2025年高考数学第一次模拟考试（全解全析）

2025年高考第一次模拟考试高三数学（新高考Ⅰ卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）1．已知全集，集合，或，则（

）A． B． C．（－3，3] D．（2，3]【答案】A【解析】不等式解得，∴，或，则，.故选：A2．下列命题是真命题的是（

）A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形【答案】D【解析】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误．对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误．对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误．对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确．故选：D3．记等差数列的前项和为，则（

）A．120 B．140 C．160 D．180【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，故选：C.4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（

）A．和 B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的定义可得，则，整理可得，因为，解得故选：B.5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.6．已知数列是公比为的等比数列，是数列的前项和，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】根据题意，可得，则数列为公差为的等差数列，所以.7．已知平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所以，.8．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若，则；②若，其中，则；③若，其中，则；④若，其中，则的最小值为.其中所有真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①：，故①正确.对于②：，故②错误.对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.二、多选题9．甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（

）A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小【答案】BCD【解析】对于A，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A错误；对于B，甲的得分平均数是，乙的得分平均数是，故B正确；对于C，甲的得分极差是，乙的得极差是，故C正确；对于D，甲的得分方差是，乙的得方差是，故D正确.10．已知函数的定义域为，则（

）A． B．C．是奇函数 D．是偶函数【答案】ABC【解析】令，可得，故A正确；令，可得，令，可得，则，故B正确；由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确；因为，所以不是偶函数，故D错误．11．已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（

）A．若圆与圆无公共点，则B．当时，两圆公共弦所在直线方程为C．当时，则斜率的最大值为D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于【答案】BC【解析】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确；当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项；对于选项B，当时如图，

和为两条内公切线，且，由平面几何知识可知，所以可得，即斜率的最大值为，C选项正确；对于D选项，如图，

点P在位置时，点在位置时，所以中间必然有位置使得，故D错误.三、填空题12．在的展开式中，的系数为．【答案】60【解析】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为.【答案】【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.14．椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为.【答案】【解析】显然直线斜率都存在，且，由，得，则，而，于是，设，则，因此，解得，所以椭圆的离心率为.四、解答题15．如图，四面体中，是的中点，，(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；(2)求点E到平面ACD的距离.【答案】(1)(2)【解析】（1）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角，（2分）在中，，因为是直角斜边AC上的中线，则，可得，（5分）所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.（6分）（2）设点E到平面ACD的距离为因为，即，（8分）在中，，可得，（9分）且，（10分）可得，（12分）所以点E到平面ACD的距离为（13分）16．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案见详解(2)【解析】（1）（），（1分）当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；（2分）当时，，；，，从而在上递增，在递减；（4分）综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（6分）（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.（7分），（8分）若，，所以恒成立，（9分）当时，，当时，，可知在内单调递增，在内单调递减，（10分）所以，解得：，可知的最小值为；（12分）若，，所以恒成立，（13分）当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，（14分）所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意；综上所述：的最小值为.（15分）17．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．(1)若每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.(2)已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见详解，；（ⅱ）【解析】（1）因为甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，（1分）可得；（4分）故该场比赛甲获胜的概率P=PY=3（2）（ⅰ）依题意，的所有可能取值为（6分）设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，（7分）所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(A（9分）P(X=2)=P(A)⋅P(X=2|A)+P(A所以的分布列为012故的均值为EX=0×（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件，则PB|X=0=0,P由（ⅰ）知，PX=0PB解得PB=218．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程；(2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为0,2，若，求的范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，（2分）因为，，且，可得，由，可得点的横坐标为，（4分）又由抛物线的准线方程为，则，解得，（6分）所以曲线的轨迹方程为.（7分）（2）假设存在，使得，设，直线的方程为，（9分）联立方程组，整理得，且，（10分）则，则，（11分）可得，（12分）由，可得，即，所以，（13分）令，则，（14分）所以，且，即，解得或，（16分）所以存在，使得成立.（17分）19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

(1)设复数，，求、的三角形式；(2)设复数，，其中，求；(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①；②，，.注意：使用复数以外的方法证明不给分.【答案】(1)