2025中考数学-题型归纳讲练热点题型·专题04二次函数与二次函数中的代几综合问题(原卷版+解析)

/专题04二次函数与二次函数中的代几综合问题目录TOC\o"1-3"\h\u热点题型归纳 1题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系 1题型02二次函数小综合（判断序号正误关系） 3题型03动点图象问题 7题型04二次函数与线段及周长问题 10题型05二次函数与面积问题 15题型06二次函数与角度问题 18题型07二次函数与特殊三角形 23题型08二次函数与特殊四边形 27题型09二次函数与三角形相似问题 32题型10二次函数与定值定点定直线问题 36中考练场 40题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系是初中数学函数板块中的重要内容，在中考数学整体分值中占比约5%-8%。1.考查重点：重点考查对二次函数图象特征与性质的理解，通过图象开口方向、对称轴位置等判断函数值大小。2.高频题型：常以选择题、填空题形式出现，给定二次函数解析式或图象，比较不同自变量对应的函数值大小。3.高频考点：涉及二次函数对称轴、增减性，利用函数图象的对称性判断函数值大小。4.能力要求：要求学生具备数形结合能力，能将函数解析式与图象相互转化，通过图象分析函数值变化。5.易错点：易忽略二次函数对称轴位置对函数增减性的影响，在对称轴两侧判断函数值大小时出错。【提分秘籍】剖析函数解析式巧用函数图象根据图象直接观察：当题目给出二次函数图象时，我们可以通过观察图象上各点的高低位置来比较函数值大小。对于开口向上的图象，离对称轴越近的点，其对应的函数值越小；而对于开口向下的图象，离对称轴越近的点，对应的函数值越大。利用图象对称性和增减性即可【典例分析】例1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．例2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式演练】1．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽亳州·模拟预测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（2024·云南曲靖·一模）设，，是抛物线图象上的三点，则的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定题型02二次函数小综合（判断序号正误关系）二次函数小综合（判断序号正误关系）是初中数学函数知识体系中综合性突出的关键内容，在中考分值占比约3%-8%。1.考查重点：着重考查对二次函数性质、图象特征、解析式及知识间内在联系的深度剖析，以判别多个二次函数相关结论的对错。2.高频题型：多以选择题、填空题出现，题干罗列多个涉及二次函数不同层面的序号式结论，要求判断正误。3.高频考点：涉及二次函数对称轴、顶点坐标、增减性、最值、图象与系数关系，以及运用函数性质解决实际问题等要点。4.能力要求：学生需具备综合整合二次函数各知识点的能力，能从多元视角思考并逻辑严谨地判断结论准确性。5.易错点：易在二次函数不同性质应用条件上混淆，对复杂结论分析不全面，忽视隐含条件，导致判断序号正误失误。【提分秘籍】1.剖析题干结论2.巧用函数基本性质3.结合图象辅助思考4.注意隐藏条件【典例分析】例1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．例4．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式演练】1．（2025·陕西西安·一模）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论正确的有（

）个．①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．42．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2024·湖北随州·二模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2025·山东临沂·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于，且．下列结论：①；②直线与的交点个数为1个；③；④．正确的有（填序号）．5．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③关于x的不等式的解集为或；④．其中正确的结论是．（填写序号）题型03动点图象问题二次函数动点图象问题是初中数学函数知识领域中综合性与动态性兼具的内容，在中考中分值占比约为3%-7%。1.考查重点：重点考查如何将动点的运动过程与二次函数的图象及性质建立联系，分析因动点位置改变引发的函数关系变化。2.高频题型：多以选择题、填空题以及简答题部分出现，给出动点在图形中的运动情境，要求判断对应的二次函数图象或求解相关函数表达式。3.高频考点：涵盖动点运动路径分析、根据几何图形性质确定二次函数的各项系数、函数图象与动点运动阶段的对应关系等。4.能力要求：学生需具备较强的动态分析能力，能够把几何图形中动点的运动转化为代数函数问题，还要有良好的数形结合思维以及逻辑推理能力。5.易错点：易在动点运动过程的分段分析上出错，忽略不同阶段函数关系的变化，对复杂几何图形中动点与函数图象对应关系把握不准确。【提分秘籍】1.确定动点轨迹2.分段分析运动过程3.建立函数表达式4.分析函数关键特征5.结合图象与选项（针对选择填空题）若题目是选择或填空题，给出多个函数图象选项。根据前面分析的动点运动阶段、函数关键特征，排除明显不符合的选项。例如，已知函数开口向下，可排除开口向上的图象选项；若函数在某区间增减性，不符合此增减性性的图象也可排除，以此提高解题效率。【典例分析】例1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（

