2025年高考第二次模拟考试数学（新八省）（全解全析）

2025年高考第二次模拟考试高三数学（新八省通用）01·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由、，，故.故选：B.2．的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的最小正周期，故选:D.3．若，则（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【解析】因为.故选：B4．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，故选A.5．设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】双曲线中，半焦距为，即，又双曲线一个顶点坐标为，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：D．6．已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥的母线长为，高为，则，解得，所以，所以圆锥的体积.故选：D.7．在中，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，故，故选D8．已知且，若在上恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，①若，则，且，，根据穿根法可知或时不符合题意，舍去；②若，要满足题意则，符合题意，如图所示；③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾；④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意；综上可知满足在恒成立时，只有满足题意.故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】绳子A的判断：对于绳子A，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕而形成一个结；绳子B的判断：绳子B在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方式并没有形成闭环式的交叉；绳子C的判断：绳子C的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕使得在拉伸时必然会有部分绳子形成闭环结；绳子D的判断：绳子D在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，绳子中间部分会收紧成结，故选ACD.10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（

）A．的坐标为 B．C． D．【答案】BD【解析】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，则焦点，所以A错误；由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；由，可得，所以，则，所以C不正确；由，所以D正确．故选：BD．11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（

）A． B．Sigmoid函数是单调减函数C．函数的最大值是 D．【答案】ACD【解析】由函数求导得：，对于A，，A正确；对于B，，，则Sigmoid函数是单调增函数，B不正确；对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确；对于D，因，则，D正确.故选ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若，则.【答案】【解析】由，可得.13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是．【答案】【解析】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为，甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为，因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是，所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是.14．已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由得：，可得f(x)－x＝a＋，所以y＝f(x)－x有三个零点等价于有三个不同交点.令h(x)＝，画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（本小题满分13分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿元人民币/天），整理数据得下表：进口贸易量出口贸易量3218468123710(1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币”的概率．(2)根据所给数据，完成下面的列联表．进口贸易量出口贸易量(3)依据的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？附：，．0.050.010.0013.8416.63510.828【解】（1）解：由题表中的信息可知，在这100天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币的天数为，用频率估计概率，可得所求概率．（2）列出列联表如下：进口贸易量出口贸易量64161010（3）零假设为：我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关．由（2）得，所以依据的独立性检验，推断不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列、的通项公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求证：数列为递减数列．【解】（1）点在双曲线上，是以为首项，公差为的等差数列，；点在直线上，，当时，，当时，，，是以为首项，公比为的等比数列，.（2），解得，成立的最小值为7.（3），，，所以数列为递减数列.17．（本小题满分15分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．【解】（1）由，，则，所以，即切线斜率为，又，则切点为，切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为．（2）根据题意得，，则．由0为的极小值点，可知．设，则．（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．（ⅱ）当时，设，则，所以在上单调递增，，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．（ⅲ）当时，，且在上单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以，单调递增，不符合题意．（ⅳ）当时，，在上单调递增，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以0是的极大值点，不符合题意．综上，的取值范围是．18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.(2)求动点的轨迹的方程.(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.【解】（1）证明：联立方程组，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直线与椭圆有且仅有一个交点，即切线方程为.（2）解：由（1）中切线方程，令，得，令，得，因为，所以直线，①因为，所以直线，②由①②得.因为，得，所以动点的轨迹的方程为）.（3）解：设直线的方程为，联立方程组得，则，所以.因为直线的方程为，直线的方程为，所以，所以，所以，整理得所以，即点在定直线上.

19．（本小题满分17分）如图1，菱形ABCD中∠ABC＝120°，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示．(1)若BF⊥PD，设三棱锥P－BCD和四棱锥P－BDEF的体积分别为，，求；(2)当点E的位置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；(3)若AB＝2，求四棱锥P－BDEF的外接球半径的最小值．【解】（1）在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，以O为原点，OF、OM、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝4、OP＝x，则，，∴，，，，故，，∵直线BF与PD垂直，，∴，解得（舍）或，∴PO＝2OM，∴AE＝2ED，∴图中点E在靠近点D的三等分点处．，∴（2）设二面角E－PF－B的平面角为，则为钝角．证明：平面PEF的法向量，，，设平面PBF的法向量，则，即取a＝1，得，∴．又为钝角，∴．∴无论点