2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2025年4月）

第38页（共38页）2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025•齐齐哈尔二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AB→=a→，AC→=b→，A．a→+b→+c→ B．122．（2025•北京校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，μ∈[0，A．3 B．1+2 C．2 D．3．（2025•武汉模拟）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2，点M在平面B1BCC1上（不含三棱柱的顶点），若MA1⊥MB，则CM的最小值为（）A．3-2 B．23-2 C．4．（2025春•盐城月考）在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点D是棱PC的中点，AE→=2EBA．-203 B．﹣9 C．-2835．（2025春•盐城月考）已知两平面的法向量分别为m→=(0，A．45° B．135° C．45°或135° D．90°6．（2025春•盐城月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为棱A1C1上点并且A1E→=2EC1→．设A．23a→+b→+13c→ 7．（2024秋•龙马潭区校级期末）已知|a→|=4，空间向量e→为单位向量，〈aA．2 B．﹣2 C．-12 D8．（2024秋•桂林期末）若a→=(1，-2A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•池州模拟）在三棱锥A﹣BCD中，给定下列四个条件：①AB→②AB③AB→④AB→下列组合条件中，一定能断定三棱锥A﹣BCD是正三棱锥的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④（多选）10．（2025春•成都校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+13OBB．已知两个向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．a→=(0，1，1)，b（多选）11．（2025春•盐城月考）下列说法正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D．若空间向量a→，b→（多选）12．（2025•江苏模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP→=xAB→+yAD→+zA．当x＝y，y≠0，z≠0时，B1B∥平面ACP B．当x＝y＝z，z≠0时，异面直线AP与BC所成的角为45° C．当x+y＝1，z＝0时，D1P⊥A1C1 D．当x+y+z＝1时，线段AP的长度最小值为3三．填空题（共4小题）13．（2025•浦东新区模拟）已知a→、b→、c→为空间中三个单位向量，且a→⋅b→=b→⋅c→14．（2025春•上海校级月考）a→=(-2，1，0)，b→=(1，015．（2025春•普陀区校级月考）已知x∈R，空间向量a→=（3，1，2），b→=(1，1，-1)，c→=(5，x，0)16．（2025•上海校级模拟）已知点A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），则AB→在AC→方向上的投影为四．解答题（共4小题）17．（2025春•上海校级月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．记向量AB→=a→，向量（1）取B1C1的中点M，用向量a→，b→，c→（2）求|AM18．（2025春•滨海县校级月考）如图，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设AB→=a→，AF→=b→，AA1→=（1）A1（2）|A19．（2025春•盐城月考）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，3），C（3，0，1），设a→=AB（1）若向量a→+kb→（2）若|c→|=3，且c20．（2025春•长宁区校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°．（1）用AB→，AD→，AA1→表示AC（2）求异面直线AC与BD1所成角的大小．

2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDDAABAA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDBCABDACD一．选择题（共8小题）1．（2025•齐齐哈尔二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AB→=a→，AC→=b→，A．a→+b→+c→ B．12【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解．【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AB→=a→，AC→=b连接AN，如图，因为N为BC的中点，所以A1故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（2025•北京校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，μ∈[0，A．3 B．1+2 C．2 D．【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】直接利用向量的线性运算，当λ+μ＝1时，点P的轨迹为线段AD1，将等腰直角三角形DAD1旋转与平面D1ABC1共面，由余弦定理可求解．【解答】解：棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，如图所示，当λ+μ＝1时，点P的轨迹为线段AD1，将等腰直角三角形三角形DAD1旋转至与平面D1ABC1共面，可知PD+PB≥BD，当且仅当B，P，D三点共线取最小值，由余弦定理可得BD=故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2025•武汉模拟）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2，点M在平面B1BCC1上（不含三棱柱的顶点），若MA1⊥MB，则CM的最小值为（）A．3-2 B．23-2 C．【考点】空间向量的数量积运算；棱柱的结构特征．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】D【分析】根据空间线面的位置关系即可求解．【解答】解：由题意知，点M在以线段A1B为直径的球与平面B1BCC1的交线上，如图，取A1B的中点D，过点D作DE⊥平面B1BCC1，垂足为E，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为4，∴A1到平面B1BCC1的距离为23，则DE又侧棱长为2，∴A1可得点M在以E为圆心，以(5故CM的最小值为CE-故选：D．【点评】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．4．（2025春•盐城月考）在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点D是棱PC的中点，AE→=2EBA．-203 B．﹣9 C．-283【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据空间向量线性运算，用AB→，AC【解答】解：根据题意可作图，因为AE→=2EB因为点D是棱PC的中点，所以AD→则PE→由题意，△PAB，△ABC，△PAC都是等边三角形，PA＝AB＝4，所以AB→故PE→故选：A．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，是基础题．5．（2025春•盐城月考）已知两平面的法向量分别为m→=(0，A．