）A． B．C． D．例2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（

）

A． B． C． D．【变式演练】1．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（

）A． B．C． D．题型04二次函数与线段及周长问题二次函数与线段及周长问题（解答题）是初中数学函数与几何知识融合的关键内容，在中考里分值占比约8%-10%。1.考查重点：重点考查运用二次函数知识解决线段长度计算、周长最值探究以及建立函数模型描述线段和周长随动点变化的规律。2.高频题型：以解答题形式呈现，常设定几何图形中有动点，围绕求线段长度、构建周长关于某变量的二次函数并求最值等进行设问。3.高频考点：涉及二次函数解析式求解、线段长度公式（如两点间距离公式）、几何图形性质（相似、全等）用于线段关系推导、二次函数最值求解。4.能力要求：学生需要具备综合运用代数与几何知识的能力，能把几何问题转化为函数问题，熟练运用数学公式进行计算和推理。5.易错点：容易在构建函数模型时出错，忽视几何图形中的隐含条件，计算线段长度和函数最值时出现运算失误。【提分秘籍】1.准确分析图形标注已知信息：拿到题目后，仔细观察几何图形，将已知的线段长度、角度、点的坐标等信息清晰标注在图上。比如在一个给定的三角形中，若已知某条边的长度信息，就在这条边上明确标记。挖掘隐含条件：留意图形中的特殊关系，像直角三角形的勾股定理关系、等腰三角形两腰相等、平行四边形对边平行且相等。例如，若图形中有一个平行四边形，其隐含条件就是对边长度相等，可据此建立线段之间的等式。2.构建函数模型3.求解函数最值4.检查答案合理性【典例分析】例1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．例2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)已知直线与，轴分别相交于点，．①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．例3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．【变式演练】1．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标；(3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值．2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．3．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值；(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？题型05二次函数与面积问题二次函数与面积问题（解答题）是初中数学里函数知识和几何面积知识相互渗透的关键内容，在中考中分值占比大约为5%-10%。1.考查重点：重点考查利用二次函数构建面积模型，通过函数性质分析图形面积的变化规律，以及求解面积的最值或特定面积值对应的条件。2.高频题型：常以解答题形式出现，在给定的二次函数图象与几何图形背景下，设置动点或动图形，围绕求图形面积、面积与变量的函数关系及面积最值等问题展开。3.高频考点：涵盖二次函数解析式的确定、几何图形面积公式的运用（如三角形、四边形面积公式）、利用函数性质（如增减性、最值）求解面积相关问题，以及通过相似、全等关系转化面积。4.能力要求：学生需具备将几何图形中的面积问题转化为二次函数问题的能力，熟练运用代数方法进行计算，还要能灵活运用几何知识分析图形关系。5.易错点：易在构建面积与函数关系时出错，忽略图形中隐含的限制条件，计算面积过程中因公式运用不当或计算失误导致错误。【提分秘籍】1.精准剖析题意，明确变量关系标记关键信息：确定自变量：2.灵活选用面积公式，构建函数模型基本图形面积公式运用：分割与拼接图形求面积：用自变量表示图形边长或高：3.借助函数性质，求解面积最值4.全面检查，规避易错点【典例分析】例1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．(1)求b、c的值；(2)求的面积的最大值．例2．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．例3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(3)连接，交于点，求的最大值．【变式演练】1．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标；(3)直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，点的坐标是什么？的最大面积是多少？2．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足．(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N的坐标．(3)如图3，连接，点D是线段上的一个动点，过点D作交于点E，于点F，连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，连接，，并把沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求出点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段的长．题型06二次函数与角度问题二次函数与角度问题（解答题）是初中数学中函数知识与几何角度知识深度融合的重要内容，在中考里分值占比约5%-10%。1.考查重点：重点考查运用二次函数性质及图象特征，结合几何图形中的角度关系，通过构建方程或函数模型来求解角度大小、探究角度变化规律以及基于角度条件确定函数相关参数。