2024年高考数学一轮复习54正、余弦定理(精讲)(原卷版+解析)

5.4正、余弦定理（精讲）（提升版）

尊傩号0B

QksU+a-cosC

三角影中的三角西费关系in-

2

三角彩中①6・^cosC+cco56Q4・acosC+ccos.40c・Ao$.4+®c<MB

面影定理一

①若家用,就寻求夹议个例的两访的关系.利用百积公式列方理来解

三角影囱枳

来边角的方法②若求边，就W求与我边I或两边有关联的角.利用面积公式列方裳求解

①化边，通过因式分解、配方等再出边的相应关系

三角影影②化角，诵过三角恒等变接.得出内角的关系,此时要注意应用4

正状的刊断+6+C=&L个给论

余

弦①定基本・，根据甩意或儿柯图影用清三角给中边、角的关系，利用正、余

定弦定理求出相美的边、角或边角关系,并剧¥相关的边、角作为基本量，修

定基本要的生圉,

理「台枸建函数，根据正、余弦定理或二角恒等变换将待东苑理的变，用关

三角影・于基本量的函数解析式表示

中的信锹

。求最值，利用基本不等式或由数的单科性等求最他

（1）一留法，以已知角的对边为半径回B,诲过与邻边的交点个数列离解的个数,

①n无交点.则无解।

端有T交点,则京T解，

⑨若有两个交点，则有网个解，

④S交点重合,虽然后两个交点,但只能算作T解.

（2）及式速，AAABC中,巳如■.*A.刊♦一角形”的个，

公式：1o”R里"Ao*“。!!的串伍

角■A«iaB

三

解

彩■，■o无・

GM为•角或真翕O

个

的・为快角）

数■<biisAoXM

•bM«AOlN(R^flt)

・>bo1fl|(B为坡角)

abc

-----=------=-=--2-R--(R为AABC的夕横国的半径)

公式sinAsiiBsinC

c

①sinA=—sinB=—sinC=—(角化边)

变

形

正@a=2R«sinA,b=2R・sinB,c=2R・sinC(边化角)

公

弦

式

定

理③ab:c=sinA:sinB:sinC

—=———=————=2R(R外接圆半径)

sinAsinA+sinBsinA+sinB4-sinC

使用条件(1)已知两角和一边(2)已知两边一对应角

b2+c2-a2

cosA=-------------

a:=b:+c2-2bc»cosA2bc

a2+2-b2

b2=a:+c2—2ac*cosB两边一角求边cosB=-c-三边求角

2ac

2:2

c=a+b—2ab«cosC22

正a+b-c2

cos

余C=-----------

余公式2ab

弦

定

弦使用条件(i)已知三角求边(2)已知两边一角求边

理

定

理

①SAABC=-ah,(勾为a边上的高)

②3AAsc=-absinC=-bcsinA=-acsinB

三角形面积公式

③SA4Bc=1r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径)

ZA+ZB+ZC=H

在三角形中大边对大角，大角对大边

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

常见

结论sin(A+B)=sinC$in(B+C)=sinAsin(A+C)=siiiB

cos(A+B)=_cosCcos(A+C)=_cosBcos(C+B)=_cosA

tan(A+B)=—tanCtan(B+C)=—tanAtan(A+C)=—tanB

存点呈现

考点一判断三角形的形状考点四几何中的正余弦定理

正

余

弦

考点二最值问题考点五正余弦与平面向量综合运用

定

理

考点三三角形解的个数考点四正余弦与其他知识综合运用

例题制析

考点一判断三角形的形状

【例1】（2022•全国•高三专题练习）（多选）己知。，b,。分别是三个内角A,B,C的对边，下列

四个命题中正确的是（）

A.若tanA+tan3+tanC>0,则.A6C是锐角三角形

B.若acosA=bcos3,则3A8C是等腰三角形

C.^bcosC+ccosB=b,则A6C是等腰三角形

D.则ABC是等边三角形

cosAcosBcosC

【一隅三反】

AA|

1.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c已知以「彳+丁=7，则

22c2

△A5C的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.（2022•全国•高三专题练习）设^A6C的三边长为GC=a,C4=〃，A6=c,若3金=/乙，皿！=」一,

2b+c2

则4ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

3.（2022・全国•高三专题练习）已知.4BC的三条边”ec和与之对应的三个角A,8,C满足等式

acosB+/〉cosC+ccosA=〃cosA+ccosB+acosC则此三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

