高中数学北师大版讲义(必修二)第03讲1.3弧度制4种常见考法归类(学生版+解析)

1.3弧度制4种常见考法归类课程标准学习目标了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定基础.知识点01度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad注：正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化【即学即练1】下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关知识点02弧度数的计算1．正角：正角的弧度数是一个正数．2．负角：负角的弧度数是一个负数．3．零角：零角的弧度数是0．4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．【即学即练2】时间经过4小时，分针转的弧度数为（）A． B． C． D．【即学即练3】角为2弧度角的终边在第_______象限．（）A．一 B．二 C．三 D．四知识点03角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈1rad＝180π°≈度数×π180弧度数×180π注：角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．(3)特殊角的度数与弧度数的对应表：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即学即练4】把化成角度是（）A． B． C． D．【即学即练5】（多选）下列转化结果正确的是A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【即学即练6】将改写成的形式是（）A． B． C． D．知识点04扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则1．弧长公式：l＝α·R．2．扇形面积公式：S＝12lR＝12α·【即学即练7】若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练8】半径为10cm，弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度 【即学即练9】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A． B．C． D．题型一：角度与弧度的换算例1.（2023·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3变式1.（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【方法技巧与总结】进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．题型二：用弧度制表示角的集合例2.与终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．变式1.（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知.(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与终边相同的角，满足．变式2.（2023·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为．例3.（2023上·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：(1)

(2)

变式1.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【方法技巧与总结】(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．题型三：弧长公式和扇形面积公式的应用例4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（）A． B． C． D．变式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为.变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为，弧长为.变式3.（2023下·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（

）A． B． C． D．变式4.（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．变式5.如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（）A．84 B．63 C．42 D．21变式6.（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为．

【方法技巧与总结】弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．题型四：扇形中的最值问题例5.（2023下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60cm，那么扇形的最大面积为.变式1.（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.变式2.（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．变式3.（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．一、单选题1．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）将化为弧度是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全国·高一专题练习）若，则角的终边所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关4．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（

）A． B． C． D．5．（2024上·山西忻州·高一校联考期末）已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（

）A．3 B．2 C． D．6．（2024上·山东济南·高一统考期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（

）A． B． C． D．7．（2024上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为（

）A．1 B．2 C． D．8．（2024上·青海西宁·高一统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积为多少？（

）A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步9．（2024上·云南·高一统考期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（

）

A． B． C． D．10．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2024上·河南新乡·高一统考期末）若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（

）A．2 B．4 C．5 D．1012．（2023·全国·高一课堂例题）下列各角中，与角终边相同的角为（

）A． B． C． D．13．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）下列各组角终边相同的一组是（

）A．， B．，C．， D．，14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（

）A．该扇形面积的最小值为8B．当扇形周长最小时，其圆心角为2C．的最小值为9D．的最小值为15．（2024上·吉林长春·高一吉林省实验校考期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为三、填空题16．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为．17．（2024上·广东深圳·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．18．（2024上·陕西安康·高一校考期末）若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为.19．（2024上·山东烟台·高一统考期末）已知某扇形的面积为，圆心角的弧度数为，则该扇形的周长为．20．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为．四、解答题21．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角．(1)求弧长；(2)求花坛的面积．22．（2023上·广西河池·高一校联考阶段练习）某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形面积；(3)分针尖端所走过的弧长（取3.14，计算结果精确到0.01）．23．（2021·高一课时练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．24．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知扇形的半径，周长为，(1)求扇形的面积；(2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角.1.3弧度制4种常见考法归类课程标准学习目标了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定基础.知识点01度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad注：正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化【即学即练1】下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；1rad的角是，故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D知识点02弧度数的计算1．正角：正角的弧度数是一个正数．2．负角：负角的弧度数是一个负数．3．零角：零角的弧度数是0．4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．【即学即练2】时间经过4小时，分针转的弧度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分针按顺时针方向转了4圈，求出分针转过的弧度数即可【详解】根据分针经过4小时，分针按顺时针方向转了4圈，所以分针转过的弧度数为故选：D【即学即练3】角为2弧度角的终边在第_______象限．（）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根据题意得到2弧度，再判断象限即可.【详解】2弧度，为第二象限角.故选：B知识点03角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈1rad＝180π°≈度数×π180弧度数×180π注：角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．(3)特殊角的度数与弧度数的对应表：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即学即练4】把化成角度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧度和角度的关系，即得解【详解】由题意，故选：B【即学即练5】（多选）下列转化结果正确的是A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项.【详解】对于A,,正确;对于B,,正确;对于C,,错误;对于D,,正确.故选ABD【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位,属于基础题.【即学即练6】将改写成的形式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，再转化为弧度即可.【详解】因为，所以转化弧度为.故选：C知识点04扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则1．弧长公式：l＝α·R．2．扇形面积公式：S＝12lR＝12α·【即学即练7】若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.【详解】设该扇形半径为，又∵圆心角，弧长，∴扇形弧长公式可得，，解得，.故选：B.【即学即练8】半径为10cm，弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度【答案】C【分析】利用扇形圆心角的公式求解.【详解】设弧所对的圆心角为，则弧度.故选：C 【即学即练9】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为扇形面积为，半径是1，S=l·r，所以扇形的弧长为，因为l=|α|r，所以扇形的圆心角为．故选C．【名师点睛】在应用弧长公式l=|α|r及扇形面积公式S=l·r时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．题型一：角度与弧度的换算例1.（2023·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3【答案】(1)-15°(2)135°(3)210°(4)-171°54′【分析】根据弧度制的定义，可得答案.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.变式1.（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.【方法技巧与总结】进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．题型二：用弧度制表示角的集合例2.与终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．与终边相同的角可以写成的形式，时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．故选：D．变式1.（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知.(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与终边相同的角，满足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【分析】（1）利用，将角度值化为弧度制，并得到所在象限；（2）由，根据的范围求出的值，从而可求解.【详解】（1）因为,，所以.因为，所以是第四象限角.（2），所以与终边相同的角可表示为,令，解得，所以.当时，；当时，.所以或.变式2.（2023·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为．【答案】【分析】由任意角与弧度制的定义求解，【详解】由题意得与轴的夹角为，故终边在直线上的角的集合为，故答案为：例3.（2023上·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式.【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，，所以终边在阴影部分的角的集合为.（2）边界对应射线所在终边的角分别为，，，，所以终边在阴影部分的角的集合为变式1.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.【方法技巧与总结】(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．题型三：弧长公式和扇形面积公式的应用例4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得.【详解】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，则由扇形面积公式得：，而，解得，所以该扇形所在圆的半径为2.故选：B变式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为.【答案】/【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．【详解】，，故答案为：.变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为，弧长为.【答案】/1.5【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形AOB的面积为，圆心角为，由扇形的面积，可得：，解得：，可得扇形的弧长.故答案为：；．变式3.（2023下·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以，则扇形的周长为.故选：C变式4.（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.故选：D.变式5.如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【分析】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，依题意可得且，解得、，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.故选：D．变式6.（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为．

