2024年高考数学一轮复习第7章第5讲：空间直线平面的垂直（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第7章第5讲：空间直线平面的垂

直学生版

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

I.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果条直线与个平

/nUa

面内的两条相交直线垂

判定定理

直，那么该直线与此平7

/_Lm

而垂直

ah

垂直于同一个平面的两a-La]

性质定理

条直线平行匚27

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的

角.一条直线垂直于平面，我冶说它们所成的角是鹭；一条直线和平面平行，或在平面内，

我们说它们所成的角是(2)范围：［(),f.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面带.

(2)二面角的平面角：如图，在二面角。一/一尸的楼/上任取一点O,以点。为垂足，在半平

面a和小内分别作垂直王撞1的射线OA和OB,则射战OA和OB构成的NAOB叫做二面角

的平面角.

第I页共37页

(3)二面用的范围：10,E

4.平而与平而垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个

判定定理平面的垂线,那么这两

£,

个平面垂直_/

两个平面垂直，如果一

aJJ、

个平面内有一直线垂直

a-6=a

性质定理于这两个平面的交线,

lA-a

那么这条直线与另一个r/

平面垂直

【常用结论】

1.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若直线/与平面a内的两条直线都垂直，则LLa.()

(2)若直线a_La,则"〃〃.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)若aJL£,a邛,则。〃a.()

【教材改编题】

1.(多选)下列命题中不正确的是()

A.如果直线a不垂直于平面”，那么平面〃内一定不存在直线垂直于直线a

B.如果平面a垂直于平面尸，那么平面a内一定不存在直线平行于平面夕

C.如果直线〃垂直于平面a,那么平面a内•定不存在直线平行于直线”

第2页共37页

D.如果平面a_L平面从那么平面。内所有直线都垂直于平面夕

2.如图，在正方形SGiG2G34，E,b分别是GIGI，G2G3的中点，3是政的中点，现在沿

SE,Sr及E尸把这个正方形折成一个四面体，使G”G.G,三点重合，重合后的点记为G,

则在四面体S-EFG中必有()

A.SG_LZ\£7P所在平面

B.SO_LZkEFG所在平面

C.G"_LZ\SE”所在平面

D.GO_!_△$£尸所在平面

3.已知P。垂直于正方形A8CO所在的平面，连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂

直的平面有对.

■探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例I(1)已知/,〃?是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_!_〃？：②6〃a：®/±a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题.

(2)(2023・娄底模拟)如图，在三棱柱ABC-A^iC\中，点也在底面八8。内的射影恰好是点C.

①若点。是AC的中点，且。A=O8,证明：A8_LCG.

②已知BiG=2,8C=2小,求△8CG的周长.

第3页共37页

跟踪训练I如图，在止方体43CD—4囱GG中，E,"分别是棱C。，4d的中点.

(1)求证：ABilBFi

(2)求证:AELBFi

(3)棱CG上是否存在点儿使6EL平面若存在，确定点产的位置，若不存白，说明

理由.

第4页共37页

题型二平面与平面垂直的判定与性侦

例2(2023・桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD是矩形，平面PAD1

底面A3C。且/W=l,R\=AD=PD=2,E为PO的中点.

(I)求证：平面PCOJ■平面ACE：

(2)求点B到平面ACE的距离.

第5页共37页

跟踪训练2(2022・邯郸模拟)如图，在四棱锥产一八8C。中，AB//CD,ABA.AD,CD=2AB,

平面％。_1_平而八BCD,PAA.AD,E和尸分别是。。和PC的口点，求证：

平面八〃C£＞：

(2)平面3E”〃平面PAD,

(3)平而8£F_L平面PCD.

第6页共37页

题型三垂直关系的综合应用

例3如图，已知人8。。一人向是底而为正方形的长方体，乙4。4=60。，八功=4,点

尸是Ad上的动点.

⑴试判断不论点尸在月外上的任何位置.，是否都有平面8两_L平面AAQiQ,并证明你的结

论:

(2)当尸为AG的中点时，求界面直线AAi与8P所成的角的余弦值;

(3)求PB】与平面AAA。所成的角的正切值的最大值.

第7页共37页

跟踪训练3(2023•柳州模拟)如图，在三棱锥产一48c中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=26，。为AC的中点.

