点P〔x.y〕在圆x2+y-1上,
例求函数y=J(x—2)2+J(X+8)2的值域。
-Q0•2
解:原函数可化简得:y=|X-2|+Ix+8|
上式可以看成数轴上点P〔X〕到定点A〔2〕,B〔-8〕间的距离之和。
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10
故所求函数的值域为:[10,+8]
例求函数y=-6x+13++4x+5的值域
解:原函数可变形为:y=J(x—3)2+(0—2)2+&2)2+(0+1)2
上式可看成X轴上的点P〔X,0〕到两定点A〔3,2〕,BC-2,7〕的距离之和,由图可知当
点P为线段与x轴的交点时,ymin-IAB|"(3+2)2+(2+1)2:⑸
故所求函数的值域为[、由,+8〕。
注:求两距离之和时,要将函数
9、不等式法
利用基本不等式a+b22疝,a+b+c'33而〔a,b,cGR〕,求函数的最值,其题型特征解
析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平
方等技巧。
例:2
x2?H——(X>0)
10.倒数法X
有时,直接看不出
211J21-函数的
值域时,把它倒过=x+x+x-3rX7X7=3来之后,
你会发现另一番(应用公式a+b+c,3板无时,注意使3者的乘积变成常数)境况
例求函数
y=无亘的值域
x+3
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细'认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,
一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗
切记:做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯
我当年的错误,与到手的总分值失之交臂
6.反函数存在的条件是什么
〔----对应函数〕
求反函数的步骤掌握了吗
[①反解x;②互换x、y;③注明定义域〕
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看
这个例题:
(2004.全国理)函数〉=乂二1+10»1)的反函数是〔B〕
A.y=x—2x+2(X1)B.y-x2—2A+2(x»1)
C.y=x?—2x(X1)D.y=x?-2x(x,1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案
还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的
思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>=1.排除选项GD.现在看值域。原函数至于为y>=1,则
反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了,好似没有动笔〔除非你拿来写*书]。思路能不能明白呢
7.反函数的性质有哪些
反函数性质:
1'反函数的定义域是原函数的值域〔可扩展为反函数中的x对应原函数中的y〕
2、反函数的值域是原函数的定义域〔可扩展为反函数中的y对应原函数中的x〕
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称〔难怪点〔x,y〕和点〔y,X〕关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
[04.上海春季高考〕函数/(x)=log3(±+2),贝I]方程,T(X)=4的解x=.
X
8,若何用定义证明函数的单调性
〔取值、作差、判正负〕
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得xrX2,找出千(xD,f(x。之间的大小关系
可以变形为求/(苞)一/(马)的正负号或者必与1的关系
由一%2,(%2)
⑵参照图象:
①假宦函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有一样的单调性;
〔特例:奇函数〕
②假设函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单
调性。〔特例:偶函数〕
⑶利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当cVO时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;〔函数相加〕
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数正(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数门(2)与
f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;〔函数相乘〕
⑤函数f(x)与夫在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥假设函数u=。(x),x[a,B]与函数y=F(u),ue[(J)(a),。(B)]或uW[©(B),。(a)]同向
变化,则在[a,B]上复合函数y=F[®(x)]是递增的;假设函数u=(t>(x),x[a,B]与函数y=F(u),
ue[(f)(a),0(B)]或uG(B),0(a)]反向变化,则在[a,B]上复合函数y=F[©(x)]是递
减的。〔同增异减〕
⑦假设函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数X=fT(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性一样。
f(gg(xf[g(Xf(x)+g(f(x)*g(……〕
)))]x)X)都是9.若何利用导数判断函数
正数的单调性
增增增增增
如:已知a>0,函数f(x)=x3-axZ
增减减//
减增减//值是〔〕
减减增减减A.0
.,.a的最大值为3〕
10.函数f(x)具有奇偶性的必要〔非充分〕条件是什么
〔f(x)定义域关于原点对称〕
注意如下结论:
〔1〕在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与
奇函数的乘积是奇函数。
11.判断函数奇偶性的方法
定义域法
一个函数是奇〔偶〕函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇〔偶〕函数的必要条件.假设函数
的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二'奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算八-幻,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶
性.
