2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义讲义含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE113．1.3导数的几何意义预习课本P76～79，思索并完成以下问题1．导数的几何意义是什么？2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？3．怎么求过一点的曲线的切线方程？eq\a\vs4\al([新知初探])1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x改变时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).[点睛]“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区分与联系“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依靠于函数本身，而与x，Δx无关．eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)＝0没有导函数()答案：(1)×(2)×(3)×2．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x＋1 D．y＝－2x答案：B3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2D．2答案：D4．已知f(x)＝－eq\f(1,x)，则f′(x)＝________.答案：eq\f(1,x2)求曲线的切线方程[典例]已知曲线C：y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．[解]将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．y′|x＝2＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\f(1,3)×23－\f(4,3),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[4＋2·Δx＋eq\f(1,3)(Δx)2]＝4.∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；(4)依据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[活学活用]1．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解：∵曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＝li\o(m,\s\up6(,Δx→0))))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3－4＋2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(3Δx＋2)＝2，∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由直线的点斜式，得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0，∴所求直线的方程为2x－y＋4＝0.2．求抛物线f(x)＝x2过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))的切线方程．解：由于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))不在抛物线上，所以可设切点为(x0，xeq\o\al(2,0))，因为f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，所以该切线的斜率为2x0，又因为此切线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))和点(x0，xeq\o\al(2,0))，所以eq\f(x\o\al(2,0)－6,x0－\f(5,2))＝2x0，即xeq\o\al(2,0)－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，即y＝4x－4，y＝6x－9.求切点坐标[典例]已知抛物线y＝2x2＋1分别满意下列条件，恳求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，∴切点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标的四个步骤(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．[活学活用]已知曲线y＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则点P为()A．(2,14) B．(－2，－14)C．(2,14)或(－2，－14) D．以上都不对解析：选C设P(x0，y0)，由题意可得y′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx3＋3x0＋Δx－x\o\al(3,0)－3x0,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3，又由题意得3xeq\o\al(2,0)＋3＝15，所以x0＝±2.当x0＝2时，y0＝23＋6＝14，当x0＝－2时，y0＝(－2)3－6＝－14.所以点P的坐标为(2,14)或(－2，－14)．层级一学业水平达标1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：选A因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＞0.2．曲线f(x)＝－eq\f(2,x)在点M(1，－2)处的切线方程为()A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4解析：选Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－2,1＋Δx)＋2,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为()A．1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,4)D．－eq\f(π,4)解析：选B∵y′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为eq\f(π,4)，故应选B.4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：选A∵y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.5．过正弦曲线y＝sinx上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))的切线与y＝sinx的图象的交点个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．多数个解析：选D由题意，y＝f(x)＝sinx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(cosΔx－1,Δx).当Δx→0时，cosΔx→1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有多数个交点．6．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1.从而切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.答案：27．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为Δy＝eq\f(－1＋Δx,－1＋Δx＋2)－(－1)＝eq\f(Δx－1,1＋Δx)＋1＝eq\f(2Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx,1＋Δx·Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以f′(－1)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2,1＋Δx)＝2，故曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋18．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．求过曲线f(x)＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))的切线方程．解：因为f′(4)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f4＋Δx－f4,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,4＋Δx)－\r(4＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋Δx)－\f(1,4)))－\r(4＋Δx)－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(－Δx,44＋Δx)－\f(Δx,\r(4＋Δx)＋2),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,44＋Δx)－\f(1,\r(4＋Δx)＋2)))＝－eq\f(5,16)，所以切线的斜率为－eq\f(5,16).所以所求的切线方程为5x＋16y＋8＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．解：由题意得f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2x0＋Δx2－7－2×x\o\al(2,0)－7,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，将P(3,9)及y0＝2xeq\o\al(2,0)－7代入上式得9－(2xeq\o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.层级二应试实力达标1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，选B.2．曲线f(x)＝2x－eq\f(1,x)在x＝1处的切线的斜率为()A．－1 B．1C．2D．3解析：选D因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1－1))＝2Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝2Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝2＋eq\f(1,1＋Δx)，所以lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,1＋Δx)))＝2＋1＝3.3．设f(x)存在导函数，且满意lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：选Blieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(1)＝－1.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线相互垂直，则eq\f(a,b)为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)解析：选D由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝______.解析：由导数的概念和几何意义知，lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.答案：－26．已知曲线f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝eq\f(1,x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)y＝\f(1,x)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝1，))∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝07．求曲线y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：联立两曲线方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝1，))即交点坐标为(1,1)．曲线y＝eq\f(1,x)在点(1,1)的切线斜率为f′(1)＝l