2025届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第2课时最值范围证明专题课时作业理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第2课时最值、范围、证明专题课时作业1．设椭圆M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝eq\r(2)x＋m交椭圆于A，B两点，且P(1，eq\r(2))为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．解：(1)由双曲线的离心率为eq\r(2)，得椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).易知圆x2＋y2＝4的直径为4，所以2a由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,b2＝a2－c2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(2)，,b＝\r(2)，))故椭圆M的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)＞0，得－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2).∵x1＋x2＝－eq\f(\r(2),2)m，x1x2＝eq\f(m2－4,4)，∴|AB|＝eq\r(1＋2)·|x1－x2|＝eq\r(3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq\r(3)·eq\r(4－\f(m2,2)).又点P到直线AB的距离d＝eq\f(|m|,\r(3))，则S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(4－\f(m2,2))·eq\f(|m|,\r(3))＝eq\f(1,2)eq\r(4m2－\f(m4,2))＝eq\f(1,2\r(2))eq\r(m28－m2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\f(m2＋8－m2,2)＝eq\r(2)，当且仅当m＝±2∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))时取等号．故△PAB的面积的最大值为eq\r(2).2．已知圆G：x2＋y2－2x－eq\r(2)y＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角eq\f(5π,6)的直线l交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．解：(1)∵圆G：x2＋y2－2x－eq\r(2)y＝0经过点F，B，∴F(2,0)，B(0，eq\r(2))，∴c＝2，b＝eq\r(2)，∴a2＝b2＋c2＝6，∴椭圆的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意知直线l的方程为y＝－eq\f(\r(3),3)(x－m)，m＞eq\r(6)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,y＝－\f(\r(3),3)x－m，))消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0.由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－2eq\r(3)＜m＜2eq\r(3).∵m＞eq\r(6)，∴eq\r(6)＜m＜2eq\r(3).设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝eq\f(m2－6,2)，∴y1y2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)x1－m))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)x2－m))＝eq\f(1,3)x1x2－eq\f(m,3)(x1＋x2)＋eq\f(m2,3).∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(FD,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，∴eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝eq\f(4,3)x1x2－eq\f(m＋6,3)(x1＋x2)＋eq\f(m2,3)＋4＝eq\f(2mm－3,3).∵点F在圆E的内部，∴eq\o(FC,\s\up6(→))·eq\o(FD,\s\up6(→))＜0，即eq\f(2mm－3,3)＜0， 解得0＜m＜3.又∵eq\r(6)＜m＜2eq\r(3)，∴eq\r(6)＜m＜3.故m的取值范围是(eq\r(6)，3)．3．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满意0＜e＜eq\f(\r(5)－1,2)，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB2|.(1)解：由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|，∵|AF2|＝|BF2|，∴|AF1|＝|BF1|，即F1F2为边AB上的中线，∴F1F1⊥AB.在Rt△AF1F2中，cos30°＝eq\f(2c,\f(4a,3))，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴椭圆的离心率为eq\f(\r(3),3).(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵0＜e＜eq\f(\r(5)－1,2)，c＝1，∴a＞1＋eq\f(\r(5),2).①当直线AB与x轴垂直时，eq\f(1,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，y2＝eq\f(b4,a2)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1－eq\f(b4,a2)＝eq\f(－a4＋3a2－1,a2)＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(3,2)))2＋\f(5,4),a2)，∵a2＞eq\f(3＋\r(5),2)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＜0，∴∠AOB恒为钝角，∴|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.②当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为：y＝k(x＋1)，代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，整理得，(b2＋a2k2)x2＋2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(－2a2k2,b2＋a2k2)，x1x2＝eq\f(a2k2－a2b2,b2＋a2k2)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2(1＋k2)＋k2(x1＋x2)＋k2＝eq\f(a2k2－a2b21＋k2－2a2k4＋k2b2＋a2k2,b2＋a2k2)＝eq\f(k2a2＋b2－a2b2－a2b2,b2＋a2k2)＝eq\f(k2－a4＋3a2－1－a2b2,b2＋a2k2)令m(a)＝－a4＋3a2－1，由①可知m(a)＜0，∴∠AOB恒为钝角，∴恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|24．(2024河南4月)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M(3,0)的直线交椭圆C于不同两点A，B，N为椭圆上一点，且满意eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(ON,\s\up6(→))(O为坐标原点)，当|AB|＜eq\r(3)时，求实数t的取值范围．解析：(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又∵4a＝8，∴a＝2，∴b2∴椭圆C的方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，AB的方程为y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3,\f(x2,4)＋y2＝1))，整理得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0.由△＝242k4－16(9k2－1)(1＋4k2)＞0，得k2＜eq\f(1,5).∵x1＋x2＝eq\f(24k2,1＋4k2)，x1·x2＝eq\f(36k2－4,1＋4k2)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，则x＝eq\f(1,t)(x1＋x2)＝eq\f(24k2,t1＋4k2)，y＝eq\f(1,t)(y1＋y2)＝eq\f(1,t)[k(x1＋x2)·6k]＝eq\f(－6k,t1＋4k2).由点N在椭圆上，得eq\f(24k22,t21＋4k22)＋eq\f(144k2,t21＋4k22)＝4，化简得36k2＝t2(1＋4k2)．①又由|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＜eq\r(3)，即(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜3，将x1＋x2，x1x2代入得(1＋k2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al