三、复合函数奇偶性
f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g(12.你熟悉周期函数的定
)]x)x)义吗
奇奇奇奇偶函数,T是一个周期。〕
奇偶偶非奇非奇我们在做题的时候,经常
偶会遇到这样的情况:告诉
偶奇偶非奇非奇你f(x)+f(x+t)=0,我们
偶要马上反响过来,这时说
偶偶偶偶偶这个函数周期2t.推导:
/(x)+/(x+f)=O
/(X+/)+f(x+2/)=0
同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数
f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方,f(x)=f(2a-x),或者
说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
13.你掌握常用的图象变换了吗
f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称联想点〔x,y〕,(-x,y)
f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称联想点〔x,y〕,(x,-y)
f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称联想点[X,vI(-x,-y)
f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称联想点
〔x,y〕,(y,x)
f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称联想点〔x,y〕,(2a-x,y)
f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称联想点〔x,y〕,(2a-x,0)
〔这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实
基本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)若何由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的
坐标。看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。〕
注意如下“翻折〃变换:
14.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗
(1)一次函数:y=kx+b(kw0)(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:①“三个二次〃[二次函数'二次方程、二次不等式〕的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定〔动〕,对称轴动〔定〕的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质!〔注意底数的限定!〕
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么〔均值不等式一定要注意等号成立
的条件〕
15.你在基本运算上常出现错误吗
16.若何解抽象函数问题
〔赋值法、构造变换法〕
〔对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代丫=*,
2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、求奇偶性,令丫=—x;求单调性:令x+y=xi
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
尸[xj=kx["/0J------------------------f〔x±y]=六[*〕±f[y]
2.黑函数型的抽象函数
"x〕=x---------------大〔XV〕=尸〔X〕4v〕;”三〕
y/(>)
3.指数函数型的抽象函数
尸〔X〕=a------------------ftx+y}=f〔x〕大〔V〕;ftx-y}=芈?
f(y)
4.对数函数型的抽象函数
尸〔X〕=log,x〔a>0且a/1〕----尸〔X•V〕=分〔X〕+尸〔V〕;f[—]=尸〔X〕一“V〕
y
5.三角函数型的抽象函数
"x〕=tgx-------------------------f〔x+V〕=/")+">)
尸〔X〕=cotx---------------------------------------f[x+y]=/⑴/⑴T
/(x)+/(y)
例1函数齐〔X〕对任意实数X、y均有尸〔x+y〕="x〕+尸〔V〕,且当x>0时,尸(x)>0,f(一
1)=-2求Hx)在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数尸〔X〕在R上是增函数〔注意到尸〔X2〕=f[〔X2一用〕+%]=尸〔*2一用〕+f
〔必〕〕;再根据区间求其值域.
例2函数尸〔X〕对任意实数x、v均有尸〔x+y〕+2=〃x〕+尸〔)/〕,且当x>0时,式(x)>2,尸⑶
=5,求不等式“才一2a—2]<3的解.
分析:先证明函数尸〔外在R上是增函数〔仿例1〕;再求出尸〔1〕=3;最后脱去函数符号.
例3函数f[x]对任意实数X、y都有ftxy〕=尸〔x〕尸〔y〕,且尸〔一1〕=1,427]=9,
当0WxV1时,尸〔x〕W[0,1].
〔1〕判断4x〕的奇偶性;
〔2〕判断尸〔X〕在[0,+8]上的单调性,并给出证明;
〔3〕假设40且“a+1]・方,求a的取值范围.
分析:〔1〕令尸一1;
〔2〕利用“用〕="五•X2〕="五〕
x2x2
〔3〕0WaW2.
例4设函数尸〔外的定义域是〔一8,+8],满足条件:存在xHxz,使得大〔X〕W尸〔而〕;
对任何x和V,大〔x+力=尸〔*〕尸〔尸〕成立.求:
〔1〕40〕;
(2)对任意值x,判断{x〕值的符号.
分析:〔1〕令X=y=0;〔2〕令y=x手0.
例5是否存在函数”x〕,使以下三个条件:①4x〕>0,xG/V;②尸〔a+b〕=五〔a〕大〔b〕,a、
be/V;③42]=4.同时成立假设存在,求出尸〔外的解析式,假设不存在,说明理由.
分析:先猜出近〔*〕=2';再用数学归纳法证明.
例6设/'〔X〕是定义在〔0,+8〕上的单调增函数,满足尸〔X。V〕=”x〕+尸0〕,尸〔3〕
=1,求:
(1)”1〕;
(2)假设"x〕+尸〔x—8〕W2,求x的取值范围.
分析:〔1〕利用3=1X3;
〔2〕利用函数的单调性和关系式.
例7设函数_/="x〕的反函数是y=g〔x〕.如果"ab〕="a]+f[b],那么g〔a+b〕=
g〔a〕・g〔b〕是否正确,试说明理由.
