第25单元03巩固练

第二十五单元概率初步（单元测）一、选择题（共30分，每个题3分）1.下列事件中，是必然事件的是（）A.水中捞月 B.水涨船高 C.守株待兔 D.百步穿杨【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；B、水涨船高，必然事件，符合题意；C、守株待兔，是随机事件，不符合题意；D、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解其区别是解题的关键．2.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小红为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小红共摸了1000次，其中有202次摸到白球，因此小红估计口袋中的红球有（）A.60个 B.50个 C.40个 D.30个【答案】C【解析】【分析】小亮共摸了1000次，其中202次摸到白球，则有798次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为；即可计算出红球数．【详解】解：∵小亮共摸了1000次，其中202次摸到白球，则有798次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为，∵白球有10个，∴红球有（个），故选：C．【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键点是由频率得出两种球的比．3.下列说法中正确的是（）A.小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件B.确定事件发生的概率是1C.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格【答案】A【解析】【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可．【详解】解：A.小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意；B.确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意；C.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意；D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系．4.不透明的袋中有40个除颜色外完全相同的小球，其中一部分为白色，另一部分为红色．每次随机地从袋中摸1个球，统计所摸到小球的颜色后，放回搅匀再摸，重复这个过程多次后得到下表中数据．摸球次数40120200280360400出现红色的次数14387296126140出现红色的频率（精确到0.01）35%32%36%34%35%35%根据表中的数据，可以估计出袋中红球的个数约为（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】C【解析】【分析】先根据表格判断出摸到红球的概率，然后用总数乘概率计算红球个数即可．【详解】解：由表格可知摸到红球的概率为，∴红球的个数．故选：C．【点睛】本题主要考查概率的估算，能够根据频率估算概率是解题的关键．5.重复抛掷一枚各面上点数分别是1，2，3，4，5，6的均匀骰子，记录每次抛掷后骰子向上一面的点数，小亮记录下的实验结果情况如图所示，那么小亮记录的实验是（）A.抛掷骰子后，点数为偶数 B.抛掷骰子后，点数大于3C.抛掷骰子后，点数为3 D.抛掷骰子后，点数为3的倍数【答案】D【解析】【分析】据统计图可知，试验结果在附近波动，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．【详解】解：由图可知：小亮记录实验的频率稳定在左右，A、抛掷骰子后，点数为偶数的概率为，故不符合题意；B、抛掷骰子后，点数大于3的概率为，故不符合题意；C、抛掷骰子后，点数为3的概率为，故不符合题意；D、抛掷骰子后，点数为3的倍数的概率为，故符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．6.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C.袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球D.洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃【答案】B【解析】【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，求出各选项的概率，即可得到答案．【详解】A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”的概率是，故选项不符合题意；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是，故选项符合题意；C、袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的概率是，故选项不符合题意；D、洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是，故选项不符合题意．【点睛】此题考查了通过折线统计图中的频率估计概率，熟练掌握频率的求法是解题的关键．7.有张卡片分别画有等边三角形、圆、平行四边形、正方形，随机抽两张，卡片上的图形都是中心对称图形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出树状图，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】解：设表示等边三角形，表示圆，表示平行四边形，表示正方形，画树状图如下：所有等可能情况数为种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有种，∴随机抽两张，卡片上的图形都是中心对称图形的概率是，故选：B．【点睛】本题考查列表法与树状图法，以及中心对称图形，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．8.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列表求出所有的等可能性的结果数，再找到能让两个小灯泡同时发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：列表如下：（，）（，）（，）（，）（，）（、）由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两个小灯泡同时发光的结果数为2，∴能让两个小灯泡同时发光的概率是，故选：B．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，正确列出表格是解题的关键．9.嘉嘉和淇淇按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏．嘉嘉认为每次不是胜就是输，所以每个人获胜的概率都是，这个游戏规则公平．淇淇说嘉嘉的分析过程不正确，下列判断正确的是（）游戏规则若一个人出“锤子”，另一个人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一个人出“布”，另一个人出“锤子”，则出“布”者胜；若一个人出“剪刀”，另一个人出“布”，则出“剪刀”者胜．若两人出相同的手势，则两人平局．A.淇淇说的不对，嘉嘉的对B.淇淇说的对，嘉嘉获胜的概率大，这个游戏规则不公平C.淇淇说的对，淇淇获胜的概率大，这个游戏规则不公平D.淇淇说的对，每个人获胜的概率为，这个游戏规则公平【答案】D【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出淇淇获胜的结果数、嘉嘉获胜的结果数和平局的结果数，再计算出淇淇或胜的概率、嘉嘉获胜的概率和平局的概率，然后对各选项进行判断．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，淇淇获胜的结果数为3，嘉嘉获胜的结果数为3，平局的结果数为3，所以淇淇或胜的概率，嘉嘉获胜的概率，平局的概率．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10.