专题08平面向量（十大题型）

专题08平面向量向量共线1．（广东省深圳市红岭中学20222023学年高三上学期期中）下列命题中正确的是（

）A．若、都是单位向量，则＝B．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若∥，且∥，则∥D．与是两平行向量【答案】D【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可.【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形；选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量.故选：D.2．（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为.【答案】【分析】根据向量共线的判定定理运算求解.【详解】因为向量不共线，则，若与共线，则存在实数，使得，所以，解得.故答案为：.3．（广东省广州六中2023届高三上学期期中）已知向量，，．若，则实数m的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算法则以及共线定理，计算可得结果.【详解】由题意可知，，又，所以，即得.故选：C.4．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则.【答案】【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数，使得，即可求得参数.【详解】因为，，三点共线，故可得//，则存在非零实数，使得，又，，故可得，又非零向量不共线，故可得，解得.故答案为：.平面向量基本定理5．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据已知列等式计算即可求出.【详解】由题意，是上一点，设，则，又，所以，所以，所以，解得.故选：C6．（辽宁省抚顺市六校协作体20222023学年高三上学期期中）在中，为边上的中线，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的运算法则与共线定理的应用，转化为基底向量的线性关系即可.【详解】解：由题可得图，如下：则，又为边上的中线所以，则.故选：D.7．（湖北省武汉市江北重点高中20222023学年高三上学期期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，若，则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求出，即可得到答案.【详解】因为平行四边形的对角线相交于点，所以.因为，所以.所以.故选：C8．（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学20222023学年高三上学期期中）（多选）如图，在平行四边形中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解．【详解】因为在平行四边形中，已知分别是靠近的四等分点，由，所以A正确；由，所以B不正确；由，所以C正确；由，所以D正确．故选：ACD．9．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期中）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.(1)用、表示向量、；(2)若向量与共线，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，所以，，因为，则，所以，.（2）解：因为，因为向量与共线，则存在，使得，即，所以，，解得.求数量积10．（安徽省卓越县中联盟20222023学年高三上学期期中）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．9 B． C．16 D．【答案】C【分析】根据数量积的定义与运算律计算.【详解】

