2025年全国中学数学竞赛试卷及答案

2025年全国中学数学竞赛试卷及答案一、选择题（每题2分，共12分）

1.下列关于数学概念的说法，正确的是：

A.函数是一组对应关系的集合，可以是任意两个集合

B.每个函数都可以用图像表示

C.函数的定义域和值域可以是任意集合

D.一次函数的图像是一条直线

2.若函数f(x)=2x+3，则f(-1)的值为：

A.1

B.2

C.3

D.5

3.已知等差数列{an}的公差为2，首项为3，则第10项an的值为：

A.21

B.23

C.25

D.27

4.在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点为：

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(-2,-3)

D.(2,3)

5.下列关于圆的性质，错误的是：

A.圆的直径是圆的最长弦

B.圆上的点到圆心的距离相等

C.相交弦的垂直平分线经过圆心

D.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

6.若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an的值为：

A.162

B.54

C.18

D.6

二、填空题（每题3分，共18分）

7.函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标为______。

8.若等差数列{an}的前三项分别为1,4,7，则该数列的公差为______。

9.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为______。

10.圆的半径为5，则其周长为______。

11.若等比数列{an}的首项为3，公比为2，则第4项an的值为______。

12.在直角坐标系中，点P(3,4)关于y轴的对称点为______。

三、解答题（每题6分，共18分）

13.已知函数f(x)=2x-3，求函数的图像与x轴的交点坐标。

14.已知等差数列{an}的首项为5，公差为2，求该数列的前10项和。

15.在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(4,1)，求线段AB的长度。

16.圆的直径为10，求该圆的面积。

四、应用题（每题8分，共24分）

17.一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度行驶，3小时后到达乙地。求甲、乙两地的距离。

18.已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

19.在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(4,1)，求线段AB的中点坐标。

20.圆的半径为8，求该圆的周长。

五、综合题（每题10分，共30分）

21.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求函数的最小值。

22.已知等差数列{an}的首项为5，公差为2，求该数列的第10项。

23.在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(4,1)，求线段AB的斜率。

24.圆的半径为5，求该圆的面积。

六、创新题（每题12分，共36分）

25.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求函数的图像与x轴的交点坐标，并求函数的对称轴方程。

26.已知等差数列{an}的首项为5，公差为2，求该数列的前5项和，并求该数列的通项公式。

27.在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(4,1)，求线段AB的长度，并求线段AB的垂直平分线方程。

28.圆的半径为8，求该圆的面积，并求该圆的周长。

本次试卷答案如下：

一、选择题

1.D

解析：函数是一组对应关系的集合，其定义域和值域可以是任意集合，但通常情况下是实数集。函数的图像不一定是直线，只有一次函数的图像是一条直线。

2.D

解析：将x=-1代入函数f(x)=2x+3中，得到f(-1)=2*(-1)+3=1。

3.A

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。代入a1=3，d=2，n=10，得到an=3+(10-1)*2=21。

4.A

解析：点P(2,3)关于x轴的对称点，其y坐标取相反数，即(-3)。

5.C

解析：相交弦的垂直平分线确实经过圆心，这是圆的性质之一。

6.A

解析：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。代入a1=3，r=3，n=5，得到an=3*3^(5-1)=162。

二、填空题

7.(2,-1)

解析：函数f(x)=x^2-4x+4是一个完全平方公式，其顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))得到，其中a和b是二次项和一次项的系数。对于f(x)=x^2-4x+4，a=1，b=-4，所以顶点坐标为(2,-1)。

8.2

解析：等差数列的公差是相邻两项之差，所以d=a2-a1。代入a1=1，a2=4，得到d=4-1=3。

9.5

解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。所以AB=√(AC^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

10.31.4159

解析：圆的周长公式为C=2πr，其中r是圆的半径。代入r=5，得到C=2*π*5≈31.4159。

11.48

解析：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。代入a1=3，r=2，n=4，得到an=3*2^(4-1)=3*2^3=3*8=24。

12.(-3,4)

解析：点P(3,4)关于y轴的对称点，其x坐标取相反数，即(-3)。

三、解答题

13.解析：令f(x)=0，解方程2x-3=0，得到x=3/2。所以交点坐标为(3/2,0)。

14.解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(a1+an)。代入a1=5，d=2，n=10，得到S_10=10/2*(5+(5+(10-1)*2))=5*(5+21)=5*26=130。

15.解析：使用两点间距离公式d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。代入A(2,3)，B(4,1)，得到AB=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

16.解析：圆的面积公式为A=πr^2。代入r=5，得到A=π*5^2=25π。

四、应用题

17.解析：距离=速度*时间。代入速度=60公里/小时，时间=3小时，得到距离=60*3=180公里。

18.解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(a1+an)。代入a1=2，d=3，n=5，得到S_5=5/2*(2+(2+(5-1)*3))=5/2*(2+16)=5/2*18=45。

19.解析：线段中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。代入A(2,3)，B(4,1)，得到中点坐标为((2+4)/2,(3+1)/2)=(3,2)。

20.解析：圆的周长公式为C=2πr。代入r=8，得到C=2*π*8=16π。

五、综合题

21.解析：函数f(x)=x^2-4x+4是一个完全平方公式，其最小值在对称轴x=2处取得，最小值为f(2)=2^2-4*2+4=0。

22.解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。代入a1=5，d=2，n=10，得到an=5+(10-1)*2=5+18=23。

23.解析：线段斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。代入A(2,3)，B(4,1)，得到斜率k=(1-3)/(4-2)=-2/2=-1。

24.解析：圆的面积公式为A=πr^2。代入r=5，得到A=π*5^2=25π。

六、创新题

25.解析：函数f(x)=x^2-4x+4的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)。对称轴方程为x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得到对称轴方程为x=2。

26.解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。代入a1=5，d=2，得到an=5+(n-1)*2=5+2n-2=