(1)证明：。0_1_平面48。；

(2)若点M在棱8c上，且PM与平面A8C所成角的正切值为乖，求二面角的平

面角的余弦值.

第8页共37页

第9页共37页

课时精练

q基础保分练

1.（多选）若平面a,//满足al/?，aCB=l，P《a,用/,则下到命题中是真命题的为（）

A.过点P垂直于平面a的直线平行于平面£

B.过点/）垂直于直线/的直线在平面〃内

C.过点P垂直于平面夕的直线在平面a内

D.过点。且在平面a内垂直于/的直线必垂直于平面/?

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，与△PBC是正三角形，平面见B_L平面PBC^ACLBD,

则下列结论不一定成立的是（）

A.BPA.ACB.。。_1_平面48。。

C.ACA.PDD.平面PBO_L平面ABCQ

3.如图，在斜三棱柱ABC-AiBiG中,ZBAC=90°,5G_LAC,则Ci在底面A8C上的射影

H必在（）

A.直线八8上

B.直线AC上

C.直线八C上

D.ZSABC内部

4.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线A8与平面COE垂直的是（）

5.（多选）（2022・齐齐哈尔模拟）若〃?，〃是两条不同的直线，a,7是三个不同的平面，则下

第10页共37页

列命题错误的是（）

A.若〃JU夕，a邛,则切_La

B.若〃，〃a,〃〃a,则〃

C.若m//a,则a_L/?

D.若a_Ly,a_L夕，则夕_Ly

6.（多选）在长方体ABC。-A18iCQ中,已知小。与平面A8C。和平面448由所成的角均

为30。，则下列说法正确的是（）

A.AB=yf2AD

B.AB与平面A3CN所成的用为30。

C.AC=CB\

D.DD与平面33CC所成的角为45。

7.如图所示，在四棱锥尸一4BCO中，附_L底而A8C。，且底面各边都相等，M是PC上的

一动点，当点M满足条件：①8M_LOM,②OM_LPC,③BM_LPC中的时，平面

M8Q_L平面PCQ（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.

8.在矩形48C。中，AB<BC,现将△ABO沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻

折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线3。垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线C。垂直：

③存在某个位置，使得直线AD与直线8C垂直.

其中正确结论的序号是.

9.如图所示，在四棱锥中，底面八8CZ）是N£M8=60咀边长为。的菱形，侧面必。

为正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，若G为A。的中点.

第II页共37页

(1)求证：8G_L平面BW：

(2)求证：ADIPBt

(3)若E为BC边的中点，能否在楼。C上找到一点尸，使平面D£FJ_平面4BC。？并证明你

的结论.

10.(2023・广州模拟)如图，在三棱锥P-A8C中，平面见C_L平面P8C,抄1_L平面A8C

第12页共37页

AB

(1)求证：8cL平面以C；

(2)若AC=8C=%,求二面角A-P8-C的平而角的大小.

巳综合提升练

第13页共37页

II.如图，止三角形外。所在平面与止方形A3CD所在平面互相垂直，O为止方形A8C。的

中心，M为正方形八8c。内一点，且满足MP=M。，则点M的轨迹为（）

C

12.（多选）如图所示，一张A4纸的长、宽分别为4,B,C,。分别是其四条边的

中点.现将其沿图中虚线折起，使得外，巳，B，A四点重合为一点P，从而得到一个多面

体.下列关于该多面体的命题正确的是（）

Pu------2——A

八

//、、

//、、

//、

O

A.该多面体是四棱锥

B.平面3ADJL平面8C。

C.平面区4。，平面AC。

D.该多面体外接球的表面积晶/

13.（多选）如图，在正方体4/3CO—48iG小中，点P在线段SC上运动，则下列说法正确

的是（）

A.直线平面ACQ

B.三棱锥/＞一4G。的体积为定值

C.异面直线AP与A0所成角的取值范围是后，

第14页共37页

D.直线GP与平面AC。所成角的正弦值的最大值喈

2

14.如图，在矩形A8C。中，点后"分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=^FD=4,沿

直线E厂将尸翻折成EF,使平面A'£r_!_平面则二面角A'一尸。一。的平

面角的余弦值为.