2.高频题型：主要以解答题形式呈现，给定二次函数图象与几何图形，设置动点引发角度变化，围绕求特定角度值、判断角度之间的关系（如相等、互余等）、依据角度条件求二次函数解析式等进行设问。3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标）、三角函数知识（正弦、余弦、正切在求角度中的应用）、几何图形（三角形、四边形）内角和定理、相似三角形对应角相等性质以及利用角度相等构建方程求解函数参数。4.能力要求：学生需要具备跨知识模块的综合运用能力，能将几何图形中的角度问题转化为代数方程或函数问题，熟练运用三角函数公式、几何图形性质进行推理计算，同时具备较强的逻辑思维和分析问题能力。5.易错点：容易在将角度关系转化为代数关系时出错，忽视几何图形中隐含的角度条件，对三角函数知识的运用不够熟练，导致在计算角度和求解函数参数过程中出现错误。【提分秘籍】1.剖析题目，挖掘信息标记关键元素：分析角度关系：2.建立角度与函数的桥梁借助三角函数：利用几何图形性质：3.构建方程或函数模型求解4.检查与验证【典例分析】例1．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．(1)求抛物线的表达式；(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．

(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．(3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．例3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．(1)分别求抛物线和的表达式；(2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；(3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．例4．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式演练】1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值；(3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．(1)抛物线的表达式为_________；(2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标；(3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D(1)求二次函数的解析式；(2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标；(3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标；题型07二次函数与特殊三角形二次函数与特殊三角形（解答题）是初中数学中函数知识与几何特殊三角形知识深度融合的重要内容，在中考中分值占比约为6%-10%。1.考查重点：重点考查运用二次函数性质与图象特征，结合等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，通过建立方程或函数模型来求解三角形的边长、角度、探究三角形存在性及相关位置关系。2.高频题型：多以解答题形式呈现，给定二次函数图象与几何图形背景，设置动点，围绕构建特殊三角形（如判定是否存在等腰三角形、直角三角形）、求特殊三角形的边长或顶点坐标等进行设问。3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、函数解析式求解）、特殊三角形（等腰三角形两腰相等、三线合一；直角三角形勾股定理、锐角三角函数）的性质与判定、利用几何图形中的线段关系和角度关系建立方程或函数。4.能力要求：学生需具备综合运用代数与几何知识的能力，能将几何中的特殊三角形问题转化为二次函数问题，熟练运用数学公式进行推理和计算，还要有较强的逻辑思维和分类讨论意识。5.易错点：容易在分类讨论特殊三角形的不同情况时有所遗漏，忽视几何图形中的隐含条件，在建立方程或函数模型以及求解过程中出现运算错误。【提分秘籍】1.快速识别关键条件标记函数信息：锁定三角形条件2.运用知识建立等式利用特殊三角形性质：等腰三角形：若已知等腰三角形，根据两腰相等，设动点坐标表示出三边长度，列等式求解。直角三角形：依据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。若已知直角顶点，设动点坐标后表示出三边，代入勾股定理等式。结合二次函数性质：把特殊三角形的边或角与二次函数联系起来。若动点在二次函数图象上，将动点坐标代入函数解析式。3.分类讨论不重不漏等腰三角形分类：分腰和底的情况讨论。当确定某三角形为等腰三角形时，分别假设不同的边为腰，列出相应方程求解。直角三角形分类：分不同顶点为直角顶点讨论。对于可能是直角三角形的情况，分别假设三个顶点为直角顶点，利用勾股定理列方程。4.检查答案确保正确【典例分析】例1．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式演练】1．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A．C(点A在点C的右侧)．与y轴交于点B．直线经过点A，B．(1)求A，B，C三点的坐标及直线的表达式．(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点Q，设点P的横坐标为．的长为L．①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；②若与交于点D，求m的值．(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，．