4.（2022・全国•高三专题练习）（多选）设qA6c的三个内角A,B,。所对的边分别为“，b,c.下列有

关等边三角形的四个命题中正确的是（

A.若白二七二白，贝MABC是等边三角形

sinAsinBsinC

B若急=熹=品，则,由是等边三角形

则ABC是等边三角形

tanAtanBtanC

D.若5=%=4则“BC是等边三角形

考点二最值问题

[例2-1]（2022•河南•汝州市第一高级中学模拟预测（理））在△回一中,角ABC所对的边分别为&尻c,

d=2,cos2C=cos2A+4sin2S,则-A3c面积的最大值是（）

24

A.—R.1C.—F）.2

33

【例2-2】（2022•江西・上饶市第一中学二模（文））在一人BC中，角人，B,C所对的边分别为a,h,c,

aco$8=（2c-力COSA“=G，若点。在边BC上，且8。=2。。，则人力的最大值是.

【例2-3】（2022•黑龙江•哈尔滨三中二模）在锐角中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,jABC的

291

面积为B,^Sin（A+C）=-~~则lanA十二的取值范围为（）

b~-a'3lan（8-4）

【一隅三反】

1.(2022•安徽黄山•二模(理))设一的内角A8,C的对边分别为〃力,c,且满足(M+y)sin(A-8)=

Ur-^)sin(A+B),其中〃b,若a+b+c=2+五，则二ABC面积的取值范围为.

3.(2022・全国•高三专题练习)已知锐角648c外接圆的半径为1,内角A,B,C所对边分别为。，b,e,

B=f，则刚8。的取值范围是—.

4

4.(2022・甘肃•二模(理))如图，在圆内接四边形A8CO中，A4=2,BC=4,且乙4c民NC3AN班C依次

成等差数列.

(1)求边4c的长;

(2)求四边形ABCD周长的最大值.

5.(2022•广东江门•模拟预测)在锐角；A8C中，内角A,B,C的对边分别是〃，从c,且满足

(。+h)(sinA-sinB)=(a-c)sinC.

(1)求角8的大小：

⑵若C=26,求。的取值范围.

考点三三角形解的个数

【例3-1］（2022•全国•高三专题练习）在中，”=6，b=3,A=^,则此三角形（）

6

A.无解B.一解

C.西解D.解的个数不确定

【例3-2］（2022全国高三专题练习）在一A6C中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若力=4,

tanA=E,当。有两解时，。的取值范围是（）

3

A.|V7,4）B.（3,4）C.（V7.3）D.（3,4］

【例3-3］（2022•浙江•高三专题练习）中,角A,B,C的对边分别是。，b,c,A=30°,a=3,

若这个三角形有两解，则力的取值范围是（）

A.3<Z><6B.3cb<6

C.b<6D.b<6

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）在&/WC中，角A,B,。的对边分别是小b,c,已知〃=12,4=300,使得

三角形有两解的条件是（）

A.“=6B.6<«<12C.«>12D.a<6

2.（2022・全国•高三专题练习）在"BC中，角4,B,C的对边分别是小b,c,若，满足条件a=3,A=60

的三角形有两个，则。的取值范围是（）

A.[2,3）B.（3,3^）C.（3,2@D.伍&,2月）

3.（2022・全国•高三专题练习）在二ABC中，A=J/=2,则“a>l”是“二ABC有两个解”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022・全国•高三专题练习）在《ABC中，角ARC所对的边分别为。也。，下列条件使ABC有两解的是

)

A.3=2,c=l,A=30B.a=8,3=45,C=65

C.“=3;c=2,A=30D.a=3拒,6=4,8=45

考点四几何中的正余弦定理

【例4】（2022•浙江宁波•二模）如图，在中，BC=>/73,cos4=；,点M是线段人。的三等分点（靠

2

近点A）,若m=则sin/AM8=,3ABe的面积是.

AMC

【一隅三反】

I.（2022•山东烟台•一模）如图，四边形A3C。中，AB2+BC2+ABBC=AC2.

B

C

(1)若八2=32C=3,求△八ar的面积：

(2)若CO=J5BC,ZC4D=30,ZBCD=120,求NAC8的值.

2.（2022•陕西渭南•二模）如图，在中，角A=60,。为边AC上一点，且3C=31,80=21,CD=2（）

(I)sin47用的值;

(2)边40的长.