巳拓展冲刺练

15.刘徽注《九章算术・商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其•为阳马，•为鳖膈.阳

马居二，鳖膈居一，不易之率也.合两鳖，嚅三而一，验之以蒸，其形露矣.”如图1解释了

由一个长方体得到'’望堵”“阳马”“鳖席”的过程.空堵是底面为直角三角形的直棱柱；

阳马是一条侧梭垂直于底而且底面为矩形的四棱锥:鳖脯是四个面都为直角三角形的四而体.

图1

图2

在如图2所示由正方体ABCO-AiBiGG得到的堑堵48。-48心中，当点P在下列三个位

置:A/中点，48中点，4C中点时，分别形成的四面体P-ABC中，鳖嚅的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

16.在长方体八3c。-ASCQi中，已知八8=2,BC=t,若在线段A8上存在点E,使得

EG1ED,则实数/的取值范围是.

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2024年高考数学一轮复习第7章第5讲：空间直线平面的垂

直教师版

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线/与平而〃内的任意二直线都垂直，就说直线/与平而a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平/Ua、

面内的两条相交宜线垂

判定定理〉今LLa

直，那么该直线与此平7

/_L

面垂直

ab

垂直于同一个平面的两“■La

性质定理匚■^a//b

条直线平行27b工a

2.直线和平面所成的角

⑴定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的

角.一条直线垂直于平面，我均说它们所成的角是维：一条直线和平面平行，或在平面内，

我们说它们所成的角是£.

(2)范围：［o,升

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面旃.

(2)二面角的平面角：如图，在一面角口一/一4的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平

而a和尸内分别作垂直于棱/的射线OA和08,则射线OA和0B构成的NA08叫做二面角

的平面角.

第16页共37页

BB

(3)二面角的范围：10,汨.

4.平面与平面垂直

(I)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表不符号表示

如果一个平面过另一个

判定定理平面的垂线,那么这两

个平面垂直£」

两个平面垂直，如果一

、

个平面内有一直线垂直a±/?

性质定理于这两个平面的交线,>=>/±a

LLa

那么这条直线与另一个

力2J/u〃,

平面垂直

【常用结论】

1.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若直线/与平面a内的两条直线都垂直，则LLa.(X)

(2)若直线a_La,bLa,则a〃〃.(J)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直寸月一个平面.(X)

(4)若a",a",则。〃a.(X)

【教材改编题】

I.(多选)下列命题中不正确的是()

A.如果直线a不垂直于平而”，那么平面a内一定不存在直线垂直于直线a

第17页共37页

B.如果平面a垂直于平面从那么平面a内一定不存在直线平仃于平面尸

C.如果直线。垂直于平面a,那么平而«内一定不存在直线平行于直线a

D.如果平面a_L平面由那么平面a内所有直线都垂直于平面夕

答案ABD

解析若直线。垂直于平面a,则直线〃垂直于平面a内的所有直线，故C正确，其他选项

均不正确.

2.如图，在正方形SG1G2G3中，E,E分别是GO?，G2G3的中点，。是EF的中点，现在沿

S£,SF及石厂杷这个正方形折成•个四面体.使G.G2.G3:点重合.重合后的点记为G.

则在四面体S-EFG中必有（）

A.SG_LaEFG所在平面

B.SO_LZ\£FG所在平面

C.GF_L所在平面

D.GO_LZ\S£尸所在平面

答案A

解析四面体S-EFG如图所示，由SG_LGE,SG±GFt

GERGF=G且GE,G"<=平面EFG得SG_LAE"G所在平面.

3.已知P。垂直于正方形ABC。所在的平面，连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂

直的平面有对.

答案7

解析如图，由于尸。垂直于正方形ABC。,故平面PDAJL平面ABC。,平面尸DB_L平面ABCD,

平面。。。_1平面ABCD,平面PD4J_平面PDC,平面/%C_L平面PDB,平面附8_L平面PAD,

平面尸4。_1平面尸。C,共7玄.

第18页共37页

■探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例I（1）已知是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_!_/〃；②〃i〃a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________.