45° B．135° C．45°或135° D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角．【解答】解：由已知条件得：m→⋅n→=0×0+1×(-1)+0×1=-1所以|cos所以两平面的夹角为45°．故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2025春•盐城月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为棱A1C1上点并且A1E→=2EC1→．设A．23a→+b→+13c→ 【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据向量加法的三角形法则，将BE→转化为BB1→+B1E→，再结合已知条件将B【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BE→故选：B．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024秋•龙马潭区校级期末）已知|a→|=4，空间向量e→为单位向量，〈aA．2 B．﹣2 C．-12 D【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】由空间向量a→在向量e→方向上的投影数量为【解答】解：已知|a→|=4，|则空间向量a→在向量e→方向上的投影数量为故所求投影向量的模长为2．故选：A．【点评】本题考查向量在向量上投影的定义，是基础题．8．（2024秋•桂林期末）若a→=(1，-2A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3）【考点】空间向量的加减运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】应用空间向量减法运算律计算即可．【解答】解：a→故选：A．【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•池州模拟）在三棱锥A﹣BCD中，给定下列四个条件：①AB→②AB③AB→④AB→下列组合条件中，一定能断定三棱锥A﹣BCD是正三棱锥的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可判定各选项．【解答】解：由①﹣②得AB→2=所以cos∠BAC＝cos∠CAD＝cos∠DAB，所以|BC所以由①②一定能断定三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，选项A正确；由①得AD→化简即为③，所以由①③未必能断定三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，选项B不正确；由④﹣②得DB→2=由向量的投影可知|AB所以由②④一定能断定三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，选项C正确；由③+④得AB→由选项C可知，选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查空间向量数量积的性质及运算，属中档题．（多选）10．（2025春•成都校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若对空间中任意一点O，有OP→=12OA→+13OBB．已知两个向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．a→=(0，1，1)，b【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的投影向量与投影；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项．【解答】解：对于A，若P、A、B、C四点共面，则存在λ、μ∈R，使得AP→即OP→所以OP→=(1-λ-μ)OA→+λOB→+μ因为对空间中任意一点O，有OP→但12+13+14≠1，故P、A、对于B，已知两个向量a→=(1，由a→∥b→故mn＝﹣3，故B正确；对于C，a→=(x若a→⊥b→，则对于D，若a→=(0，则a→在be→=|a故选：BC．【点评】本题考空间向量基本定理、空间向量共线定理及空间向量数量积的运算，属中档题．（多选）11．（2025春•盐城月考）下列说法正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D．若空间向量a→，b→【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等向量．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】根据空间向量的加法计算判断A，再根据基底定义判断B，根据单位向量判断C，应用向量相等判断D．【解答】解：若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→+BC单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B正确；空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；a→=b→，故选：ABD．【点评】本题主要考查向量的概念，属于基础题．（多选）12．（2025•江苏模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP→=xAB→+yAD→+zA．当x＝y，y≠0，z≠0时，B1B∥平面ACP B．当x＝y＝z，z≠0时，异面直线AP与BC所成的角为45° C．当x+y＝1，z＝0时，D1P⊥A1C1 D．当x+y+z＝1时，线段AP的长度最小值为3【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得AP→的模长的【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），因为AP→=xAB→+yAD→A选项：AP→=(x所以AP→⋅BD→=-又BB1→=(0，0，1)，则BB选项：设x＝y＝z＝a≠0，则AP→=(a设异面直线AP与BC所成的角为α，则cosα=|AP→⋅BC→C选项：设x＝a，则P（a，1﹣a，0），即D1P→则D1P→⋅A1C1→=a-D选项：|AP因为x+y+z＝1，则x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz＝1，则1＝（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤x2+y2+z2+x2+y2+x2+z2+y2+z2＝3（x2+y2+z2），即x2+y2+z2所以|AP→|=故选：ACD．【点评】本题考查立体几何中的线线关系和线面关系，考查利用空间向量求解几何问题，属中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•浦东新区模拟）已知a→、b→、c→为空间中三个单位向量，且a→⋅b→=b→⋅c→【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量线性运算的坐标表示．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】arccos2【分析】由题意可设a→=(1，0，0)，b→=(0，1，【解答】解：可设a→=(1，则p→因为|p→-所以(x两式相减可得：x＝y，再代入第一个式子，可得：2设向量p→与向量c→夹角为因为p→⋅c→=z，|p→|=x所以cosθ=p易知对于y=-74x2+此时1-24即cosθ的最大值为24，x再由余弦函数的单调性可知θ的最小值为arccos2故答案为：arccos2【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，考查了空间向量的模长公式，属于中档题．14．（2025春•上海校级月考）a→=(-2，1，0)，b→=(1，0，1)，则向量a【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（﹣1，0，﹣1）．【分析】由投影向量计算公式即可直接求解．【解答】解：因为a→=(-2，所以a→在b→上的投影向量为故答案为：（﹣1，0，﹣1）．