3.（2022•广东深圳•一模）如图，在&48C中，已知A8=2,AC=66，/8AC=45。，BC,AC边上的两

条中线AM,用V相交于点P.

B

,W

⑴求/HAW的正弦值:

⑵求乙w/w的余弦值.

考点五正余弦定理与平面向量的综合运用

【例5】（2022•江西上饶.二模（理））已知的外心为点O,M为边8。上的一点，且

8M=2MCN8AC=（,AOAM=1,则“8C的而枳的最大值等于（）

A.立B.73C.巫D.巫

284

【一隅三反】

I.（2021•全国•高三专题练习）已知中，角A,B,C的对边分别为mb,c,A”为8c边上的高,

以下结论:①4〃・（AC-A8）=0：②八88。＜0=＞二48。为锐角三角形：③=csinB；

④8c（AC-从3）="+。2一乃ccosA其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022全国・高三专题练习）在人班?中，若人/="丛。+附1。+。4。3，则人及7是的形状为（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

3.（2022・广东佛山•二模）J1BC中，AB=&,ZAC3=f,。是二ABC外接圆圆心，是的

4

最大值为（）

A.0B.1C.3D.5

4.（2022•江西上饶•二模（理））已知..ABC的外心为点O,例为边BC上的一点，且

=2MC,ZBAC=1,404/W=1,则心ABC的面积的最大值等于（）

A.BB.73C.巫D.巫

284

考点六正余弦定理与其他知识的综合运用

【例6-1】（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））已知双曲线。:0-，=1（〃>0/>0）的左、右焦点分别为£,

鸟，过点鸟的直线与双曲线的右支交于A,8两点.H周=2忸周，/耳人工=60。，则双曲线C的离心率为

（）

A.2B.GC.孚D.V5

【例6-2］（2022•辽宁•育明高中高三阶段练习）在&A4C中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且

△ABC的面积为5=立/,且〃+/_船’,忘0恒成立，则★的最小值为.

4

【一隅三反】

22

L（2。22・全国.模拟预测）已知小巴是双曲线/京川S。，，>0）的左、右焦点，点M为双曲线

的左支上一点，满足|M用=2忻用，且cosNME6=-^,则该双曲线的离心率e=（

)

16

3

A.hB.c.小D.2

2

2.（2022•江西•模拟预测（理））在。中，角所对的边分别为“也。，满足力+c=2asin（C+讣

若函数/（x）=sin（2X+e）（M<?|的图象向左平移A个单位长度后的图象于），轴对称，则/（工）在0,1A的

值域为（）

A.|-M]B.1C.D.一另

3.（2。22・全国•哈师大附中模拟预测«））椭圆C5》/小。）的左焦点为点F,过原点。的

直线与椭圆交于P，2两点，若/"。=120。，|。目=6,|。片=疗，则椭圆c的离心率为

5.4正、余弦定理（精讲）（提升版）

(Dw>U+5)-$iaC

正

余

弦

定

理

角

三

B解

个

的

ft

二痂二高:21^为人阮的外接国的半径）

公式sinA

@sinA=—sinB=—sinC=£(角化边)

2R2R2R

变

形

正@a=2R*sinA,b=2R*sinBc=2R・sinCM化角)

公

弦f

式

定

理③a:b:c=sinA:sinB:sinC

a_a+b_a+b+c

④sinAsinA+sinBsinA+sinB+sinC=2R（R外接圆半径）

使用条件（1）已知两角和一边（2）已知两边一对应角

a:=b:+c2-2bc»cosA

b:=a:+c:—2ac»cosB两边一角求边

c:=a:+b:-2ab*cosC

正

余

余公式

弦

弦

定使用条件（1）已知三角求边（2）已知两边一角求边

理

定

理

①，ABc=；aha（ha为a边上的高）

②SAABC=-absinC=-bcsinA=-acsinB

三角形面积公式22

®SA\BC=1r（a+b+c）（i•为三角形内切国的半径）

NA+NB+NC=TT

在三角形中大边对大角，大角对大边

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

sin(A+B)=sinCsin(B+C)=sinAsin(A+C)=sinB

cos(A+B)=~cosCcos(A+C)=—cosBcos(C+B)=~cosA

taa(A+B)=—tanCtan(B+C)=—tanAtan(A+C)=—tanB

考点呈血

考点一判断三角形的形状考点四几何申的正余弦定理

正

余

弦

考点二最值问题考点五正余弦与平面向量综合运用

定

理

考点三三角形解的个数考点四正余弦与其他知识综合运用

例题副析

考点一判断三角形的形状

【例1】（2022•全国•高三专题练习）（多选）已知“，b,c分别是三个内角A,B,C

的对边，下列四个命题中正确的是（)