答案②③今①（或①③=>②）

解析已知/，川是平面a外的两条不同直线，由①/_!_州与②"〃a,不能推出③LLa,因为

/可以与a平行，也可以相交不垂直；由①/与③/_La能推出②"?〃a；由②用〃a与③/_La

可以推出①

⑵（2023•娄底模拟）如图，在三棱柱ABC-4SG中，点所在底面A8C内的射影恰好是点C.

①若点。是AC1的中点，DA=DB,证明：A8_LCCi.

②己知81G=2,B1C=2小,求△BCG的周长.

（宓明•・•点Bi在底面ABC内的射影是点C,

平面ABC,

〈ABU平面ABC,

在△ABC中，DA=DB=DC,:,BC工AB,

VBCnB|C=GBC,8|CU平面BCGBi,

・•・4H_L平面BCCiBi,

〈CGU平面8CG&,：.AB1CC\.

②解如图，延长3c至点£使3C=CE,

连接GE,则四边形闭CEG为平行四边形,

则GE绣51c.

由①知8C_L平面ABC,•••CiE_L平面A3C,

,:CE、8EU平面48C,

:CE工CE,CiELBE,

第19页共37页

•；GE=BiC=2木,CE=BC=BC=2,BE=4,

/.CCi=yJCE2+CiE2=4,BCi=y/BE2+CiE2=277,

.••△BCG的周长为2+4+2干=6+2市.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

⑴证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理；②垂直于平面的传递性(a〃〃,"_La吟"La);

③面面平行的性质(a_La,a〃我=>a_L/O；④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1如图，在正方体A3CD4囱。。中，E,尸分别是楂CD,45的中点.

(1)求证：A8i_L3F：

(2)求证：AElBFx

(3)棱CG上是否存在点儿使平面AEP?若存在，确定点〃的位置，若不存在，说明

理由.

⑴证明如图，连接4波,则A5J_4山,

因为AiF_L平面A见Mi,A&U平面A8&A,

所以A/_LABi,

又48nAF=A,

所以A8i_L平面ABE又BFU平面AiBF,所以八S_LBE

(2)证明如图，取棱AO的中点G,连接bG,BG,则FG_L4E,

因为八8=。人，AG=DE,ZBAG=ZADE,所以△加G乌△•/)£,所以NA8G=/D4E.

所以AE18G.又因为8GC"G=G,所以AE_L平面8"G.

又BFU平面BFG,所以AEA.BF.

⑶解存在.如图，取棱CG的中点P,即为所求.连接EP,AP,CiD,因为EP〃GZ),

C\D//AB\,所以EP〃A8i.

由⑴知ABi_L3尸，所以BF_LEP.

又由(2)知A£LA凡且4ECEP=E,

第20页共37页

所以5”_L平面AEP.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2(2023•桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P—A8C。中，底面ABCD是矩形，平面PADA.

底面A8c。且48=1,l^=AD=PD=2,£为/少的中点.

(1)求证：平面PCO_L平面ACE；

(2)求点B到平面ACE的距离.

(1)证明由21=/1O=P。，E为PD的中点、,可得A£_LP。，

因为COJLA。，平面小。_1_平面48C。，平面出0n平面48c7)=A。，COU平面ABC。，所

以CO_L平面PAD.

而AEU平面以。，所以CQJLAE,

由CDCPD=D,则A£_L平面PCD,

又AEU平面AC£,所以平面PC。_L平面ACE.

⑵解如图，连接8。，与4C交于O,则。为8。的中点，

所以点。到平面ACE的距离即为点8到平面ACE的距离.

由平面PCO_L平面ACE,过Z)作。M_LCE,垂足为M,

则DW_L平面ACE.则DM为点D到平面ACE的距离.

由CO_L平面%O,可得CD1PO,

又CD=DE=1,所以OM=TcE=乎，

即点8到平面ACE的距离为理.

思维升华(I)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

跟踪训练2(2022•邯郸模拟)如图，在四棱锥P—48C。中，AB//CD,ABA.AD,CD=2AB,

第21页共37页

平面以"_L平面A8C。，PA±AD,E和”分别是C。和尸。的白点，求证:

⑴%J_平面ABC。；

⑵平面BEF//平面PAD,

(3)平面平面PCD.

证明(I)；平面/%QJ_平面ABCDt

且PA垂直于这两个平面的交线AO,

，/%_L平面ABCD.

