高中数学函数解题技巧方法总结高考

高中数学函数知识点总结

1.函数的三要素是什么若何比较两个函数是否一样

〔定义域、对应法则、值域〕

一样函数的判断方法：①表达式一样；②定义域一致(两点必须同时具备)

2.求函数的定义域有哪些常见类型

函数定义域求法：

•分式中的分母不为零；

•偶次方根下的数〔或式〕大于或等于零；

•指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数y=tanxxeR,且xNk兀、——,keZ

•余切函数y=cotx(xeR,且xwkr,keZ)

•反三角函数的定义域

r.«i

函数y=arcsinx的定义域是［—1,1］,值域是2'2,函数y=arccosx的定义域是［—1,1］,

值域是［0,n］,函数y=arctgx的定义域是R，值域是23.，函数y=arcctgx的定义域是R,

值域是(0,n).

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他

们的交集，就得到函数的定义域。

3.若何求复合函数的定义域

义域是______________。(答：［a,-a］)

复合函数定义域的求法：y=/(x)的定义域为［加,"］,求y=/卜(无)］的定义域，可由加<g(x)〈〃解出x

的范围，即为y=/［g(x)］的定义域。

例假设函数y=/(x)的定义域为；,2,则/(log2%)的定义域为。

分析：由函数y=/(x)的定义域为；,2可知：-<x<2；所以y=/(log2X)中有，<log2X<2。

_222

解：依题意知：<log2x<2

解之，得V2<x<4

/(log2X)的定义域为｛rIV2<X<4)

4、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些匕菌简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=:的值域

x

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例'求函数y=，-2x+5,xe［-1,2］的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用，但这类题型有时也可以用其他方

法进展化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=①上值域。

5x+6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单

调性，最常用的就是三角函数的单调性。

miex-12sin。-12sin6-1/±T

例求函数—,y=------y=----------kA的A值1域。

e+11+sin。1+cos0

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=245+10g,Hf〔2WxW10］的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+G7的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：点P〔x.y〕在圆x2+y-1上，

例求函数y=J(x—2)2+J(X+8)2的值域。

-Q0•2

解：原函数可化简得：y=|X-2|+Ix+8|

上式可以看成数轴上点P〔X〕到定点A〔2〕，B〔-8〕间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：［10,+8］

例求函数y=-6x+13++4x+5的值域

解：原函数可变形为：y=J(x—3)2+(0—2)2+&2)2+(0+1)2

上式可看成X轴上的点P〔X,0〕到两定点A〔3,2〕，BC-2,7〕的距离之和，由图可知当

点P为线段与x轴的交点时，ymin-IAB|"(3+2)2+(2+1)2:⑸

故所求函数的值域为［、由，+8〕。

注：求两距离之和时，要将函数

9、不等式法

利用基本不等式a+b22疝，a+b+c'33而〔a,b,cGR〕,求函数的最值，其题型特征解

析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平

方等技巧。

例：2

x2?H——(X>0)

10.倒数法X

有时，直接看不出

211J21-函数的

值域时，把它倒过=x+x+x-3rX7X7=3来之后，

你会发现另一番(应用公式a+b+c，3板无时，注意使3者的乘积变成常数)境况

例求函数

y=无亘的值域

x+3

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细'认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗

切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯

我当年的错误，与到手的总分值失之交臂

6.反函数存在的条件是什么

〔----对应函数〕

求反函数的步骤掌握了吗

［①反解x；②互换x、y；③注明定义域〕

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看

这个例题：

(2004.全国理)函数〉=乂二1+10»1)的反函数是〔B〕

A.y=x—2x+2(X1)B.y-x2—2A+2(x»1)

C.y=x?—2x(X1)D.y=x?-2x(x，1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案

还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的

思路：

原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>=1.排除选项GD.现在看值域。原函数至于为y>=1,则

反函数定义域为x>=1,答案为B.