(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式．(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值．(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．3．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．(1)求二次函数的表达式；(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．题型08二次函数与特殊四边形二次函数与特殊四边形（解答题）是初中数学里函数知识与特殊四边形几何性质深度融合的重要内容，在中考中分值占比大约为6%-10%。1.考查重点：重点考查综合运用二次函数的性质与图象特征，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质，建立方程或函数模型来探究特殊四边形的存在性、边长、角度以及相关位置关系。2.高频题型：多以解答题形式呈现，在给定二次函数图象及几何图形背景下，设置动点，围绕判定是否能构成特殊四边形、求特殊四边形顶点坐标、探究特殊四边形面积最值等问题展开。3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、解析式求解）、特殊四边形（平行四边形对边平行且相等、矩形对角线相等且互相平分、菱形四条边相等且对角线互相垂直平分、正方形兼具矩形与菱形所有性质）的判定与性质，以及利用几何图形中的线段关系、角度关系建立方程或函数。4.能力要求：学生需具备较强的代数与几何综合运用能力，能够将几何中的特殊四边形问题转化为二次函数问题，熟练运用数学公式进行推理和运算，还要有敏锐的逻辑思维与全面的分类讨论意识。5.易错点：容易在分类讨论特殊四边形不同情况时出现遗漏，忽视几何图形中的隐含条件，在建立方程或函数模型以及求解过程中因运算复杂而出现错误【提分秘籍】1.透彻分析已知条件梳理函数信息提取四边形条件：仔细研读题目中关于特殊四边形的已知内容，若是平行四边形，留意已知的边的关系、顶点坐标；若是矩形，关注直角相关信息、对角线特征；菱形则注意边长、对角线性质；正方形综合了矩形和菱形的特性。把这些关键信息在几何图形上清晰标注，方便后续分析。2.灵活运用特殊四边形性质构建等式平行四边形性质运用：利用平行四边形对边平行且相等的性质。矩形性质运用：依据矩形对角线相等且互相平分。菱形性质运用：菱形四条边相等，设动点坐标表示出各边长度，根据边长相等列方程。正方形性质运用：正方形兼具矩形和菱形性质。既可以利用四条边相等、对角线相等且互相垂直平分，也可以利用直角关系来建立方程。3.合理进行分类讨论按特殊四边形类型分类：当题目未明确特殊四边形具体类型时，需分别讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形的情况。例如，已知四个点，判断能否构成特殊四边形，就依次按照平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件去分析。按动点位置分类：若存在动点，根据动点在不同线段、不同区域运动进行分类。比如动点在一个矩形的四条边上运动，分别讨论动点在每条边上时，如何构成特殊四边形，建立相应方程求解。4.检查答案的准确性与合理性【典例分析】例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．例2．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．例3．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式演练】1．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点．(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标；(3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．4．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．(1)求抛物线的函数表达式；(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．题型09二次函数与三角形相似问题二次函数与三角形相似问题（解答题）是初中数学中函数知识与三角形相似几何性质相互融合的重要内容，在中考里分值占比约5%-10%。1.考查重点：重点考查综合运用二次函数的性质与图象特征，结合三角形相似的判定定理和性质，通过建立方程或函数模型来求解三角形的边长、角度、探究相似三角形的存在性以及相关线段的比例关系。2.高频题型：多以解答题形式呈现，给定二次函数图象与几何图形背景，设置动点，围绕判定三角形相似、求相似三角形的对应边或对应角、利用相似关系求二次函数的参数或动点坐标等问题展开。3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、解析式求解）、三角形相似的判定（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）与性质（对应边成比例、对应角相等），以及利用相似三角形对应边的比例关系建立方程或函数。4.能力要求：学生需具备将代数函数与几何相似三角形问题相互转化的能力，熟练运用数学公式进行推理和运算，还要有较强的逻辑思维与分类讨论意识，能准确分析题目中的几何关系和函数关系。5.易错点：容易在分类讨论相似三角形的不同对应情况时有所遗漏，忽视几何图形中的隐含条件，在建立方程或函数模型以及求解过程中出现运算错误，对相似三角形判定定理和性质的运用不够准确。【提分秘籍】1.全面剖析已知条件深挖函数信息：梳理三角形条件：对于题目中涉及的三角形，标记已知的边长、角度信息。若有多个三角形，关注它们之间可能存在的关联，比如是否有公共角、平行关系等暗示相似的线索。