分析:设"a〕=m,4b〕=n,则g〔m〕—a,gfri')=b,
进而〃=尸〔a〕+尸〔b〕=尸〔ab〕=f[g〔勿〕g〔〃〕]
例8函数尸〔X〕的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
①X、%是定义域中的数时,有大〔为一X?〕=幺辿&1里;
/(x2)-/(x,)
②尸〔a〕=一1〔a>0,a是定义域中的一个数〕;
③当OVxV2a时,"x〕<0.
试问:
(1)尸〔X〕的奇偶性若何说明理由;
(2)在〔0,4a〕上,”x〕的单调性若何说明理由.
分析:〔1〕利用f[-〔XL用〕]=~f[〔XLX2〕],判定4x〕是奇函数;
(3)先证明”x〕在〔0,2a〕上是增函数,再证明其在〔2a,4a〕上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数
问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进展适当变通,去寻
求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9函数尸〔X〕〔*于0〕满足五〔XV〕=”x〕+”V〕,
(1)求证:41〕=五〔一1〕=0;
(2)求证:尸〔X〕为偶函数;
(3)假设"x〕在〔0,+8〕上是增函数,解不等式“x〕+尸〔X—,〕W0.
2
分析:函数模型为:分X〕=1。43〔a>0〕
(1)先令x=r=1,再令x=y=-1;
(2)令y=-1;
(3)由“外为偶函数,则”切=尸〔3〕.
例10函数4x〕对一切实数x、y满足40〕H0,尸〔x+v〕=尸〔X〕•尸〔y〕,且当xVO时,f
〔X〕>1,求证:
(1)当x>0时,0V大〔X〕<1;
(2)4x〕在xGR上是减函数.
分析:〔1〕先令x=y=O得尸〔0〕=1,再令y=-x;
(3)受指数函数单调性的启发:
由尸〔x+v〕=”x〕"y〕可得v〕»
f(y)
进而由X〈X2,有)=<〔M_X2〕>1.
/(无2)
练习题:
1.:"x+v〕="x〕+尸〔V〕对任意实数X、y都成立,贝I]〔〕
〔4〕”0〕=0⑻”0]=1
〔口”0〕=0或1〔D〕以上都不对
2.假设对任意实数X、y总有尸〔处〕=尸〔的+尸〔内,则以下各式中错误的选项是〔〕
〔⑷”1〕=0〔B〕”与="x〕
X
〔c〕”日〕=”X〕一”团〔D〕“力="〔X〕〔〃GM
y
3.函数大〔x〕对一切实数x、y满足:尸〔0〕H0,大〔x+y〕=尸〔X〕尸〔y〕,且当xVO时,fix')>
1,则当x>0时,尸〔X〕的取值范围是〔〕
〔4〕〔1,+8〕〔B〕〔一8,1〕
〔C〕〔0,1〕〔D〕〔一1,+°°]
4.函数分〔X〕定义域关于原点对称,且对定义域内不同的X、%都有
尸〔为一X2J=-------:一,贝1]尸〔*〕为〔〕
i+/a)/(/)
〔⑷奇函数非偶函数〔B〕偶函数非奇函数
〔C〕既是奇函数又是偶函数〔D〕非奇非偶函数
5.不恒为零的函数”x〕对任意实数x、y满足{x+v〕+{x-y〕=2"〔x〕+"y〕],则函数
”〉〕是〔〕
〔4〕奇函数非偶函数〔B〕偶函数非奇函数
〔C〕既是奇函数又是偶函数〔D〕非奇非偶函数
参考答案:
1.A2.B3.C4.A5.B
函数典型考题
1.假设函数/(x)=。〃一1),+(m-2)x+(/"2-7加+12)为偶函数,则/”的值是(B)
A.1B.2C.3D,4
2.函数/(x)是定义域在R上的偶函数,且在区间(-8,0)上单调递减,求满足
f(x2+2x+3)>/(-X2-4X-5)的x的集合.
.解:/(x)在H上为偶函数,在(-8,0)上单调递减
/(X)在(0,+8)上为增函数又/(-x2-4X-5)=/(X2+4X+5)
j?+2x+3=(x+l>+2>0,f+4》+5=(》+2)2+i>。
由/(》2+2%+3)>/(%2+4》+5)得X2+2X+3>X2+4X+5
/.解集为{x|x<-l}.
3.假设y(x)是偶函数,它在[(),+0。)上是减函数,且/(IgdMD,则X的取值范围是(c)
111
A.(―-1)B.(0,—)(1,+00)C.(―,10)D.(0,1)0(10,+℃)
4.假设a、b是任意实数,且则(D)
A./>/B.^-<\CAg(a-b)>0
5.设a,b,c都是正数,且3a=4"=6"则以下正确的选项是(B)
(A)7=?+?⑻卷/⑹T
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