我题目已经做完了，好似没有动笔〔除非你拿来写*书］。思路能不能明白呢

7.反函数的性质有哪些

反函数性质：

1'反函数的定义域是原函数的值域〔可扩展为反函数中的x对应原函数中的y〕

2、反函数的值域是原函数的定义域〔可扩展为反函数中的y对应原函数中的x〕

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称〔难怪点〔x,y〕和点〔y,X〕关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

［04.上海春季高考〕函数/(x)=log3(±+2),贝I］方程，T(X)=4的解x=.

X

8,若何用定义证明函数的单调性

〔取值、作差、判正负〕

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得xrX2,找出千(xD,f(x。之间的大小关系

可以变形为求/(苞)一/(马)的正负号或者必与1的关系

由一%2,(%2)

⑵参照图象：

①假宦函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有一样的单调性；

〔特例：奇函数〕

②假设函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单

调性。〔特例：偶函数〕

⑶利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当cVO时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x),f2(x)同向变化，则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化；〔函数相加〕

④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化，则函数正(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数门(2)与

f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；〔函数相乘〕

⑤函数f(x)与夫在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥假设函数u=。(x),x［a,B］与函数y=F(u),ue［(J)(a),。(B)］或uW［©(B),。(a)］同向

变化，则在［a,B］上复合函数y=F［®(x)］是递增的；假设函数u=(t>(x),x［a,B］与函数y=F(u),

ue［(f)(a),0(B)］或uG(B),0(a)］反向变化，则在［a,B］上复合函数y=F［©(x)］是递

减的。〔同增异减〕

⑦假设函数y=f(x)是严格单调的，则其反函数X=fT(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性一样。

f(gg(xf[g(Xf(x)+g(f(x)*g(……〕

)))]x)X)都是9.若何利用导数判断函数

正数的单调性

增增增增增

如：已知a>0,函数f(x)=x3-axZ

增减减//

减增减//值是〔〕

减减增减减A.0

.,.a的最大值为3〕

10.函数f(x)具有奇偶性的必要〔非充分〕条件是什么

〔f(x)定义域关于原点对称〕

注意如下结论：

〔1〕在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与

奇函数的乘积是奇函数。

11.判断函数奇偶性的方法

定义域法

一个函数是奇〔偶〕函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇〔偶〕函数的必要条件.假设函数

的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二'奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算八-幻，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶

性.

三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g(12.你熟悉周期函数的定

)]x)x)义吗

奇奇奇奇偶函数，T是一个周期。〕

奇偶偶非奇非奇我们在做题的时候，经常

偶会遇到这样的情况：告诉

偶奇偶非奇非奇你f(x)+f(x+t)=0,我们

偶要马上反响过来，这时说

偶偶偶偶偶这个函数周期2t.推导：

/(x)+/(x+f)=O

/(X+/)+f(x+2/)=0

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数

f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方，f(x)=f(2a-x),或者

说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

13.你掌握常用的图象变换了吗

f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称联想点〔x,y〕,(-x,y)

f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称联想点〔x,y〕，(x,-y)

f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称联想点［X,vI(-x,-y)

f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称联想点

〔x,y〕，(y,x)

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称联想点〔x,y〕,(2a-x,y)

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称联想点〔x,y〕，(2a-x,0)

〔这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实

基本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)若何由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的

坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。〕

注意如下“翻折〃变换：

14.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗

(1)一次函数：y=kx+b(kw0)(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

的双曲线。

应用：①“三个二次〃［二次函数'二次方程、二次不等式〕的关系——二次方程

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定〔动〕，对称轴动〔定〕的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！〔注意底数的限定！〕

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么〔均值不等式一定要注意等号成立

的条件〕

15.你在基本运算上常出现错误吗

16.若何解抽象函数问题

〔赋值法、构造变换法〕

〔对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代丫=*,

2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令丫=—x；求单调性：令x+y=xi

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

尸[xj=kx["/0J------------------------f〔x±y]=六[*〕±f[y]

2.黑函数型的抽象函数

"x〕=x---------------大〔XV〕=尸〔X〕4v〕；”三〕

y/(>)