2.精准判定三角形相似运用判定定理：分类讨论对应关系：由于相似三角形对应顶点不确定，需分情况讨论。借助相似性质建立方程利用对应边成比例：结合函数关系：仔细求解并检验答案【典例分析】例1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【变式演练】1．（2024·广东惠州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的解析式．(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．2．（2024·海南海口·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接、，求的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．3．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．(1)求点A，B，C的坐标．(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．(1)如图1，求的值及直线的解析式；(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．题型10二次函数与定值定点定直线问题二次函数与定值定点定直线问题（解答题）是初中数学中函数知识与几何特定要素深度融合的关键内容，在中考里分值占比约3%-7%。1.考查重点：重点考查综合运用二次函数性质、图象特征以及代数运算方法，探究几何图形中与二次函数相关的量为定值、点为定点、直线为定直线的情况，以及证明相关结论。2.高频题型：多以解答题形式出现，在给定二次函数解析式及几何图形背景下，设置动点或参数，围绕探究某线段长度、图形面积等为定值，某点坐标不随动点或参数变化为定点，某直线方程固定不变为定直线等问题展开。3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、解析式求解）、代数式的恒等变形、利用特殊值法或参数法确定定点坐标，以及通过几何图形性质与函数关系推导定直线方程和定值的计算。4.能力要求：学生需具备较强的代数运算能力、逻辑推理能力以及将几何问题转化为代数问题的能力，能够运用数学方法对动态变化中的定值、定点、定直线进行分析和证明。5.易错点：容易在复杂的代数运算中出错，对参数的处理不当，在探究过程中遗漏特殊情况，难以准确找到证明定值、定点、定直线的关键思路和方法。【提分秘籍】1.定值问题求解思路设参表示相关量：面对定值问题，先设出与动点或图形变化相关的参数。化简消参得定值：对表示出的代数式进行化简，通过代数运算技巧，如合并同类项、因式分解、分式化简等，尝试消去参数。若化简后得到一个不含有参数的常数，即证明该量为定值。2.定点问题突破方法特殊值法初探定点：先考虑特殊情况，给参数取特殊值，得到不同情况下的函数表达式或几何图形状态整理含参式子确定定点：将含参数的函数或方程进行整理，把参数分离出来。定直线问题解决策略设直线方程代入条件：设所求定直线方程为y=kx+b（k、b为待求系数）。根据题目中给出的与二次函数和几何图形相关的条件，将点坐标代入直线方程，或者利用直线与二次函数的位置关系等条件，得到关于k、b的方程或方程组。消元化简得定直线：通过对得到的方程或方程组进行消元化简，消除与动点相关的变量，求出k、b的值，从而确定定直线方程。【典例分析】例1．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数．(1)若它的图像经过点，求该函数的对称轴．(2)若时，y的最小值为1，求出t的值．(3)如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．例2．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点．(1)直接写出，两点坐标；(2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标；(3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点．【变式演练】1．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过原点，且顶点坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点Q的坐标；(3)如图（2），过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标；(3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．3．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图（1），P是抛物线上异于A，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好在直线上，求点P的坐标(3)如图（2），M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线．4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标．一、单选题1．（2024·云南昆明·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（

）A． B．C． D．2．（2024·福建福州·模拟预测）二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（