A.若tanA+tanB+tanC>0,则ABC是锐角三角形

B.若acosA=〃cos3,则一/是等腰三角形

C.若bcosC+ccosB=。，贝hABC是等腰三角形

D.则一A8C是等边三角形

【答案】ACD

【解析】对于A,因为砌4+方言公器，所以

tanA+tan5=tan(A+B)(I-tan/\tanB),

tanA+tanB+tanC=tan(A+5)(1-tanAtan/?)+tanC

二-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtan8tanC>0,

因为A,B,C为-45。的内角，所以A,B,C都是锐角，所以.ABC是锐角三角形，故

选项A正确:

对于B：由acosA=〃cosB及正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2K.所以2/4=28或2A+28=兀，所以4=8或，4+8=],

所以“AB。是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；

对TC：山〃cosC+ccos8=6及正弦定理化边为角，

可知sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin4=sin«,

因为A,8为的内角，所以4=8,所以4A8C是等腰三角形，故选项C正确：

…十一〜"bc5十2,、，工、1〃M.sinAsinBsinC

对于D：由--=--=—二和正弦定理化边为角，易知一-=--=-所以

cosACOSDcosCcosAcosBcosC

tan4=tan«=tanC,因为A,B,C为［A8C的内角，所以A=8=C,所以4AHe是等边

三角形，故选项D正确：故选：ACD.

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中,内角A,B,。的对边分别为“，b,c•己知

sin24+^-=L则AA3C的形状为（）

22c2

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】人"品白一可得端品分…,二1-co=sA工c=-h二1五b

,/.cosA=-

c

222

•；COSAJ+CT上,l^+c-a=2b,，/『+a2=c2,.•・。为直角三角形，且

2bcc

ZC=90°.

故选：A.

A

2.（2022,全国,高二专题练习）设^A0C的二边K为〃C-a,CA-b,/4/7-c,tan-=-一n

2b+c

tan§=—2—,则^ABC是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】设尸=g（a+"c），△A3c的内切圆半径为小如图所示,

法一:

p-b_aa+c即2(弱p-b二)a(a+c)

①以②，得:

p-ab+chb(b+c)

于是〃(0+c)(c+〃-〃)=a(4+c)(〃+c-a),

air-by+bc2=a'b-a+etc2•（a-b）^a~+/?"-c-j=0,

从而得a=〃或a2+b2=c2»

=或NC=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形,

（I）当a=）时，内心/在等腰三角形CZ4的底边上的高C。匕

2a-ca'「

上式两边同时平方，得：工=化简。2-2/=0,即c=&a.即^ABC直角三

角形，

:•△ABC为等腰直角三角形.

（2）当/+//=/时，易得r=g（a+〃一c）.

1

g

--

2

代入②式,得I此式恒成立,

a十C

2-一

综上，△ABC为直用•:角形.

法二：

口isAsinABsinB“十sinAsinA不

利用tan-=-------.(an-=--------及正弦定理和题设条件，得-------=--一--①,

21+cos/A2l+cos«1+cosAsin5+sinC

sinBsinB

-------=-----------②.

I+cosBsinA+sinC

14-cos>4=sinA?+sinC®；14-cosH=sin44-sinC(4).

由③和得：l+cosA-sinfi=1+cosB-sinA.即sinA+cosA=sin〃+cosB,

sin[A+()=sin(8+(

因为A8为三角形内角,

A+巴=3+四或A+H=TC-B-£,即A=B或A+3=

44442

(1)若A=3，代入③得：l+cosA=sin3+sinC⑤

5LC=n-A-B=n-2A,将其代入⑤，得：1+cosA=sin4+sin2A.

变形得(sinA-cosA)2-(sinA-cosA)=0,

即(sinA-cosA)(sin4-cosA_1)=0®,

由A=8知A为锐角，从而知sinA-cosA—1Ho.

.二由⑥，得：sinA-cosz\=0.G|JA=—,从而8=2,C=—.

442

因此，△ABC为等腰直角三角形.

(2)若A+8=],即C=],此时③④恒成立，

综匕△A3C为直角三角形.