下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．下面有四个推断：①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860；②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确其中合理的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．【详解】解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误；随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确；试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确；在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误；其中合理的是②③，故选C．【点睛】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率，掌握上述内容是解题的关键．二、填空题（共15分，每个题3分）11.某商场为了吸引更多的顾客，安排了一个抽奖活动，并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次抽奖的机会．抽奖规则如下：在抽奖箱内，有100个牌子，分别写有1，2，3，…，100这100个数，抽到末位数字是5的可获得20元购物券，抽到数是66或99的可获得100元购物券，抽到数是88的可获得200元购物券．某顾客购物130元，他获得购物券的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】由在100个牌子中，末位数字是5的有10个，66、88、99的牌子各有1个，即可求得从100个牌子中抽取1个获得购物券的概率，继而可求得答案．【详解】解：在100个牌子中，末位数字是5的有10个，66、88、99的牌子各有1个，∴P（从100个牌子中抽取1个获得购物券）．∵该顾客购物130元，只能获得一次抽奖机会，∴该顾客获得购物券的概率是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．12.如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是________．【答案】【解析】【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．【详解】解：∵正方形的面积为，阴影部分占5份，∴飞镖落在阴影区域的概率是；故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．13.圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0－9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是3的概率为________．【答案】##【解析】【分析】从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字3的只有种结果，利用概率公式求解即可．【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，∴从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字3的只有种结果，∴(数字是3)．故答案为：．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．14.打扑克牌是广受大众喜欢的一种纸牌游戏，扑克牌有红桃、方片、梅花、黑桃4种花色．将4张不同花色的纸牌（除花色外完全相同）背面朝上混合均匀，随机抽取1张后放回，再次混合均匀后随机抽取1张，则所抽取的2张纸牌花色恰好相同的概率是______．【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽出的牌花色恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：设红桃、方片、梅花、黑桃4种花色分别为A、B、C、D，∵共有16种等可能的结果，两次抽出的牌花色恰好相同的有4种情况,∴两次抽出的卡片所标字母不同的概率是．故答案为：.【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字型”水管的进水口流入，在三处装有过滤网，该杂质经过________________处过滤网的可能性最大．【答案】B【解析】【分析】先画树状图，得到从A，B，C三处经过的概率，从而可得答案．【详解】解：如图，标注路径如下：，画树状图如下：共有等可能的4种结果，其中从A出口的1种，B出口的2种，C出口的1种∴从A，B，C经过的概率分别为，，，∴从B处经过过滤网的可能性最大．故答案为B【点睛】本题考查的是利用画树状图求解随机事件的概率，理解题意，画出准确的树状图是解本题的关键．三、解答题（共55分）16.不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．（1）求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；（2）现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，求放入黄球个数．【答案】（1）；（2）4个．【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）利用方程思想，设出放入的球数，根据概率公式列出分式方程，解方程即可．【小问1详解】解：（黄球）；【小问2详解】设放入个黄球，由题意得：，解得，经检验，是方程的根且符合题意，答：放入4个黄球．【点睛】本题主要考查了概率的相关知识．随机事件发生的概率=事件可能出现的结果数除以所有出现的结果数．第（2）问在解决时注意，不止黄球个数发生变化，总球数也发生了变化，这是一个易错点．17.小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．（1）如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________．（2）为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由．【答案】（1）（2）选择打开区域A中小方格，理由见解析【解析】【分析】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可；（2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可．【小问1详解】，方格中随机放置着个奖品，，故答案为：【小问2详解】（打开区域中的小方格），（打开区域外的小方格），，∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格．【点睛】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键．18.在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共30只，搅匀后，学习小组做摸球试验，再把球放回盒子中，不断重复上述过程摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m521381783024815991803摸到白球的频率0.520.690.5930.6040.600.5990.601（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为（精确到0.1）；（2）假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为（精确到0.1）；（3）请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】（1）0.6（2）0.4（3）白球的个数为18只，黑球的个数为12只【解析】【分析】（1）由表可知，随着摸球次数的增加，摸到白球的概率趋近于0.6，由此可解答；（2）摸到黑球与摸到白球的概率之和为1，据此可求摸到黑球的概率；（3）摸到摸到白球的概率分别乘以30个球，可得白球的数量，将全部30个球减去白球数量可得黑球的数量．