．故选：C11．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（

）A． B． C．10 D．20【答案】C【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果.【详解】记的中点为，连结，如图，因为点为的外心，为的中点，所以，则，所以.故选：C.12．（华师─附中等T8联考20222023学年高三上学期期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则.【答案】8【分析】可分别构造与，分别求得的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出以及的值.又，根据数量积的定义即可求得.【详解】方法一：图3如图3，取中点为，连结，显然过点.易知，，，则，，.所以，.图4如图4，延长交于，易知是的中点，且.则，，在中，，.所以，.所以，.故答案为：8.方法二：图5取中点为，连结，显然过点.易知，，，如图5，取中点为，显然，，.在中，，.又为中点，则.所以，.故答案为：8.13．（广东省梅州市兴宁市东红中学2023届高三上学期期中）已知菱形的边长为，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得出，再求出的夹角，进而得出结果.【详解】如图，菱形的边长为，，则,，,的夹角为，所以.故选：D.14．（福建省福州市八县（市）协作校2023届高三上学期期中）在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】根据题意可得，再利用数量积的定义化简求出.【详解】在平行四边形ABCD中，,所以.故选：D.求两个向量的夹角15．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知平面向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的夹角公式求出，再由判断出，即可得到答案.【详解】因为与的夹角为钝角，所以.所以，即，解得：.而与反向时，，此时，即，解得：，不符合题意.所以且.故选：D16．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知非零单位向量，满足，则与的夹角余弦值为.【答案】/【分析】由已知两等式平方后可解得得，进而可求解.【详解】，，又，，，，设与的夹角为，则.故答案为：17．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）（多选）设为单位向量，满足，设的夹角为，下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为2C．最小值为D．当时，使方程成立的一定是负数【答案】ACD【分析】利用向量的数量积运算律以及夹角公式，模长公式即可求解.【详解】，故A正确；故B错误；故C正确；，因为，所以即一定是负数，故D正确；故选:ACD.18．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知向量满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐标表示求，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律求解即可.【详解】由可得，因为，解得，所以，又因为，所以与的夹角为，故选：D19．（湖北省“宜荆荆恩”20222023学年高三上学期期中）已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角公式和向量数量积的运算律计算可得答案.【详解】解：因为向量，满足，，，所以，又，∴．故选：C.向量的模20.（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）已知向量．若不超过5，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合向量的坐标运算解不等式即可求解.【详解】因为，所以，，即，解得.故选：A21．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知向量，满足，，且，则.【答案】【分析】由数量积的性质化简可得，再由数量积的性质求.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，又，，所以，故答案为：.22．（湖北省荆荆宜三校20222023学年高三上学期期中）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据模长公式求出，进而求出，再利用模长公式进行求解.【详解】因为，所以，所以，则，所以，即．故选：C．23.（山东省威海市第四中学20222023学年高三上学期期中）已知非零向量的夹角为60°，且，则（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用数量积的计算即可求得.【详解】由题意得.又，∴，即，又，解得.故选：A24．（2022秋·浙江·高三浙江省三门中学校联考期中）已知平面向量，，满足，，则的最小值是.【答案】【分析】已知展开联立方程组，解得，利用将两者建立起关系，解不等式得的范围﹒【详解】∵，∴．∵，∴，∴，且∵，解得，∴，即的最小值为，故答案为：﹒求投影向量25．（2022秋·广东汕头·高三统考期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据已知条件的点为中点，又因为点为的外接圆圆心，得，再根据得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】已知，故点为中点，又因为点为的外接圆圆心，故为直角三角形，且.由于，易知为等边三角形，过点作的垂线，垂足为，设，则.因此可得：向量在向量上的投影向量为.故选：A26．（湖南省长沙市南雅中学20222023学年高三上学期期中）已知向量，．(1)若，求在上的投影向量的模长；(2)若，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量模和数量积的坐标表示求出、，结合投影向量的概念计算即可求解；（2）根据平面向量模的坐标表示可得，，利用垂直向量数量积为0，结合数量积的运算律计算即可求解.【详解】（1）由题意得当时,,则，，所以在上的投影向量的模为．（2）由，，由，得，即，解得．27．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，通过求出的值，即可求出在上的投影向量.【详解】解：由题意，∴，，解得：∴在上的投影向量为：故选：B.28．（安徽省六安市省示范高中20222023学年高三上学期期中）已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果.【详解】，，，又，，，，为等边三角形，；在上的投影向量为.故选：C.29．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知向量和向量，则在上的投影向量的坐标为．【答案】【分析】根据投影向量的公式计算直接得出答案.【详解】在上的投影向量的坐标为：，故答案为：.基底法求最值、范围问题30.（2022秋·湖南长沙·高三长沙市明德中学上学期期中）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.【详解】连接MD，则，，所以，由于为等腰直角三角形，为线段上的点，所以因此，所以，即的最小值为.故答案为：.31．（湖南师范大学附属中学20222023学年高三上学期期中）已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于．【答案】．【详解】令，，设（），∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故填：．32．（山东省济宁市20222023学年高三上学期期中）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，

因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，所以.故选：A【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.33．（海南省海口市海南昌茂花园学校2023届高三上学期期中）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围【详解】法一：因为在上，不妨设，则（其中）所以，因为，所以法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，其中，，∴∵∴故选：D.坐标法求最值、范围问题34.（2022秋·河北·高三期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】利用坐标法，以为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量，再求解二次函数最值即可.【详解】建立如图所示的坐标系,则,设,则,且,故当时,的最小值为,故选：D.35．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围.【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，则，设，则，因为，所以，.故选：B36．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C37．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）如图直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为．【答案】/【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可.【详解】解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，因为，所以，所以，，所以，向量在向量上的投影向量为，故其模为.因为，分别为线段，上的动点，所以，设，，所以，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；数形结合法求最值、范围问题38.（湖南省怀化市第五中学20222023学年高三上学期期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．2【答案】A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.39．（湖南省株洲市五雅中学20222023学年高三上学期期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为．【答案】/【分析】设，由题意分析知，所求为的最大值，设，的中点，由可得，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，求解即可.【详解】设，因为，所以，所求为的最大值，当在同一平面时，有最大值，如图建系，不妨设，的中点，由条件可知，，，，由可知，，消参可得：，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，所以的最大值为，故的最大值为.故答案为：.40．（20222023学年高三上学期期中）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为.【答案】6【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为6.故答案为：641．（2022秋·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考期中）已知是平面向量，其中是单位向量．若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】以向量的起点为原点，以为的正方向，建立平面直角坐标系，则，设，则由得，所以由得，所以点在直线上，点在圆，又，所以等于点到点的距离，圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即故选：A.42．（广东省罗定中学城东学校2023届高三上学期期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则,设点，则,故，故当，即P点坐标为时，取到最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.向量新定义43．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中）对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由题意可可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论．【详解】解：，故．又由，可设，，令，，且又夹角，所以，对，进行赋值即可得出所以．故选：C．44．（湖南省怀化市新博览20222023学年高三上学期期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标.【答案】【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解.【详解】由题意可得，因为点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，所以，设点坐标为，则，解得，，即点的坐标为，故答案为：45．（湖北省武汉市部分学校联合体20222023学年高三上学期期中）（多选）定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（