【点评】本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．15．（2025春•普陀区校级月考）已知x∈R，空间向量a→=（3，1，2），b→=(1，1，-1)，c→=(5，x，0)【考点】空间向量的共线与共面．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】设c→=λ【解答】解：因为a→，b→，c→共面，所以存在λ，u∈R又因为a→=（3，1，2），b→所以（5，x，0）＝λ（3，1，2）+u（1，1，﹣1）＝（3λ+u，λ+u，2λ﹣u），即5=3λ+u所以x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．16．（2025•上海校级模拟）已知点A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），则AB→在AC→方向上的投影为（-32，32【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（-32，32【分析】由点A，B，C的坐标可得AB→，AC【解答】解：A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），可得AB→=（1，2，4），AC→=（﹣1，AB→•AC→=1×（﹣1）+2×1+4×2＝9，|AC→故AB→在AC→方向上的投影为AB→•AC→|AC→|•AC→故答案为：（-32，32【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•上海校级月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．记向量AB→=a→，向量（1）取B1C1的中点M，用向量a→，b→，c→（2）求|AM【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）AM→=a→+【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可；（2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可．【解答】解：（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．记向量AB→=a→，向量故：AM→（2）因为AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以a→⋅b所以AM=1所以|AM【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．18．（2025春•滨海县校级月考）如图，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设AB→=a→，AF→=b→，AA1→=（1）A1（2）|A【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】（1）23；（2）7．【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解．（2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案．【解答】解：（1）根据题意可知，底面ABCDEF为正六边形，连接对角线且交点记为O，如图：由题意，AB→=a→，则A=2ABA1由|a→|=|可得a→a→b→所以A=4|＝16+8+25﹣12﹣8﹣6＝23；（2）由（1）知AE因此|＝4+16+25﹣8+4+8＝49，所以|A【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．19．（2025春•盐城月考）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，3），C（3，0，1），设a→=AB（1）若向量a→+kb→（2）若|c→|=3，且c【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）-75；（2）c→【分析】（1）根据题意，由空间向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设c→【解答】解：（1）由题意可得，a→=AB则a→由向量a→+kb→即（k﹣1）+3（5+3k）＝0，解得k=（2）设c→=(x0，y0则x02+y0即c→=(2，【点评】本题考查的知识点：向量共线和向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．20．（2025春•长宁区校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°．（1）用AB→，AD→，AA1→表示AC（2）求异面直线AC与BD1所成角的大小．【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；空间向量的数乘及线性运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）AC→=AB→+（2）arccos6【分析】（1）由向量的线性运算，及模长公式即可求解；（2）由异面直线夹角的向量法求解即可；【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，可得AB→AB→•AD→=2×2×cos60°＝2，同理可得AB→•AAAC→=AB所以|B可得|B（2）由（1）可得：AC→2＝（AB→+AD→）2=AB→2+AD→2+2所以|AC所以AC→所以cos＜AC→，设异面直线AC与BD1所成角为θ，所以cosθ＝|cos＜AC→，BD→所以θ=【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．

考点卡片1．平面向量的相等向量【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，点E写出与AE→解：∵在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，点E∴与AE→相等的向量为EB→和2．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．3．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：4．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．5．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±6．空间向量的加减运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A1【解题方法点拨】﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算．【命题方向】﹣向量运算：考查如何进行空间向量的加法和减法运算．7．空间向量的数乘及线性运算【知识点的认识】1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±【解题方法点拨】﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．【命题方向】﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．8．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅OB解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．9．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λa（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=0不能推出【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），则分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×