【答案】【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，取的中点，连接，如下图所示：

因为，则，又因为，则，所以，，，则，所以，，因此，弧田的面积为.故答案为：.【方法技巧与总结】弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．题型四：扇形中的最值问题例5.（2023下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60cm，那么扇形的最大面积为.【答案】225【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：，当时，取得最大值，最大值为，所以扇形面积的最大值为.故答案为：225.变式1.（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.【答案】2【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，所以扇形面积，所以当时，取得最大值为，此时，所以圆心角为（弧度）.故答案为：2变式2.（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【答案】(1)(2)扇形周长的最小值为，此时【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；（2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以扇形的弧长；（2）由扇形面积，得，则扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，，所以，所以扇形周长的最小值为，此时.变式3.（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．（2）依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．一、单选题1．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）将化为弧度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧度和角度的互化公式求出答案.【详解】.故选：B2．（2023上·全国·高一专题练习）若，则角的终边所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【答案】D【分析】根据各个象限角的范围，再结合条件即可判断出结果.【详解】因为，所以是第一象限角，故选：D.3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误.【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确；当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误.故选：B4．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案.【详解】150分钟后是7：00整，时针指向9，分针指向12，所以．故选：B．5．（2024上·山西忻州·高一校联考期末）已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面积公式计算可得答案.【详解】设该扇形的圆心角为，则，解得．故选：C.6．（2024上·山东济南·高一统考期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面积公式可求出扇环的面积，即可得解.【详解】由题意可知，扇环的面积为.故选：C.7．（2024上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积．【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的周长为，可得，所以，，故该扇形的面积为．故选：A.8．（2024上·青海西宁·高一统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积为多少？（

）A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步【答案】B【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得答案.【详解】因为扇形田的弧长30步，其所在圆的直径是16步，根据扇形的面积公式可得这块田的面积（平方步）.故选：B9．（2024上·云南·高一统考期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面积公式计算即可.【详解】设，则扇面的面积.故选：C10．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解即可.【详解】因为，，所以，所以,由扇形面积公式可得扇环形砖雕的面积为：，故选：A二、多选题11．（2024上·河南新乡·高一统考期末）若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（

）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】BC【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可.【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5.故选：BC12．（2023·全国·高一课堂例题）下列各角中，与角终边相同的角为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由，，得与终边相同的角为，，逐一判断各选项即可.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，与终边相同的角为，，当时，，故B正确；对于C，令，解得，故C错误；对于D，令，解得，故D错误．故选：AB.13．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）下列各组角终边相同的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【分析】根据终边相同角的概念判断即可.【详解】对于A：因为，所以与终边相同，故A正确；对于B：，，所以与的终边相同，故B正确；对于C：，即的终边与的终边相同，，，所以与的终边不相同，即与的终边不相同，故C错误；对于D：，所以与的终边相同，故D正确；故选：ABD14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（

）A．该扇形面积的最小值为8B．当扇形周长最小时，其圆心角为2C．的最小值为9D．的最小值为【答案】BCD【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解.【详解】由题意，知，则，所以扇形面积，当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；扇形周长为，当且仅当，即时，等号成立，此时，圆心角为，选项B正确；，当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；,当时，上式取得最小值为，选项D正确.故选：BCD.15．（2024上·吉林长春·高一吉林省实验校考期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为【答案】ACD【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可.【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为,所以，故A正确；对于B，若，则，又，则，故B错误；对于C，若，所以，故C正确；对于D,若，，又，所以，故D正确，故选：ACD.三、填空题16．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为．【答案】【分析】根据已知条件，结合“密位制”的定义，即可求解．【详解】一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为．故答案为：．17．（2024上·广东深圳·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