【小问1详解】∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；∴摸到白球的概率约为0.6，故答案为：0.6；【小问2详解】∵摸到白球的概率为0.6，∴摸到黑球的概率为；故答案为：0.4【小问3详解】∵共有30只球，摸到白球的概率为0.6，∴则白球的个数为（只），黑球的个数为（只）．答：白球的个数为18只，黑球的个数为12只．【点睛】本题考查对概率的理解，正确理解概率的概念是解题的关键．19.在学习了“频率的稳定性”之后，某数学兴趣小组的同学做了“抛图钉”试验，收集到下表数据：抛图钉次数针尖向上频数b针尖向上频率ac（1）表格中，______，______，______．（2）根据上表，在下图中画出针尖向上频率折线统计图：（3）根据折线统计图可知：随着摸球次的增多，针尖向上的频率稳定值是______（保留两位小数）；估计针尖向上的概率为______（保留两位小数）．【答案】（1）；；（2）见解析（3）；【解析】【分析】（1）根据频率、频数、总数之间的关系填写表格即可求解；（2）根据表格数据，画出频率折线统计图即可求解；（3）利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【小问1详解】解：，，，故答案为：；；．【小问2详解】解：如图所示，【小问3详解】解：根据折线统计图可知：随着摸球次的增多，针尖向上的频率稳定值是（保留两位小数）；估计针尖向上的概率为（保留两位小数），故答案为：；．【点睛】本题考查了频数、频率之间的关系，画折线统计图，根据频率估计概率，熟练掌握以上知识是解题的关键．20.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数1002003005008001000摸到黑球的次数65118189310482602摸到黑球的频率0.650.590.630.620.6030.602（1）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有白球________个：（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案.【答案】（1）0.6（2）20（3）再添加10个相同的白球（答案不唯一）【解析】【分析】（1）观察表格即可得到答案；（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数，再求出白球的个数即可；（3）使得黑球和白球的数量相等即可．【小问1详解】观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6；【小问2详解】黑球的个数约为个，则估计袋子中有白球个，故答案为：20；【小问3详解】想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即再添加10个相同的白球．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．21.在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．摸球的次数101002005001000摸到黑球的次数32651126251摸到黑球的频率（1）由此估计，当n很大时，摸到黑球的概率为________________；（2）从该袋中一次摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出一次摸出两个颜色不同的小球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据概率公式可求得黑球的个数，白球的个数，再画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近，估计摸到黑球的概率为；【小问2详解】由摸到黑球的概率为；可得黑球的个数为：，∴白球的个数为3个；∴树状图如图；共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．【点睛】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．22.有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）（1）用列表法求；（2）张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；（3）能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．【答案】（1）（2）张亮的想法是错的，见解析（3）【解析】【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；（2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；（3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可．【小问1详解】由题得，列表为：第1个第2个1331130211043124所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；【小问2详解】由（1）得：，，，，，∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，∵，所以张亮的想法是错的．【小问3详解】∵，∴（答案不唯一）【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．23.一个不透明的布袋里装有若干个白球、1个红球和1个黑球，它们除颜色外无其他差别每次把布袋里的小球摇匀后，随机摸出一个小球，记下颜色后放回布袋里，进行了100次摸球试验，其中摸出红球25次．（1）估计布袋里白球有___________个；（2）先从布袋中摸出1个球后放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）设布袋里白球有个，根据概率公式列出分式方程，即可解答；（2）画树状图，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：设布袋里白球有个，由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：2；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的结果有4种，两次摸到的球都是白球的概率为．【点睛】本题考查了用树状图求概率，分式方程的实际应用，概率公式，熟知概率公式是解题的关键．24.一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）投掷一次，朝上数字是2的概率是；（2）连续投掷两次，朝上的数字分别是m、n，如果把m、n作为点A的横、纵坐标，那么点在函数的图像上的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到点在函数的图像上的结果数，最后根据概率计算公式进行求解即可．【小问1详解】解：∵一共有6个面，标有数字2的面有1个且抛掷一次，每个面朝上的概率相同，∴投掷一次，朝上数字是2的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：123456123456由表格可知一共有36种等可能性的结果数，其中点在函数的图像上的结果数有，，共3种，∴点在函数的图像上的概率为．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正比例函数图像上点的坐标特点，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．25.如图，某校初三年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了如图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．（1）初三（1）班接受调查的同学共有名，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中的“体育活动”C所对应的圆心角度数为度；（3）若喜欢“交流谈心”的3名同学中有两名男生和一名女生，老师想从3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法，求出选取的两名同学恰好是“一男一女”的概率．