山东省济南市钢城区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

2025年山东省济南市钢城区九年级中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．5的相反数是（

）A． B． C． D．52．产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（

）A． B．C． D．3．晶晶利用“国家中小学智慧教育平台”学习《项目学习2包装中的智慧》时，发现网页中显示“今天已有1650000人与你一起学习…”．请将数据1650000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．5．“过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（

）A． B． C． D．6．函数与（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（

）A． B．C． D．7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，点为边上一点(可与点重合)，已知，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点(点在点下方)：最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点，以下4个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④二、填空题11．已知关于x的分式方程的解是，则k的值为．12．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为．13．两同心圆，小圆半径为2cm，大圆半径为4cm，则一只蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为．14．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2()与飞行时间x()的函数关系，其中，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第秒时1号和2号无人机飞行高度差为20米．15．如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为．三、解答题16．计算：17．解不等式组：，并将解集表示在数轴上．18．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F．求证：．

19．某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求：(1)无人机距离经纬仪顶端P的距离；(2)点与点的高度差．(参考数据：)20．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．

(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．21．2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息：组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生；(2)请补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是；(4)随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是分；(5)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数．22．火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元．(1)问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？(2)若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？23．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．(1)一次函数必定经过点________．（写点的坐标）(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．24．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）．(1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标；(2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点．①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；②在点的运动过程中，请求出线段的最大值．25．在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接．(1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（①），所以可得（②），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______．(2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时，①再探究线段与的数量关系并证明；②若，求线段的长；(3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长．《2025年山东省济南市钢城区九年级中考一模数学试题》参考答案1．A解：5的相反数是；故选A．2．C解：从上面看得到图形为：故选：C．3．C解：，故选：C4．A解：A．，正确；B．，故不正确；C．，故不正确；

D．，故不正确；故选A．5．B解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，选择和两个灯笼的概率为，故选：B．6．D解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项D符合题意；当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，故选：D．7．B解：连接、，∵是圆内接五边形，∴，∴，故选B．8．B解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，又∵m为整数，∴m的最大值为3．故答选：B．9．B解析：①由尺规作图可得，，故①正确；②，，，∴，故②错误；③当与重合时，最大，此时，由，得，解得，故③不正确；④当为中点时，，由尺规作图可得，由，可得，∴，故④正确；综上所述，①④正确，故选：B．10．A解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D，∴点Q的速度是点P速度的3倍，∵点以每秒1个单位长度的速度运动，∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，∴，即菱形的边长为6，故①正确；作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时，∴，∴，∴，当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确；当点Q运动到点D时，，当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入，得，解得，∴，故④正确．故选A．11．2解：将代入分式方程可得：，∴，解得故答案为：212．解：∵直线，∴，故答案为：．13．．∵大圆的面积为：42π＝16π，小圆的面积为22π＝4π，∴蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为，故答案为：．14．13或17解：，当时，，∴点的坐标为，由题意知点的坐标为，设，将代入得，∴，∴，∴线段对应的函数表达式为：，由题意得，整理得，解得：或，∴在第13秒或17秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米，故答案为：13或17．15．/解：点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，，，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，，，，的最小值是，故答案为：．16．解：原式．17．，数轴表示见解析解：，解不等式①，得：；解不等式②，得：，所以不等式组的解集为：，在数轴上表示如图：18．见解析∵四边形是矩形，对角线相交于点O，∴．∵，，∴．在和中，，∴，∴，∴，即．19．(1)70米(2)点与点的高度差为11米（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，∴，∴米在中，，米（2）解：过点作于点，在中，，（米），（米）．答：点与点的高度差为11米．20．(1)CD是⊙O的切线，理由见解析(2)⊙O的半径为（1）解：结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC//BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．

21．(1)(2)见解析(3)(4)(5)人（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，由扇形统计图可知：组人数占比为，本次调查随机抽取的学生总人数为：（人），故答案为：；（2）解：由（1）得：本次调查随机抽取的学生总人数为人，由扇形统计图可知：组人数占比为，组人数为：（人），补全条形统计图如下；（3）解：在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为：，故答案为：；（4）解：随机抽取了人，中位数是第名学生和第名学生成绩的平均值，根据题意，第名学生和第名学生的成绩分别为：，，中位数，故答案为：；（5）解：（人），估计该校名学生中获得一等奖的学生人数约为人．22．(1)“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元(2)购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元（1）解：设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元，由题意可得，解得，答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元；（2）解：由题意可得，，随的增大而减小，要求所花资金不高于2600元，，解得，当时，取得最大值，此时，，答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元．23．(1)(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6(3)（1）解：由题意知，令，即，则，∴一次函数必定经过点，故答案为：；（2）解：∵，则，联立，解得，，∴，，∴，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，∴∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．（3）解：由题意知，，令，整理得，令，解得，∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．24．(1)，，(2)①；②（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得，将点代入抛物线得：，∴该抛物线的解析式．联立，解得或，∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），∴，．（2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，对于直线，当时，，即，当时，，解得，即，∴，∵，∴是等腰直角三角形，且，∵四边形是菱形，∴，，由（1）已得：，，∴，即，∵轴，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或，∵点是上方的抛物线上的一动点，且，，∴点的横坐标大于，且小于4，∴点的坐标为．②如图，设