2024-2025学年高中数学2.3.2离散型随机变量的方差课时作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时作业17离散型随机变量的方差学问点一方差的求法1.已知X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)的值为()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144)D.eq\f(17,12)答案C解析∵E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).2．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)＝______.答案eq\f(5,9)解析由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝eq\f(1,3)③，以上三式联立解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(ξ)＝eq\f(5,9).学问点二方差的性质3.D(ξ－D(ξ))的值为()A．0B．1C．D(ξ)D．2D(ξ)答案C解析D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，∴D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)．4．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4B．2,2.4C．2,5.6D．6,5.6答案B解析∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.又X＋Y＝8，∴Y＝8－X.∴E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(－X＋8)＝D(X)＝2.4.学问点三两点分布与二项分布的方差5.设一随机试验的结果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝m，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)答案D解析随机变量X的分布列为X01P1－mm∴E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.答案eq\f(9,16)解析由题意知取到次品的概率为eq\f(1,4)，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴D(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16).一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较答案B解析∵D(X甲)＞D(X乙)∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝1.1，则()ξ01xP0.2p0.3A．D(ξ)＝2 B．D(ξ)＝0.51C．D(ξ)＝0.5 D．D(ξ)＝0.49答案D解析因为0.2＋p＋0.3＝1，所以p＝0.5.又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，所以x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.故选D.3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8答案C解析E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3∴P＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))11＝3×2－10.4．假如X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是()A．E(X1)＝12，D(X1)＝1B．E(X1)＝7，D(X1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2答案D解析由于E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，结合已知可得E(X1)＝7，D(X1)＝2.故选D.5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．无法计算答案A解析由分布列中，概率和为1，则a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2.∴m＝6－2n.∴D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，D(ξ)取最小值0.二、填空题6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)解析∵E(X)＝0，D(X)＝1，由离散型随机变量X的分布列的性质知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－a＋c＋\f(2,12)＝0，,a＋c＋\f(4,12)＝1，))计算得出a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).7．设d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.答案30d2解析E(ξ)＝x10，D(ξ)＝eq\f(d2,19)(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.8．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________．答案48解析设小王选对个数为X，得分η＝5X，则X～B(12,0.8)，D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48.三、解答题9．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的均值与方差．解(1)易知司机遇上红灯次数ξ听从二项分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.10．为了丰富学生的课余生活，促进校内文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读竞赛决赛．决赛通过随机抽签方式确定出场依次．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和均值．解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事务A，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为eq\f(1,15).(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(4×A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(3,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\