(2Y：AB//CD,CD=2AB,E是C。的中点，

：.AB//DE,且

.•・四边形ABE。是平行四边形，：.AD//BE,

•••BEC平面用。，AOU平面以。，〃平面附D,

YE和尸分别是CO和PC的口点，尸〃PO,

「足/口平面以。，POU平面外。，・•・£：〃〃平面力£),

*：BECEF=E,BE,EFU平面8EE,

.•・平面8E/〃平面PAD.

(3)V45±4D,，平行四边形ABE。是矩形，工BE1.CD,ADICD,

由①知出_L平面ABC。，._LCD,

PAQAD=A,

••・CD_L平面PAD,：.CD±PDt

TE和"分别是CD和PC的口点,:・PD〃EF,

：,CD±EFf又・：BECEF=E,:・CD工平面BEF,

VCDC平面PCD,平面BEFL平面PCD.

题型三垂直关系的综合应用

例3如图，已知A8CD—ABiGG是底面为正方形的长方体,ZADiAi=60°,孙=4,点

一是4/%上的动点.

第22页共37页

⑴试判断不论点P在上的任何位置，是否都有平面B%_L平面A4。。，并证明你的结

论：

（2）当P为的中点时，求异面直线A/L与8P所成的角的余弦值；

⑶求PBi与平面AA^D所成妁角的正切值的最大值.

解（1）是.•・・84_L平面/Ui。。，84U平面8月1,

・•・平面8网_1_平面AAiDiDt

...无论点P在人。上的任何位置，都有平面8布_1_平面AA}DiD.

⑵过点尸作PELAIOI,垂足为区连接丛E,如图，

则PE//AAif

・・・NB|PE（或其补角）是异面直线AAi与8/所成的角.

在RtAMiDi中，

•・•Z4D|A|=60°,

・•・NAMDi=30。，

=A[I)i=54。|=2,

====

••A\E"QA\1)\I(AA\yj3A\D\2,^3,

，PE=y人产小，&E=*\/4历+4序=小,

・••在RtZiBiPE中,

B/=、B/序=26,

一“PEA/3_A/6

3/5「石=布=苑=%

.•.异面直线44与8俨所成的角的余弦值为乎.

(3)由⑴知,历4」平面A4QiD,

:.N8iM是PBi与平面AAiDiD所成的角，

第23页共37页

..tanZBiB4i-4ip-4iP

・••当AP最小时,tanN51Pl最大,

这时A|P_LAOi,

A\DVAA

4P=AD\

2行

得tanZ/ii/!4i="2»

即PD｛与平面A/1|D,D所成的角的正切值的最大值为乎.

思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相

关定理、性质进行推理论证.

跟踪训练3(2023•柳州模拟)如图，在三棱锥/,一48。中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=2®O为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面八8C：

(2)若点M在棱8c上，且与平面ABC所成角的正切值为#,求二面角历一附一。的平

而角的余弦值.

⑴证明方法一如图，连接。及

:AB=BC=2,AC=2®

222

：.AB-l-BC=ACt

即aABC是直角三角形，

又。为4c的中点，

：.OA=OB=OC,

又,：M=PB=PC,

△POAg△POB边△POC,

第24页共37页

:./POA=4POB=ZPOC=90°.

：.POA.AC,POLOB,

•：OBOAC=O,OB,4C<=平面A5C,

平面ABC.

方法二如图，连接OB,

*：PA=PC,。为AC的中点，M=PB=PC=AC=26,

：.PO1AC,。。=#,

又•••A"=〃C=2,

：.ABLBC,BO=®

；・PG+OB2=PB,

：.POLOB,

\'OBC\AC=O,OB,ACU平面ABC,

•・.〃O_L平面ABC.

(2)解由(1)知，PO±平面ABC,

：,OM为PM在平面48c上的射影，

...ZPMO为PM与平面ABC所成角，

,：tan々“0=焉=急=瓜

：.OM=\t

在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC=1,

为8c的中点.