）①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图像如图所示．则下列结论①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（为实数），其中正确的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤5．（2024·四川南充·模拟预测）已知直线与抛物线交于点，与直线交于点．下列说法：①抛物线的顶点一定在直线上；②直线始终在抛物线的下方；③线段长度的最小值为3；④当时，若的长度随的增大而减小，则．其中正确的说法是（

）A．①②③ B．①②④ C．23④ D．①②③④二、填空题6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，点，,在函数的图像上，则，，的大小关系是．7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为．8．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④(m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是．9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为．10．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论：①；②关于x的方程的正实数根在1和之间；③若抛物线经过点和，则点在直线的下方；④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时，其中正确的结论是．（填序号）三、解答题11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线：交x轴于，B两点，与y轴交于点．(1)写出抛物线的解析式；(2)如图1，E是第四象限抛物线上一点，交y轴于点D，若，求直线的解析式；(3)如图2，平移抛物线得到抛物线，使其顶点为，Q为x轴上一点，直线和与抛物线都只有一个公共点，且分别与y轴交于点F，G，P为y轴上点F，G上方一点，若，求点P的坐标．12．（2024·广东汕头·模拟预测）综合运用．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点，，刚好在抛物线的图图象上，连接并延长交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若与关于轴对称，连接，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由；(3)把抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，，分别是两抛物线的顶点，为直线上的一动点．当是直角三角形时，求点的坐标．13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知点和点在抛物线上．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为．①求的值；②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值．14．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，点，并与轴有另一交点．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值；(3)在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时的取值范围．15．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为，点在抛物线上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标；(3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积．

专题04二次函数与二次函数中的代几综合问题目录TOC\o"1-3"\h\u热点题型归纳 1题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系 1题型02二次函数小综合（判断序号正误关系） 4题型03动点图象问题 17题型04二次函数与线段及周长问题 27题型05二次函数与面积问题 46题型06二次函数与角度问题 65题型07二次函数与特殊三角形 98题型08二次函数与特殊四边形 116题型09二次函数与三角形相似问题 140题型10二次函数与定值定点定直线问题 156中考练场 173题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系是初中数学函数板块中的重要内容，在中考数学整体分值中占比约5%-8%。1.考查重点：重点考查对二次函数图象特征与性质的理解，通过图象开口方向、对称轴位置等判断函数值大小。2.高频题型：常以选择题、填空题形式出现，给定二次函数解析式或图象，比较不同自变量对应的函数值大小。3.高频考点：涉及二次函数对称轴、增减性，利用函数图象的对称性判断函数值大小。4.能力要求：要求学生具备数形结合能力，能将函数解析式与图象相互转化，通过图象分析函数值变化。5.易错点：易忽略二次函数对称轴位置对函数增减性的影响，在对称轴两侧判断函数值大小时出错。【提分秘籍】剖析函数解析式巧用函数图象根据图象直接观察：当题目给出二次函数图象时，我们可以通过观察图象上各点的高低位置来比较函数值大小。对于开口向上的图象，离对称轴越近的点，其对应的函数值越小；而对于开口向下的图象，离对称轴越近的点，对应的函数值越大。利用图象对称性和增减性即可【典例分析】例1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶二次函数的对称轴为y轴，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，∵点都在二次函数的图象上，且，∴，故选∶A．