陕西省西安市高新第一中学2025-2025学年高二上学期期末考试数学试题

陕西省西安市高新第一中学2025-2025学年高二上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二〔1〕班一、选择题〔每题5分，共20分〕要求：在以下各题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.知晓函数f(x)=x^3-3x+1，那么f(x)的图像大致为〔〕A.图像开口向上，有3个零点B.图像开口向下，有1个零点C.图像开口向上，有1个零点D.图像开口向下，有3个零点2.知晓等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3+a5=6，a2+a4+a6=9，那么数列{an}的公差d为〔〕A.1B.2C.3D.43.知晓复数z=a+bi〔a，b∈R〕，假设|z-1|=|z+1|，那么复数z的实部a等于〔〕A.0B.1C.-1D.24.知晓函数f(x)=x^2-2ax+b，假设f(1)=0，f(2)=0，那么f(x)的图像大致为〔〕A.图像开口向上，有2个零点B.图像开口向下，有1个零点C.图像开口向上，有1个零点D.图像开口向下，有3个零点5.知晓等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，q=2，那么数列{an}的第5项an等于〔〕A.16B.32C.64D.1286.知晓复数z=a+bi〔a，b∈R〕，假设arg(z)=π/2，那么复数z的虚部b等于〔〕A.0B.1C.-1D.2二、填空题〔每题5分，共20分〕要求：直接写出答案。1.知晓等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，那么数列{an}的第10项an等于__________。2.知晓复数z=1+i，那么|z|^2=__________。3.知晓函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(1)+f(2)+f(3)=__________。4.知晓等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，那么数列{an}的前5项和S5=__________。5.知晓复数z=1-i，那么arg(z)=__________。6.知晓函数f(x)=x^3-3x+1，那么f'(x)=__________。三、解答题〔每题10分，共20分〕要求：解答以下各题。1.知晓函数f(x)=(x-1)^2+2，求f(x)的极值点及对应的极值。2.知晓等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求该数列的前10项和S10。四、证明题〔每题10分，共20分〕要求：证明以下各题。1.证明：假设等差数列{an}的首项a1>0，公差d>0，那么该数列的各项均为正数。2.证明：假设等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，那么该数列的各项均为正数。五、计算题〔每题10分，共20分〕要求：计算以下各题。1.计算定积分I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx。2.计算二项式展开式(2x+3)^4中x^3的系数。六、应用题〔每题10分，共20分〕要求：根据以下条件解答问题。1.一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，刹车后每秒减速2千米/小时。求汽车从刹车到停止所需的时间。2.一个圆锥的底面半径为r，高为h，且底面周长为C。求圆锥的体积V。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：f(x)=x^3-3x+1，求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(x)在x=-1时取得极大值，在x=1时取得极小值，因此图像开口向上，有1个零点。2.B解析：由等差数列的性质，a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d，代入a1+a3+a5=6和a2+a4+a6=9，解得d=2。3.A解析：由复数的模长性质，|z-1|=|z+1|，即|z|^2-2|z|+1=|z|^2+2|z|+1，解得|z|=0，因此a=0。4.A解析：f(x)=x^2-2ax+b，f(1)=0，f(2)=0，代入得a=1，b=1，因此f(x)=(x-1)^2+1，图像开口向上，有2个零点。5.B解析：an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=2，n=5，得an=2^4=16。6.C解析：由arg(z)=π/2，可知z在复平面上位于虚轴正半轴，因此b=|z|=1。二、填空题1.31解析：an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an=2+(10-1)*3=31。2.2解析：|z|^2=(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2。3.6解析：f(x)=x^2-4x+3，f(1)=1-4+3=0，f(2)=4-8+3=-1，f(3)=9-12+3=0，因此f(1)+f(2)+f(3)=0+(-1)+0=-1。4.31解析：S5=a1*(1-q^5)/(1-q)，代入a1=1，q=2，得S5=1*(1-2^5)/(1-2)=31。5.π/2解析：由arg(z)=π/2，可知复数z位于虚轴正半轴，因此arg(z)=π/2。6.3x^2-3解析：f(x)=x^3-3x+1，求导得f'(x)=3x^2-3。三、解答题1.解析：f(x)=(x-1)^2+2，求导得f'(x)=2(x-1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=2，因此极值点为x=1，对应的极值为2。2.解析：an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得an=3+(10-1)*2=21，S10=n/2*(a1+an)=10/2*(3+21)=120。四、证明题1.解析：假设存在某项an≤0，那么a1+(n-1)d≤0，与首项a1>0矛盾，因此数列{an}的各项均为正数。2.解析：假设存在某项an≤0，那么a1*q^(n-1)≤0，与首项a1>0矛盾，因此数列{an}的各项均为正数。五、计算题1.解析：I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx=[x^3-x^2+x]from0to1=(1-1+1)-(0-0+0)=1。2.解析：展开式(2x+3)^4=16x^4+96x^3+216x^2+216x+81，x^3的系数为96。六、应用题1.解析：设汽车从刹车到停止所需的时间为t秒，根据题意有60-2t=0，解得t=30秒。2.解析：圆锥的体积V=(1/3)πr^2h，底面周长C=2πr，得r=C/(2π)，代入体积公式得V=(1/3)π(C^2/(4π^2))(h)=C^2h/(12π)。本次试卷答案如下：四、证明题1.解析：假设存在某项an≤0，那么a1+(n-1)d≤0。由于首项a1>0，且公差d>0，这意味着随着n的增加，an应该逐渐增大。因此，不可能存在an≤0的情况，这与假设矛盾。因此，数列{an}的各项均为正数。2.解析：假设存在某项an≤0，那么a1*q^(n-1)≤0。由于首项a1>0，且公比q>1，这意味着随着n的增加，q^(n-1)会变得越来越大，因此an也应该逐渐增大。这与an≤0矛盾，因此数列{an}的各项均为正数。五、计算题1.解析：计算定积分I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx，首先对被积函数进行积分：I=∫(3x^2-2x+1)dx=∫3x^2dx-∫2xdx+∫1dx=x^3-x^2+x+C然后计算定积分的值，代入上限和下限：I=[x^3-x^2+x]from0to1=(1^3-1^2+1)-(0^3-0^2+0)=1-1+1=1。2.解析：计算二项式展开式(2x+3)^4中x^3的系数，使用二项式定理：(2x+3)^4=∑(k=0to4)C(4,k)*(2x)^k*3^(4-k)其中C(4,k)是组合数，表示从4个不同元素中选择k个元素的组合数。要找到x^3的系数，我们需要k=3，因为(2x)^3将产生x^3项：C(4,3)*(2x)^3*3^(4-3)=4*8x^3*3=96x^3因此，x^3的系数是96。六、应用题1.解析：汽车以60千米/小时的速度行驶，刹车后每秒减速2千米/小时。设汽车从刹车到停止所需的时间为t秒，那么汽车在t秒后的速度为60-2t千米/小时。由于汽车最终停止，其速度为0，我们可以建立以下方程：60-2t=0解得t=30秒。因此，汽车从刹车到停止所需的时间是30秒。2.解析：圆锥的底面周长C=2πr，其中r是底面半径。由C=2πr，可以解出r：r=C/(2π)圆锥的体积V=(1/3)πr^2h，其中h是圆锥的高。由于题目没有给出h的具体值，我们可以用C来表示h，因为底面周长C与高h成正比。设圆锥的高为h，那么有：h