如图，作M£_LA。交人。于E,

则E为OC的中点，作E凡!_必交附于凡连接MF,

：.MF±E\,

•••/MFE即为所求二面角“一小一。的平面角，ME=^,

近

孚

多33

沂

E尸EX-X

-24

MF=y/ME2+EF2=^,

第25页共37页

“_3屈

/.cosZMFE—~MF=31

故二面角M—附一C的平面角的余弦值为嘴.

课时精练

立基础保分练

1.（多选）若平面a,夕满足a±AaCifi=l,P^a,Pdl,则下歹I命题中是真命题的为（）

A.过点。垂直于平面a的直线平行于平面夕

B.过点P垂直于直线/的直线在平面a内

C.过点。垂直于平面0的直线在平面。内

D.过点/，且在平面a内垂直于/的直线必垂直于平面小

答案ACD

解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面;?内垂直于交线的直线，则直线平行于

平面夕，因此A正确；过点「垂直于直线/的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，

因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C,D正确.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，与△PBC是正三角形，平面见B_L平面PBC.ACA.BD,

则下列结论不一定成立的是（）

A.BPLACB.PO_L平面48C。

C.ACA.PDD.平面PBO_L平面ABCQ

答案B

解析如图，取线段8P的中点0,连接。A,0C,易得8P_LQ4,BPLOC,又

O,所以3匕L平面O4C,所以8尸_LAC,故选项A正确；又AC_L8。，所以

AC_L平面P8O,所以4C_LPD,故选项C正确；又ACU平面八BCD,所以平面平面

ABCD,故选项D正确.

3.如图,在斜三棱柱ABC-Ai8iG中,ZBAC=90°,BG_LAC,则G在底面48。上的射影

H必在（）

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B.

导、

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

答案A

解析连接AG（图略），由AC1ASACIBCi,ABCBG=B,得ACJL平面ABG.TACu平

面ABC,，平面48G_L平面ABC..,.Ct在平面ABC上的射影H必在平面ABCs与平面ABC

的交线AB上.

4.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线A8与平面COE垂直的是（）

答案BD

解析对于A,显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B,因为AB1CE,

AB±EDt且CECED=E,所以A8_L平面COE；对于C,显然A8与CE不垂直，所以直线

AB与平面CDE不垂直；对于D,因为E£）_L平面ABC,则EDA.AB,同理CE_LAB,因为

EDRCE=E,所以A8_L平面

5.（多选）（2022・齐齐哈尔模拟）若/〃，〃是两条不同的直线，a,5y是三个不同的平面,则下

列命题错误的是（）

A.若a±/?»则〃】_La

B.若/"〃a,n//a,则“?〃“

C.若/〃_L夕，/〃〃a,贝ija_L〃

D.若a_L7,a邛,则4_L>

答案ABD

解析由/〃，〃是两条不同的直线，a,夕，y是三个不同的平面，

在A中，若〃?U“，aLp,则决与a相交、平行或mUa,故A错误；

在B中，若,〃〃a,则加与〃相交、平行或异面，故B错误；

在C中，若m//a,则占面面垂直的判定定理得al",改C正确；

在D中，若a_L>,a邛,则/与y相交或平行，故D错误.

6.（多选）在长方体ABCO—ABiGd中，6知BQ与平面A8CD和平面相必归所成的角均

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为30。，则卜列说法止确的是（）

A.AB=y[2AD

B.AA与平面A%G。所成的%为30。

C.AC=CBi

D.8力与平面BBCC所成的角为45。

答案AD

解析如图，连接3D,易知是直线5。与平面A3C。所成的角,

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30°,

设4%=1,则8］。=28%=2,

BD=7BD-BBY=P

易知NA®。是直线BiD与平面AA^B所成的角,

所以在RtAADfii中，ZABiD=30°.

因为F。=2,所以4。=；%。=1,

ABEBD-AD2：5

所以在RtZ\A88i中，AH=y/A^~B^=y/2=y/2AD,所以A项正确；

易知NBAS是直线AB与平面ASGO所成的角，

因为在sinN8A8尸耦呼鸟,

所以NBASH30。，所以B项错误；

在RtAC«/?i中，CBi=7BC2+BB：=巾,

而AC=y/AB?+BC2=小,所以C项错误；

易知NO8C是直线81。与平面KBiGC所成的角，

因为在RiZWB〈中，C3I=CD=JL所以NO5C=45。，所以D项正确.