例2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．【变式演练】1．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向．先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答．【详解】解：∵，∴函数图象开口向下，∵二次函数的对称轴为直线，∴关于对称轴的对称点为，∵当时，y随x的增大而增大，，∴．故答案为：B．2．（2024·安徽亳州·模拟预测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式，求出对称轴，根据函数对称性进行判断即可．【详解】解：，对称轴，开口向下，，在对称轴的右侧，随的增大而减小，，，根据二次函数图像的对称性可知，与关于对称轴对称，故，故选：D．3．（2024·云南曲靖·一模）设，，是抛物线图象上的三点，则的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，∴关于称轴是直线的对称点是，∵，∴，故选：A．题型02二次函数小综合（判断序号正误关系）二次函数小综合（判断序号正误关系）是初中数学函数知识体系中综合性突出的关键内容，在中考分值占比约3%-8%。1.考查重点：着重考查对二次函数性质、图象特征、解析式及知识间内在联系的深度剖析，以判别多个二次函数相关结论的对错。2.高频题型：多以选择题、填空题出现，题干罗列多个涉及二次函数不同层面的序号式结论，要求判断正误。3.高频考点：涉及二次函数对称轴、顶点坐标、增减性、最值、图象与系数关系，以及运用函数性质解决实际问题等要点。4.能力要求：学生需具备综合整合二次函数各知识点的能力，能从多元视角思考并逻辑严谨地判断结论准确性。5.易错点：易在二次函数不同性质应用条件上混淆，对复杂结论分析不全面，忽视隐含条件，导致判断序号正误失误。【提分秘籍】1.剖析题干结论2.巧用函数基本性质3.结合图象辅助思考4.注意隐藏条件【典例分析】例1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；【详解】解：①抛物线开口向上，，，∴当时，，故①不符合题意；②∵抛物线过点，∴函数的最小值，∴有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∵，，∴抛物线的对称轴为直线，且，∴，而，∴，∴，故③不符合题意；④∵抛物线过点，∴，∵时，，即，当时，，∴，∴，∴，故④符合题意；⑤∵，，∴，由根与系数的关系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合题意；故选：C．例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴,∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，∴与x轴的另一个交点在、0之间，∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；∵抛物线与直线有两个交点，∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，∴，∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴，∴，∴．故④错误．综上，①③正确，共2个．故选：B．例3．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有，又，∴点离较远，∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．例4．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断．【详解】解：由题图可知，，，故①正确；当时，，即，故②正确；二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，多项式，故③错误；当时，有最大值，即，当时，抛物线与直线的图象无交点，即关于x的方程无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故选：C．【变式演练】1．（2025·陕西西安·一模）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论正确的有（

）个．①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．【详解】解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，符号相同，，与y轴的交点在之间（不含端点），，，故①不正确；对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴交于另一点为，当时，，故②不正确；由题意可得方程的两个根为，，，，，，故③正确；若方程两根为，则直线与抛物线的交点的横坐标为，直线过第一、二、三象限且过点，直线与抛物线的交点在第一，三象限，如图所示，由图象可知，故④正确；综上所述，正确的结论是③④，有个，故答案为：B.2．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；由图象可得：当时，，∴，故②错误；∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴，∴，，∴，∴，故③正确；∵图象过点，对称轴为，∴图象与轴的另一个交点为，由图象可得，当时，或，故④错误，∵，是抛物线上两点，且，，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有①③⑤；共个，故选：B．3．（2024·湖北随州·二模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质．