2025年高考第二次模拟考试数学（新高考Ⅰ卷）02（参考答案）

2025年高考第二次模拟考试高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DBDCACBD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BDACDAB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13．12140 14．/四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【解析】（1）在中，，又，所以，在中，所以，（3分）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，所以，即不论为何值，恒成立；（6分）（2）因为，，又，，由（1）可得，（9分）所以，即，整理得，所以.（13分）16．（15分）【解析】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下：连接.∵四边形是菱形，.又平面，平面，.又，平面，平面.连接.∵为的中点，，.又平面平面，平面平面，平面，平面.，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行），∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.（5分）（2）取的中点，连接，设交于点，连接，，则，且.平面，平面.又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

（8分）∵底面是菱形，，，.，.由（1）知，∴四边形是矩形，，∴，B1,0,0，，，，，.（10分）设平面的法向量为，则，即，取，则.（12分）设平面的法向量为，所以，即，取，则.（14分），由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（15分）解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则.（8分）连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，所以平面，所以，则为二面角的平面角.（10分）易知，，，所以，所以，所以二面角的余弦值为.（15分）17．（15分）【解析】（1）因为，所以，依题意，即，所以，定义域为，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，无极大值；（5分）（2）因为，恒成立，当时，，，所以，所以对恒成立，（7分）令，则当时，恒成立，因为，（9分）设，当，即时，，所以，即在上单调递减，所以，符合题意；（11分）当，即时，，，所以，由零点存在性定理可知存在，使得，（12分）又二次函数开口向下，对称轴为，则当时，，即，所以在上单调递增，即存在，使得，这与当时，恒成立矛盾，故舍去；（14分）综上可得，所以实数的取值范围为.（15分）18．（17分）【解析】（1）由，解得，故双曲线的标准方程为．（4分）（2）（i）①当与轴垂直时，，解得．（6分）②当与轴不垂直时，设．设与联立可得：，且有，故，（8分）且．（9分）将与联立可得：．，（11分）而，故．综上所述，．（12分）（ii）由与圆相切可知：．设直线为，与联立解得．由（1）可知，则．而．（15分）消去可得：，故．（17分）19．（17分）【解析】（1）根据集的定义，已知是数列的一个集，，，，，，未知.由，即.解得，所以.（3分）（2）因为都是数列的集.根据集的定义，，即，这表明数列是等差数列.已知，.设等差数列的公差为.根据等差数列通项公式，则.把，，代入得.移项得，解得.所以数列的通项公式为.（8分）（3）首先求，因为都是数列的集.根据集的定义.（9分）设，则，那么.由于，，，则.又因为，所以