【答案】（1）50，补全条形统计图见解析（2）108（3）选取的两名同学恰好是“一男一女”的概率为【解析】【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解，求出听音乐的人数即可补全条形统计图；（2）由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学恰好是“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：接受调查的同学共有名，D组人数为：人，补图为：故答案为：．小问2详解】解：，故答案为：．【小问3详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，选出同学是“一男一女”的有4种情况，∴选取的两名同学恰好是“一男一女”的概率：；【点睛】本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（2023·河南·统考中考真题）26.为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：故相同的概率为．故选B．【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．（2023·内蒙古·统考中考真题）27.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等．点坐标在双曲线上有2种情况:，．所以，这个事件的概率为．故选：A．【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．（2023·四川遂宁·统考中考真题）28.为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可.【详解】解：由题意得，大圆面积为，免一次作业对应区域的面积为，∴投中“免一次作业”的概率是，故选B．【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．（2023·江苏连云港·统考中考真题）29.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为，阴影部分的面积为，∴点落在阴影部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．（2023·山东滨州·统考中考真题）30.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是___________．【答案】【解析】【分析】利用表格或树状图列示出所有可能结果，找出满足条件的结果，根据概率公式计算即可．【详解】所有可能结果如下表，所有结果共有36种，其中，点数之和等于7的结果有6种，概率为故答案为：．【点睛】本题考查概率计算，运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键．（2023·辽宁·统考中考真题）31.6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次抽样调查的学生共有___________名；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）60（2）见解析（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；（4）所选2人恰好是一男一女的概率为．【解析】【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；（3）利用样本估计总体即可；（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．【小问1详解】解：（名）答：本次抽样调查的学生共有60名；故答案为：60；【小问2详解】解：C组人数为：（名），补全条形图如图所示：；【小问3详解】解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；【小问4详解】解：画树状图如下：机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．（2023·山东日照·统考中考真题）32.2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量频数分布表用水量（x/m）频数（户）491052信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．根据以上信息，回答下列问题：（1）__________；（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．【答案】（1）（2），理由见解析（3）90户（4）【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．∴乙小区3月份用水量的中位数是；故答案为：．【小问2详解】解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；∵，故．【小问3详解】解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），40+50=90（户）即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户．【小问4详解】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，∴抽取的两名同学都是男生的概率为．【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．33.甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的．问存在两个人收到对方的信的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分只存在两个人收到对方的信和有两组两个人收到对方的信两种情况分别计算出概率然后加起来即可．【详解】解：分两种情况，当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共计六种，以其中甲乙情况为例：甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为，那么丁不写给丙概率为，另一种是丙不写给丁的概率为，那么甲乙的概率为，所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为：；当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共计三种，以甲乙和丙丁情况为例，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，丙写给丁的概率为，丁写给丙的概率为，那么甲乙和丙丁的概率为，所以存在两组两个人收到对方的信的情况概率为；则存在两个人收到对方的信的概率为，故选C．【点睛】本题考查了概率的计算，分情况讨论计算概率是解题关键．34.数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；第四步：估算出π的值．为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，∴，再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1，可以用图中（3）区域表示，∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，∴，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，∴根据①概率计算方法可以得到：，又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，∴，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．35.如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