将代入得，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．【详解】解：将代入，可得，故①正确；二次函数图象的对称轴为直线，点到对称轴的距离分别为：4，1，3，，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，，故②错误；二次函数图象的对称轴为直线，，又，，，当时，y取最大值，最大值为，即二次函数的图象的顶点坐标为，若m为任意实数，则，故③正确；二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与x轴的另一个交点坐标为，的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，若方程的两实数根为，且，则，，故④正确；综上可知，正确的有①③④，共3个故选：B．4．（2025·山东临沂·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于，且．下列结论：①；②直线与的交点个数为1个；③；④．正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴，与轴的交点，判断①，图象法判断②，最值判断③，平方差公式结合对称性判断④．【详解】解：由图象可知：，∴，∴，故①正确；∵抛物线的顶点坐标为：，∴直线与的交点个数为1个；故②正确；∵时，函数有最大值，当时，，∴，即：，故③正确；∵抛物线与x轴分别交于，且，∴，∴，∴，故④正确；故答案为：①②③④．5．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③关于x的不等式的解集为或；④．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①③④【分析】本题综合考查了二次函数的图象和性质，以及不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．根据，抛物线开口向下，经过，抛物线与轴交点必然在点上方，当时，，故①正确，符合题意；抛物线过点，得到，抛物线对称轴，因为抛物线过点，，且，设抛物线与轴另外一个交点为，则，得到抛物线对称轴，抛物线对称轴所在范围是：，故②错误；将不等式，变形为，抛物线与直线都经过点和，数形结合可得到不等式解集或，故③正确，符合题意；结合图象，将代入可得，，将代入，得到，化简得，故④正确，符合题意．【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，如图所示，，抛物线开口向下，经过，抛物线与轴交点必然在点上方，当时，，故①正确，符合题意，抛物线过点，，即，抛物线对称轴，，，，，又抛物线过点，，且，设抛物线与轴另外一个交点为，则，抛物线对称轴，抛物线对称轴所在范围是：，故②错误，不符合题意；，，抛物线与直线都经过点和，如图，结合图象可知，不等式的解集即对应抛物线在直线图象的下方时，对应自变量的取值范围，由图象可知此时或，原不等式的解集为或，故③正确，符合题意；结合图象，当时，的函数值大于零，可得，，，即，，故④正确，符合题意；故答案为：①③④.题型03动点图象问题二次函数动点图象问题是初中数学函数知识领域中综合性与动态性兼具的内容，在中考中分值占比约为3%-7%。1.考查重点：重点考查如何将动点的运动过程与二次函数的图象及性质建立联系，分析因动点位置改变引发的函数关系变化。2.高频题型：多以选择题、填空题以及简答题部分出现，给出动点在图形中的运动情境，要求判断对应的二次函数图象或求解相关函数表达式。3.高频考点：涵盖动点运动路径分析、根据几何图形性质确定二次函数的各项系数、函数图象与动点运动阶段的对应关系等。4.能力要求：学生需具备较强的动态分析能力，能够把几何图形中动点的运动转化为代数函数问题，还要有良好的数形结合思维以及逻辑推理能力。5.易错点：易在动点运动过程的分段分析上出错，忽略不同阶段函数关系的变化，对复杂几何图形中动点与函数图象对应关系把握不准确。【提分秘籍】1.确定动点轨迹2.分段分析运动过程3.建立函数表达式4.分析函数关键特征5.结合图象与选项（针对选择填空题）若题目是选择或填空题，给出多个函数图象选项。根据前面分析的动点运动阶段、函数关键特征，排除明显不符合的选项。例如，已知函数开口向下，可排除开口向上的图象选项；若函数在某区间增减性，不符合此增减性性的图象也可排除，以此提高解题效率。【典例分析】例1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设交于点，∵菱形，，∴又∵，∴是等边三角形，∵，，∴∴∴当时，重合部分为，如图所示，依题意，为等边三角形，运动时间为，则，∴当时，如图所示，依题意，，则∴∴∵∴当时，当时，同理可得，当时，同理可得，综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．例2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长．【详解】解：根据题意知，，，∵四边形为菱形，，∴，过点M作于点H，连接交于点O，如图，

则，那么，的面积为，设菱形的边长为a，∴，∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，∴，解得，（负值舍去），∴．故选：C．【变式演练】1．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，为的中点，，又，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图：在中，，，，，设，则，在中，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，，为线段的垂直平分线，，，，，，，，而，，即，整理得：，，，当时，，当时，，顶点坐标为，该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点，故选：A