7.如图所示，在四棱锥P-A6CO中，用_1_底面A8CO,且底面各边都相等，M是。。上的

一动点，当点M满足条件：①②。M_LFC,③6M_LPC中的时，平面

MW）_L平面〃CD（只要填写一个你认为是止确的条件序号即可）.

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M

答案②（或③）

解析连接AC（图略）•・•用，底面ABCD,.•.%_L4D...•底面各边都相等，：,AC1BD.

V/Mn4C=4,.•.8。_1_平面用€\:.BD工PC.

当OM_LPC（或BMJ_PC）时，印有PC_L平面MBD,

而PCU邛面PCD,：.邛面M3。_L邛面PCD.

8.在矩形ABC。中，AB<BC,现将AAB。沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻

折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线8。垂直：

②存在某个位置，使得直线AB与直线C。垂直；

③存在某个位置，使得直线A0与直线8C垂直.

其中正确结论的序号是.

答案②

AELBD

解析①假设AC与3。垂直，过点A作AE_L3。于点E,连接CE,如图所示.则\

BDLAC]

=>8/）_L平面AEG则8OJ_CE,而在平面8c。中，CE与8。不垂直，故假设不成立，①不

正确；

②假设人•.•八8_L/1。，。。0人。=。，平面八CO,.•.八8_L/1C,由人8<BC可知，

存在这样的直角三角形，使ABJ_AC,故假设成立，②正确；

③假设AO_L8C,,:CD工BC,ADC\CD=Dt，8C_L平面ACO,：.BC±AC,即△ABC为直

角三角形，且AB为斜边，而A8<3C,故矛盾，假设不成立，③不正确.

9.如图所示，在四极锥。一A8CO中，底面相。3是ND48=60。且边长为a的菱形，侧面PAD

为正三角形，其所在平面垂直于底面A5CO,若G为A。的中点.

（1）求证：BG_L平面小Q；

（2）求证：ADA-PB-.

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(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DE/LL平面ABCDi并证明你

的结论.

⑴证明在菱形A8C。中，ND43=60。，G为A。的中点，

所以BGA-AD.

又平面出。，平面ABC。，平面以0n平面ABCO=A。，BGU平面ABC。，所以BG_L平面

PAD.

(2)证明如图，连接PG,因为△以。为正三角形，G为线段乂。的中点，

所以PG1AD.

由(1)知8G_LA。，又PGCBG=G,所以4D_L平面PGA

因为P8U平面PG&所以AZ)_LP5.

(3)解能，当/为线段PC的中点时，平面。E以L平面证明如下：

如图，取线段PC的中点F,连接。£EF,DF.

在中，FE//PB,在菱形ABCD中,GB//DE.

而产EU平面DEF,OEU平面DEFtEFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PGB,PBCGB

=B,所以平面。〃平面PG及

因为平面小。_L平面ABC。，平面小OG平面4800=八。，PGU平面％。，PG±ADt所以

PG_L平面ABCD.

又PGU平面PG从所以平面PG8_L平面ABCD,

所以平面DE尸上平面ABCD.

10.(2023•广州模拟)如图，在三核锥〃一A6c中，平面掰CJ■平面/%C,E4_L平面ABC.

(1)求证:BCJL平面B4C；

(2)若4C=3C=B4,求二面角4一/>8—。的平面角的大小.

⑴证明如图，作AO_LPC交PC于点。，

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因为平面附CJ_平面尸8C,平面%CC平面PBC=PC,4。仁平面以C,

所以AOJ_平面P8C,

又4CU平面PBC,所以AO_LZ?C,

又因为切平面ABC,8CU平面A8C,

所以PAYBC,

又布，AOU平面B4C,附04。=4,

所以BC_L平面PAC.

⑵解如图，作4。_1_尸。交尸C于点。，交/,8于点E,连接AE,

由（1）知A£）_L平面PBC,

因为PBU平面PBC,则AD1PB,

又人。，OEU平面AOE,ADQDE=D,

所以尸8JL平面4DE,

因为4£<=平面ADE,

所以PBLAE,

则N4EO即为二面角4—P3—C的平面角.

又DEU平面PBC,则ADLDE,

不妨