故选：B

3.(2022♦全国•高三专题练习)已知.ABC的三条边已。"和与之对应的三个角AB.C满足等

式4€085+)。05。+(.(054=/3084+。888+。5)8。则此三角形的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析工可得

〃-+(?-*.«­+/?--rZr+(?--〃-./?'+(?--«-a~+c~-b~a~A-b~-c~

a----------+b-----------+c-----------=b-----------+c----------+a-----------，

lac2ab2bc2bc2aclab

整理，得Z+—+j=。，所以j+B+d—iay=o,

cabcab

所以(〈J-"?)(：-1)+伊一,2)(：-")=。，所以(a-b)e-c)；^+(》-a)(〃_c)/^=0,

所以(〃-与传-c)(展-等)=0,所以(a—b)(b—c).心翳二4~=0,

所以（〃-。）（。一。）（。一。）・号？=0,所以〃=〃或力=。或〃=0,故三角形为等腰三角形.

故选：A

4.（2022・全国•高三专题练习）（多选）设4BC的三个内角A,B,C所对的边分别为“,

b,c.下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（）.

A.==，则.ABC是等边三角形

sinAsintisine

B.若急=嘉=品’则,ABC是等边三角形

若一^=工=’7；，则..A8C是等边三角形

C.

tanAtanBtanC

若二=4=二，则.ABC是等边三角形

D.

ABC

【答案】BCD

【解析】A,若「4=七=£；,

sinAsinBs.nC

由正弦定理可知：任意ABC都满足条件，因此不•定是等边三角形，不正确；

...abcu•.十#4E-TRsinAsinBsinC.,、八

B,若----=-----=-----,由正弦定理可得：-----=-----=-----,..tanA=tan8=tanC,

cosAcos3cosCcosAcos3cosC

VA^,C€(O,H),：.A=B=C,/.ABC是等边三角形，正确.

厂*ahcsin4sinBsinC.,八八

C,右----=-----=-----,由正弦定理可得：-----=-----=-----,..cosA=cosB=cosC,

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

•.•AB,Ce(0,7t),••・4=8=C,・・・_ABC是等边三角形，正确.

A若£=g.•.浮=誓=学£A=8=C=g时…A8C是等边三角形：

ABCABC3

4仇Cx1时，研究函数/3=詈卜｛0g[)的单调性，

/f(v)=xcos,t-sinA=(.v-tanx)cosx>℃4时，.*3乩

・.・函数/(%)在(。，9上单调递减，因此誓=誓=若不成立.

综上可得：工ABC是等边三角形，止确.故选：BCD.

考点二最值问题

【例2-1](2022•河南・汝州市第一高级中学模拟预测(理))在“中,角人仇°所对的

边分别为“方勺。=2,cos2c=cos2A+4sin»,则面积的最大值是()

24

A.-B.1C.~D.2

【答案】A

【解析】由cos2C=cos2八+4sin'B得：l-2sin2C=l-2sin2>4+4sin2B»

即sin?A=sin'C+Zsin?B,由正弦定理得：a?=c?+2/^=4；

由余弦定理得：a2=b~+c2-IhccosA=4»/.c2+2/?2=h~+c2-2bccosA,

b

即cosA=五，..人£（0,%），；.sinA

・"2+毋=4,.••〃=4一%2,

...SABC=g五（4-2/）一夫=g/乎+4b?,

="x+4x=>

则当忖，（一%+破）||i|7•'•（S'）„m=gxg=g.故选：A.

【例2-2】（2022•江西•上饶市第一中学二模（文））在4ABe中，角A,B,C所对的边分别

为“，b,c,acos8=（2c—〃）cosAa=6，若点。在边8c上，且用）=2/5C,则4。的最

大值是.

【答案】1+@

3

【解析】由ocosB=（2c-》）cosA,a=sinAcosB=2sinCeosA-sinBcosA,因为

sinC*0»0<,所以8sA=；,A=?,

乙D

设A3c外接圆的圆心为O,半径为A,

a_G

则由正弦定理得“===

乙xsin

3

如图所示，取3c的中点M,

在凡DOM中,

DM=BD—BM=友一直=立。1)=dOM2+2=J圉+邛

326

AD<AO+OD=R+OD=\+—,当且仅当圆心。在AD上时取等号，所以AD的最大值是

3

故答案为：1+农.

3

【例2-3](2022•黑龙江・哈尔滨三中二模)在锐角43c中，角A,B,C的对边分别为m