3.指数函数型的抽象函数

尸〔X〕=a------------------ftx+y}=f〔x〕大〔V〕；ftx-y}=芈?

f(y)

4.对数函数型的抽象函数

尸〔X〕=log,x〔a>0且a/1〕----尸〔X•V〕=分〔X〕+尸〔V〕；f[—]=尸〔X〕一“V〕

y

5.三角函数型的抽象函数

"x〕=tgx-------------------------f〔x+V〕=/")+">)

尸〔X〕=cotx---------------------------------------f[x+y]=/⑴/⑴T

/(x)+/(y)

例1函数齐〔X〕对任意实数X、y均有尸〔x+y〕="x〕+尸〔V〕，且当x>0时，尸(x)>0,f(一

1)=-2求Hx)在区间[-2,1]上的值域.

分析：先证明函数尸〔X〕在R上是增函数〔注意到尸〔X2〕=f[〔X2一用〕+%]=尸〔*2一用〕+f

〔必〕〕；再根据区间求其值域.

例2函数尸〔X〕对任意实数x、v均有尸〔x+y〕+2=〃x〕+尸〔)/〕，且当x>0时，式(x)>2,尸⑶

=5,求不等式“才一2a—2]<3的解.

分析：先证明函数尸〔外在R上是增函数〔仿例1〕；再求出尸〔1〕=3；最后脱去函数符号.

例3函数f[x]对任意实数X、y都有ftxy〕=尸〔x〕尸〔y〕，且尸〔一1〕=1,427]=9,

当0WxV1时,尸〔x〕W[0,1].

〔1〕判断4x〕的奇偶性；

〔2〕判断尸〔X〕在[0,+8]上的单调性，并给出证明；

〔3〕假设40且“a+1]・方，求a的取值范围.

分析：〔1〕令尸一1;

〔2〕利用“用〕="五•X2〕="五〕

x2x2

〔3〕0WaW2.

例4设函数尸〔外的定义域是〔一8,+8]，满足条件：存在xHxz,使得大〔X〕W尸〔而〕；

对任何x和V,大〔x+力=尸〔*〕尸〔尸〕成立.求：

〔1〕40〕；

(2)对任意值x,判断｛x〕值的符号.

分析：〔1〕令X=y=0；〔2〕令y=x手0.

例5是否存在函数”x〕，使以下三个条件：①4x〕＞0,xG/V；②尸〔a+b〕=五〔a〕大〔b〕，a、

be/V;③42]=4.同时成立假设存在，求出尸〔外的解析式，假设不存在，说明理由.

分析：先猜出近〔*〕=2'；再用数学归纳法证明.

例6设/'〔X〕是定义在〔0,+8〕上的单调增函数，满足尸〔X。V〕=”x〕+尸0〕，尸〔3〕

=1,求：

(1)”1〕；

(2)假设"x〕+尸〔x—8〕W2,求x的取值范围.

分析：〔1〕利用3=1X3；

〔2〕利用函数的单调性和关系式.

例7设函数_/="x〕的反函数是y=g〔x〕.如果"ab〕="a]+f[b],那么g〔a+b〕=

g〔a〕・g〔b〕是否正确，试说明理由.

分析：设"a〕=m,4b〕=n,则g〔m〕—a,gfri')=b,

进而〃=尸〔a〕+尸〔b〕=尸〔ab〕=f[g〔勿〕g〔〃〕]

例8函数尸〔X〕的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①X、%是定义域中的数时，有大〔为一X?〕=幺辿&1里；

/(x2)-/(x,)

②尸〔a〕=一1〔a＞0,a是定义域中的一个数〕；

③当OVxV2a时，"x〕＜0.

试问：

(1)尸〔X〕的奇偶性若何说明理由；

(2)在〔0,4a〕上，”x〕的单调性若何说明理由.

