专题13配凑法-教师版

专题13配凑法考向考向一解决最值问题【方法储备】用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或分类讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性.答题思路1：“配系数”使和式为定值系数配凑法大多用于形如ab的积的形式，通过系数配凑，使ab=1kkab,且答题思路2：“配项”使积式为定值（1）拆项配凑法大多用于形如a+b的和的形式，通过拆项，使a+b=a（2）添项配凑大多用于形如1a+1b的形式，若a+b为定值k，通过添加项（3）有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积.【典例精讲】例1.(2023·浙江省·联考题)若实数m>0，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有(

)A.mn的最小值为18 B.nm+1n的最小值为1+22

C.3解：因为2m+n=1，4m2+n2=2m+n2−4mn，

又因为2m+n⩾22mn，即mn⩽18，

当且仅当n=2m=12时等号成立，故A错误；

得到4m2+n22⩾(2m+n2)2=14，即4m2+n2⩾12，

当且仅当n=2m=12【拓展提升】练11(2023·天津市·月考试卷)已知实数a>b>0，当2a+b+1a−b+4a+2b取得最小值时，则ab的值为解：根据题意可得，2a+b+1a−b因

a>b>0

，所以

a−b>0

，

a+2b>0

，所以

a−b+即

2a+b+1a−b当且仅当

a−b=1a−b此时

a−b=1a+2b=2

，解得

a=43b=13故答案为：

4.练12(2023·天津市·期末考试)已知a>0，b>0，且1a+2+2b=23，则2a+b的最小值为

．

解：因为a>0，b>0，且1a+2=32(4+ba+2+4(a+2)b)−4≥32(4+2ba+2⋅4a+8b)−4=8练13(2023·山东省济宁市·模拟题)已知函数y=ax−1(a>0且a≠1)的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny=8(m>0,n>0)上，则8mn−32m的最小值是

．

解：函数y=ax−1(a>0且a≠1)的图象过定点A1,1，

因为点A在直线mx+2ny=8(m>0,n>0)上，

所以m+2n=8，所以2n=8−m，

由m>02n=8−m>0，得0<m<8，

则8mn−32m=16m(8−m)−32m

=32−3(8−m)2m(8−m)=3m+8−2m2+16m，

令t=3m+8，则考向二考向二解决化简求值问题【方法储备】配凑法解决化简求值问题的常用策略：1.把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件2.把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论3.把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式【典例精讲】例2.(2023·四川省·月考)已知sin(x+π6)=7210,x∈(π2,π)．解：(1)∵x∈(π2,π)，所以x+π6∈(=7210=2sin(x+π6【拓展提升】练21(2023·陕西省·联考)sin10°sin50°sin70°=

．解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=8sin20∘cos20∘cos40∘cos80∘8sin20练22(2023·湖北省·月考)已知x+x−1=4，(0<x<1)，则x2−A.6 B.6 C.−42 D.解：∵x+x−1=4，(0<x<1)，则x<x−x−1=−x−x−12=−x+练23(2023·湖北省·联考)若(2x+1)8=aA.56 B.448 C.−56 D.−448解：(2x+1)8=[2(x+1)−1]8，

故系数a3=23×(−1考向三构造数列【方法储备】考向三构造数列应用配凑法构造数列的常见类型：1.对于形如an+1=kan+b的数列，配凑成a2.对于形如an+1=kan+bn+m的数列，配凑成a3.对于形如an+1=kan+kn的数列，配凑成a4.对于形如an+1=kan+bn的数列，配凑成an+1bn+1=k注意：1.k,b,m等都是常数,但是注意k不能为1,k为1的时候就会变为等差数列或者累加法求解;2.待定系数法求出之后,为了避免出错,尽量把以什么为首项,什么为公差或公比写出来;3.还有一些不常见的构造数列,碰到的话要大胆猜测,仔细验证.【典例精讲】例3.(2023·江苏省·模拟)已知首项为1的正项数列an满足an+12an2+4naA.64 B.60 C.48 D.32解：由题意得，n+1an+1=2an2+4nan+n2an2=(nan)2+4⋅nan+2，∴n+1an+1+2=(nan+2)2．【拓展提升】练31(2023·福建省·模拟)（多选）已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=A.数列{an+an+1}为等比数列 B.数列{a解：an=an−1+2an−2，an+an−1=2an−1+2an−2=2(an−1+an−2)(n≥3)，

因为a1=a2=1，所以a3=a1+2a2=3，a3+a2=4=2(a2+aS20=a1+a2+…+a练32(2023·山东省·联考)已知数列{an}满足an=2an−1