2024年高考数学-导数专题

导数

qinYJI

(选修2—2P18A7改编)曲线)，=意在处的切线方程为()

2

A.y=OB.y=—

缶”+二・・,Acos.v-sin.v.,4

当x=T•时，)，=?，

・•・切线方程为》一看=一卷/一9,即产一』+*

(2024•天津卷)已知函数危)=(2x+l)eS/为八X)的导函数，则/(0)的值为

解析因为J(x)=(2x+1)H

所以f(x)=2e'+(2x+l)ev=(2x+3)e\

所以/(0)=3e°=3.

(2024•西安月考)设曲线y=or-lna+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2.r,则。=

解析y'=a-..,由题意得y'k=o=2,即a—1=2,

人I1

所以a=3.

(2024.威海质检)已知函数./U)=xlnx,若直线/过点(0,—1),并目.与曲线y=/U)

相切，则直线/的方程为()

Aa+y—1=0BJV—y—1=0

C/+y+1=0D.x—y+1=0

解析..•点(0,-1)不在曲线/(x)=jdnx上，

・,・设切点为(xo,N).

w=.rolnM),

又・・・〃x)=l+lnx,••・

[yo-r1=(1+lnxo)xo,

解得x()=l,jo=O.

，切点为(1,0),:・f⑴=l+lnl=l.

・••直线/的方程为y=x-1,x—y-1=0.

(2024.全国II卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线+S+

+1相切，贝ija=.

解析法一Vy=x+lnx,/.yz=1+：，|i=2.

人

・二曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y—l=2(x—1),即)，=2r—1.

*/y=2.v—1与曲线y=ax24-(a+2)x+1相切，

二•aWO(当a=0时曲线变为y=2x+l与已知直线平行).

(y=2x—\,

由彳•>।/।-、।,消去乃得加+水+2=0.

j=a广+(。十2)x+I

由/=『-8a=0,解得a=8.

法二同法一得切线方程为)，=2%—1.

设y=2x—1与曲线)，=加+(。+2)4+1相切于点(xo,加+(〃+2)xo+1).

1

'j'=2or+(a+2),y|x=.t0=2avo+(«+2).

1

2oro+(a+2)=2,xo=-2»

由.加+(a+2)xo+1=2xo-I,

4=8.

答案8

(2024.西安质测)曲线凡r)=V—x+3在点P处的切线平行于直线)，=2x—1,则P

点的坐标为()

A.(l,3)B.(-l,3)

C.(l,3)和(一1,3)D.(l,-3)

解析/")=3『一1,令『(劝=2,则3『一1=2,解得x=l或%=一1，，尸(1,3)

或(一1,3),经检验，点(1,3),(-1,3)均不在直线>=统-1上，故选C.

(2024・天津卷)已知函数/)=odnx,xW(0,+«>),其中〃为实数，/Q)为人x)

的导函数，若/(1)=3,则。的值为.

解析/(x)=a(lnx+*：)=a(l+ln工)，由于/(l)=a(l+lnl)=a,又/(1)=3,所

以a=3.

(2024・全国川卷)已知/U)为偶函数，当xVO时・，，/U)=ln[—x)+3x,则曲线y=/U)

在点(1,一3)处的切线方程是.

解析设x>0,则一工<0,y(—x)=lnx—3x,又/U)为偶函数，J(x)=\nx—3x,

fU)=；-3,f(l)=-2,切线方程为>=一2丫一1.

答案2x+)，+l=0

(2024・陕西卷)设曲线)，=&'在点(0,1)处的切线与曲线)=&x>0)上点P处的切线

垂直，则户的坐标为.

解析y=er,曲线在点(0,1)处的切线的斜率右=e°=l,设P(/〃，〃)，y

=%x>0)的导数为_/=—((x>0),曲线)，=&x>0)在点户处的切线斜率攵2=一崇

(W>0),因为两切线垂直，所以h&2=-1,所以"7=1,〃=1,则点P的坐标为

(1，1).

答案(1，1)

(2024・北京卷)设函数/U)=xc“r+/zr,曲线)，=/口•)在点(2,次2))处的切线方程为y

=(e—l)x+4.

⑴求小〃的值；

(2)求式x)的单调区间.

解(1)・・了(工)=依「工+/?%，:(x)=(l-x)ert-v+/?.

/(2)=2e+2,2-2/?=2e+2,

由题意得

f(2)=e-l,—ea2+h=e—},

解得a=2,/?—e.

⑵由⑴得/U)=xe2'+ex,

由/(x)=e2r(l—工+已山)及e"'>0知'f⑶与1—1+已皿同号.

令g(x)=1—x+e'-1,则g〈x)=­1+et-1.

当(—8,i)时，g'(x)<0,g(x)在(一8,1)上递减；

当x£(l,+8)时,(x)>0,g(x)在(1,+8)上递增,

・・・g(x)、g(l)=l在R上恒成立,

・•/。)>0在R上恒成立.

，./(处的单调递增区间为(-8,+8).

(2024.四川卷)已知。为函数加尸/一⑵的微小值点，贝l」a=()

A.-4B.-2C.4D.2

解析/。）=3『一12,，x＜-2时，f（x）＞0,-2＜x＜2时，/（幻＜0,x＞2时，

/（x）＞0,・・.x=2是次用的微小值点.

答案D

（2024・全国HI卷）设函数/）=lnx—x+1.探讨/）的单调性；

解依题意，人幻的定义域为（0,+8）.

/'（X）—1—1，令/（X）—0，得X—1，

人

工当0VE时，f（x）＞0,/U）单调递增.

当Q1时，F（X）vO,1）单调递减.

2

（2024.北京卷）设函数段）=，一如x,Q0.求段）的单调区间和极值；

Fkf-kl

解由凡¥）=》一他1x（k＞0）,得x＞（）且/（x）=x—；='一.由/（x）=0,解得工二也

（负值舍去）.

ZU）与内幻在区间（0,+8）上的改变状况如下表:

（5，+8）

X（0,也）吊

—0十

k(1—Ink)

以）

2/

所以，./U）的单调递减区间是（0,5）,单调递增区间是（也，+8）.

府）在尸5处取得微小值式5）=幺”

（2024・西安调研淀积分/（2x+e'）dx的值为（）

A.e+2B.e+1D.e-1

解析/（2r+e'）d_r=（x2+力。）=1+9一1=e.故选C.

（2024•全国II卷）已如函数7U）=lnxI。（1。探讨/U）的单调性;

解."）的定义域为（0,+°°）,/'。）=：—a