分析：〔1〕利用f[-〔XL用〕]=~f[〔XLX2〕],判定4x〕是奇函数；

(3)先证明”x〕在〔0,2a〕上是增函数，再证明其在〔2a,4a〕上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数

问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进展适当变通，去寻

求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9函数尸〔X〕〔*于0〕满足五〔XV〕=”x〕+”V〕，

(1)求证：41〕=五〔一1〕=0；

(2)求证：尸〔X〕为偶函数；

(3)假设"x〕在〔0,+8〕上是增函数，解不等式“x〕+尸〔X—,〕W0.

2

分析：函数模型为：分X〕=1。43〔a＞0〕

(1)先令x=r=1,再令x=y=-1；

(2)令y=-1；

(3)由“外为偶函数，则”切=尸〔3〕.

例10函数4x〕对一切实数x、y满足40〕H0,尸〔x+v〕=尸〔X〕•尸〔y〕，且当xVO时，f

〔X〕＞1,求证：

(1)当x＞0时，0V大〔X〕＜1；

(2)4x〕在xGR上是减函数.

分析：〔1〕先令x=y=O得尸〔0〕=1,再令y=-x；

(3)受指数函数单调性的启发：

由尸〔x+v〕=”x〕"y〕可得v〕»

f(y)

进而由X〈X2,有)=<〔M_X2〕>1.

/(无2)

练习题：

1.："x+v〕="x〕+尸〔V〕对任意实数X、y都成立，贝I］〔〕

〔4〕”0〕=0⑻”0］=1

〔口”0〕=0或1〔D〕以上都不对

2.假设对任意实数X、y总有尸〔处〕=尸〔的+尸〔内，则以下各式中错误的选项是〔〕

〔⑷”1〕=0〔B〕”与="x〕

X

〔c〕”日〕=”X〕一”团〔D〕“力="〔X〕〔〃GM

y

3.函数大〔x〕对一切实数x、y满足：尸〔0〕H0,大〔x+y〕=尸〔X〕尸〔y〕，且当xVO时，fix')>

1,则当x>0时，尸〔X〕的取值范围是〔〕

〔4〕〔1,+8〕〔B〕〔一8,1〕

〔C〕〔0,1〕〔D〕〔一1,+°°］

4.函数分〔X〕定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X、％都有

尸〔为一X2J=-------:一,贝1］尸〔*〕为〔〕

i+/a)/(/)

〔⑷奇函数非偶函数〔B〕偶函数非奇函数

〔C〕既是奇函数又是偶函数〔D〕非奇非偶函数

5.不恒为零的函数”x〕对任意实数x、y满足{x+v〕+{x-y〕=2"〔x〕+"y〕］,则函数

”〉〕是〔〕

〔4〕奇函数非偶函数〔B〕偶函数非奇函数

〔C〕既是奇函数又是偶函数〔D〕非奇非偶函数

参考答案：

1.A2.B3.C4.A5.B

函数典型考题

1.假设函数/(x)=。〃一1)，+(m-2)x+(/"2-7加+12)为偶函数，则/”的值是(B)

A.1B.2C.3D,4

2.函数/(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递减，求满足

f(x2+2x+3)>/(-X2-4X-5)的x的集合.

.解：/(x)在H上为偶函数，在(-8,0)上单调递减

/(X)在(0,+8)上为增函数又/(-x2-4X-5)=/(X2+4X+5)

j?+2x+3=(x+l>+2>0,f+4》+5=(》+2)2+i>。

由/(》2+2%+3)>/(%2+4》+5)得X2+2X+3>X2+4X+5

/.解集为{x|x<-l}.

3.假设y(x)是偶函数，它在[(),+0。)上是减函数，且/(IgdMD,则X的取值范围是(c)

111

A.(―-1)B.(0,—)(1,+00)C.(―,10)D.(0,1)0(10,+℃)

4.假设a、b是任意实数，且则(D)

A./>/B.^-<\CAg(a-b)>0

5.设a,b,c都是正数，且3a=4"=6"则以下正确的选项是(B)

(A)7=?+?⑻卷/⑹T