第1章 三角形的证明 （单元重点综合测试）（解析版）

第1章三角形的证明（单元重点综合测试）一、单选题1．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它周长是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．【解析】解：当是等腰三角形的腰时，，不能构成三角形，当是等腰三角形的腰时，，能构成三角形，此时三角形的周长为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的三边关系，是解题的关键．2．如图，在中，于点D，添加一个条件，可使用“”判定与全等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定条件是解题的关键；由题意易得，然后根据选项可进行求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴当添加时，则可根据“”判定；当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；当添加时，由于全等条件不足，所以无法判定；故选A．3．如图，，，则有（）

A．垂直平分 B．与互相垂直平分C．垂直平分 D．平分【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．【解析】解：，，是线段的垂直平分线，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线交于点D，交于点E；③连接．若，，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，即可求出的周长．【解析】解：根据题意得：是垂直平分线，，，，的周长为：，故选：D．5．如图，在中，，，，，则的长为（

）.A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性质及角三角形的性质，熟知这些内容是正确解题的关键。利用已知条件可求的度数，进而知道，根据等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性质得，然后根据含的直角三角形三边的关系可得到的长即可得．【解析】解：在中，，，,，,,，在中，，．故选：B．6．在下列结论中：（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解析】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．7．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（

）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．【解析】解：由图形可知：；；，∴，∴是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．8．如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，，则的长为（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】如图所示，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据进行求解即可．【解析】解：如图所示，过点D作于F，∵是的角平分线，，，∴，∵，∴，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．9．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据高和角的关系得，根据得，根据等边对等角的性质得AD=BD，然后利用ASA即可得，即可得CD的长度，再求出AD的长度，即可得．【解析】解：∵AD、BE是三角形的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∴AD=BD，在和中，∴（ASA），∴CD=FD，∵，，∴,∴，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．10．如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：①②

③为等边三角形

④

⑤平分，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由，，，可证，可判断①的正误；由，可判断②的正误；证明，则，可证是等边三角形，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误；如图，作于，于，由，，，可得，则平分，可判断⑤的正误．【解析】解：∵均为等边三角形，∴，∴，∵，，，∴，①正确，故符合要求；∴，∴，②正确，故符合要求；∵，∴，∴，∴是等边三角形，③正确，故符合要求；∴，∴，④正确，故符合要求；如图，作于，于，∵，∴，，∵，∴，即，∴平分，⑤正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定是解题的关键．二、填空题11．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则．【答案】4【分析】根据△ABC是等边三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出结论．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝8，∴AB＝AC＝8，∵BD⊥AC，∴AD＝AC＝×8＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．如图中，，，则．【答案】【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可知，再结合已知条件求解即可．【解析】解：在中，，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是．【答案】或/或【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，，当在内部时，如图1，为高，，，，；当在外部时，如图2，为高，，，，，而，，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．14．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为．

【答案】3【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明得到，根据三角形周长公式推出，再由，可得．【解析】解：如图所示，连接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵的周长为，的周长为，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：3．

15．如图，，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为cm．

【答案】【分析】过作，根据垂线段最短即可求出最小值．【解析】∵，平分，∴，∵，，∴，过作于点，

∵，平分，∴，∵点是射线上的动点，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】此题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．16．如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是．【答案】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，然后得到，即可求出的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∴的周长，故答案为：．17．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则．【答案】【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答．【解析】解：延长交于点M，如图，在中，三边所在的高交于一点，∴，∵，∴，故答案为：．18．如图，三角形中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，则，．【答案】8【分析】作于，于，于，于，连接，先证得，运用勾股定理可得，利用面积法求出，，，，，再运用勾股定理即可求得答案．【解析】解：如图，作于，于，于，于，连接，，，，，，，，，，，，平分，于，于，，，在和中，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，故答案为：8，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．三、解答题19．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．求证：是等边三角形．【答案】证明见详解【分析】先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形．【解析】∵是等边三角形，∴

，∵

，∴

，，∴，∴

是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键．20．如图，已知点、在的边上，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解析】（1）证明：如图，过点作于．，，，，，．（2），是等边三角形，，，，，．答：的度数为：．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．21．在中，为延长线上一点，点在上，连接、，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．（1）直接证明，得到，再利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论；（2）根据，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．【解析】（1）证明：在与中，，，，；（2）解：，，，，，．22．如图，中，，是的中线，垂直平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可证明结论；（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，即可求解．【解析】（1）证明：∵，是的中线，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．23．已知．(1)用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线；②在上任取一点F，作的垂直平分线分别与、交于P、Q；(2)在（1）的条件下线段与有什么数量关系，并说明理由．【答案】(1)①图形见解析；②图形见解析；(2)，理由见解析．【分析】（1）①本题主要考查了尺规作角平分线的作法，尺规作图的关键在于熟练掌握角平分线的作法及要求．以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于两点，再分别以两交点为圆心，以大于两交点长的一半为半径画弧，二者交于一点，过点A作射线经过两圆弧交点，即为的角平分线；②本题主要考查了尺规作垂直平分线的作法，尺规作图的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法及要求．分别以A、F为圆心，以大于长的一半画弧，二者分别交于两点，连接两交点，分别交于点，于点，则即为的垂直平分线；（2）本题考查了垂直平分线的性质和全等三角形的应用，运用全等三角形的性质即可证明，解答本题的关键在于运用全等三角形的性质．【解析】（1）解：①如下图，②如下图，（2），理由如下：如图，在和中，∴（）∴（全等三角形的对应边相等）．24．如图，，，，．(1)求证：；(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证；（2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证．【解析】（1）证明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；（2）证明∶如图，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴点在的垂直平分线上．又∵，∴点也在的垂直平分线上，∴垂直平分．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．25．如图，是的两条高，P是边的中点，连接．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得结论；（2）根据可得，利用等边对等角得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求得答案．【解析】（1）证明：∵是的两条高，∴和是直角三角形，又∵P为的中点，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵P为的中点，∴，又∵，∴，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，三角内角和定理的应用，关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．26．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．

(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的周长；(3)若，求的度数．【答案】(1)点在的垂直平分线上，证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答.（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得的周长，即可解答；（3）根据“等边对等角”得，由三角形内角和可得的度数.【解析】（1）点在的垂直平分线上，理由如下：连接，，．∵，分别是，的垂直平分线，∴，，∴，∴点在的垂直平分线上；（2）∵，的垂直平分线分别交于点，，∴，，的周长；

（3）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．27．以的、为边作和，且，，与相交于M，．(1)如图1，求证：；(2)在图1中，连接，则，；（都用含α的代数式表示）(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．【答案】(1)见解析(2)；(3)【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）连接，过点A作于P，于N，根据全等三角形的性质和对顶角相等求解即可；（3）连接，根据全等三角形的判定和性质求解即可．【解析】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，如图3，连接，过点A作于P，于N，

∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴平分，∴，∵∴．故答案为：；．（3）解：连接，

由（1）可得：，∴，，∵G、H分别是EC、BD的中点，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和对顶角相等，解决本题的关键是掌握全等判定和性质．28．如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．【答案】(1)见解析(2)（i）见解析；（ii）S△ACF＝8【分析】（1）先证明∠AEF＝∠CDF，然后证明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，进一步证明△ABD≌△CBF（ASA），即可证明AB＝BC；（2）（i）如图1，延长BG交CE于H，先证明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，则∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，先证明△BDN是等边三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，则