）A．B．C．，则D．【答案】BC【分析】根据的运算法则，逐项化简求解，即可得出答案.【详解】对于A项，，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以.因为，所以或，所以，故C项正确；对于D项，因为与相同或互补，所以.，，故D项错误.故选：BC.46.（江苏省盐城市滨海县东元高级中学等三校20222023学年高三上学期期中）当时，称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件为；③向量垂直于向量的充要条件为；其中真命题是．【答案】①②【分析】对于①：设为中点，利用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断.【详解】由题意：,.对于①：设为中点，所以.所以线段的中点的广义坐标为.故①正确；对于②：向量平行于向量，其中，故②正确；对于③：向量垂直于向量.而.故③不一定成立.故答案为：①②.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解广义坐标的定义，再结合中线定理和向量共线定理以及向量垂直的充要条件一一判断即可.一、单选题1．（江苏省徐州市菁华高级中学20222023学年高三上学期期中）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.【详解】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.2．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】选为基底分别把表示出来，然后代入中，的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然，故，只有C选项满足，故选C.【详解】设则显然得显然因为所以有即根据向量的性质可知解得故选：C3．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件作图可得为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可【详解】所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，所以,如图：因为，所以，即，所以，向量在向量上的投影数量为：故选：A二、多选题4．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）已知平面向量，，，则（

）．A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为锐角，则 D．的最小值为4【答案】ABD【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出与的夹角为锐角时的n的范围，要考虑向量同向情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.【详解】由题意平面向量，，，若，则，A正确；若，则，B正确；若与的夹角为锐角，则，即，但时，与同向，满足，但夹角为，不是锐角，故C错误；，当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，故选：ABD.5．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（

）A．与能构成一组基底 B．C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为【答案】BCD【分析】A选项，作出辅助线，证明出，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，故A错误；B选项，求出得到B正确；C选项，求出，，利用投影向量的计算公式求出答案；D选项，取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值.【详解】连接AF，因为，故，因为，故，故，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则故，故，所以与平行，不能构成一组基底，A错误；，，，，故，B正确；，，，故在向量上的投影向量的模长为，C正确；取的中点，则，，则，，两式相减得：，当点与点或重合时，最大，最大值为，则的最大值为，D正确.故选：BCD【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.6．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（

）A．3 B． C．20 D．15【答案】BD【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，，圆C的方程为，设，则，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，连接直线，交圆C于两点，当位于点时，到点距离最大，最大距离为，此时最大，最大为，当位于点时，到点距离最小，最小距离为，此时最小，最小为，所以的取值范围是，其中，.故选：BD.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题7．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，，交于，则．【答案】/【分析】由已知可得，，根据平面向量的线性运算，推出，由三点共线求得，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则即可求解.【详解】如图，由，得，设，则因为三点共线，所以，解得：.所以，则故答案为：.8．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则；求的最小值为.【答案】【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知，设,由三点共线可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值.【详解】由重心的性质可知，，设,由已知得，,两式相加得,整理得,所以，，则，，当且仅当，即时等号成立,故答案为：.【点睛】本题利用了三点共线的一个充要条件，若,不共线，则三点共线的一个充要条件为，且，R.9．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）若，则的取值范围是.【答案】【分析】设出，，得到，平方后得到的最大值和最小值，从而求出答案.【详解】不妨设，，则，，故，则，因为，当时，取得最大值，，故的最大值为，当时，取得最小值，，故的最小值为，故的取值范围为.故答案为：.10．（20222023学年高三上学期期中）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．