四川省眉山市眉山车城中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题（解析版）

四川省眉山车城中学2026届高二第四学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D2.设是等比数列，成等差数列，则（）A1 B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意，由等差中项列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以.故选：A3.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解.【详解】数列的前5项依次为，即，，，，，所以的一个通项公式为．故选：C4.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案.【详解】由，，则，，，所以数列的最小正周期为，由，则.故选：D.5.已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（）A. B. C.505 D.1013【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.【详解】因为，，所以，此时令，而其前项和为，，故D正确.故选：D6.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（）A.的单调递减区间是 B.的单调递增区间是C.当时，无极值 D.当时，【答案】C【解析】【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断选项AB，再根据极值定义可判断选项C，根据不等式结果可判断选项D.【详解】当时，函数，可得；当时，函数，可得；当时，函数可得，且.对于选项A，函数在上单调递减，故A错误；对于选项B，函数在上单调递增，故B错误；对于选项C，函数在上单调递增，即在处左右函数的单调性不改变，在处无极值，故C正确；对于选项D，当时，函数可得，即，故D错误.故选：C.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案．【详解】设数列为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比，，则，，.故选：D.8.已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（）A.，B.，C，D.，【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案.【详解】构造函数，则，所以函数在上单调递增，故，即，即.同理，，即.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（）A.数列是递减数列； B.数列是递减数列；C.数列的最大项是； D.数列的最小的正数是.【答案】ACD【解析】【分析】结合题意，数列是递减数列，且判断A，，开口向下，数列先增后减可判断B，再根据，得，，故数列的最大项是判断C，最后根据，判断D.【详解】等差数列的前项和能取到最大值，数列是递减数列，且，故A正确；，，数列先增后减，故B错误；由，，得，，数列的最大项是，故C正确；由，，得数列的最小的正数是，故D正确．故选：ACD．A.若数列为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列B.若数列为等差数列，则为等比数列C.数列满足：，则D.已知为数列的前项积，若，则【答案】ABD【解析】【分析】分以及，结合等比数列的求和公式，即可判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及通项公式判断D.【详解】对于A，当时，，显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列；当时，，，所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确；对于B，设等差数列公差为，则，则是个常数，所以为等比数列，故B正确；对于C，依题意，，它不满足，故C错误；对于D，，当时，，即，解得，当时，，于是，即，数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，且也满足，故D正确；故选：ABD11.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.是函数定义域内的极小值点B.的单调减区间是C.若有两个不同的实根，则D.在定义域内既无最大值又无最小值【答案】ACD【解析】【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.【详解】对于A，函数定义域满足，解得，由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时.所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；对B，的单调减区间是，，故B不正确；对D，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，作出简图，可得的值域是，故D正确；对C，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故C正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则_________.【答案】##0.5【解析】【分析】先求导，再令，即可求解【详解】由，可得：，令，可得：，所以，故答案为：13.已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则__________.【答案】110【解析】【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得.【详解】由题意有，所以数列，数列，可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列，所以.故答案为：110.14.数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是________________________.【答案】【解析】【分析】变形给定的递推公式，结合累加法求出，进而求出，再利用递减数列的定义列式并分离参数求解.【详解】数列中，，则，，即，当时，，也满足上式，因此，，由数列是递减数列，得，，即当时，，整理得，当或时，，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，前7项和（Ⅰ）求的通项公式（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.【答案】(1)(2).【解析】【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）16.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【解析】【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.17.已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若，试讨论的单调性．【答案】（1）（2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【解析】【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解；（2）由题意有，根据的范围分类讨论即可.【小问1详解】当时，，，，，所以切点为，切线方程即．【小问2详解】的定义域为，，当时，由可得或；由可得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，恒成立，函数的单调递增区间为；当时，由可得或；由可得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．18.在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）选①，利用与的关系即可求解；选②，由已知可得数列是等差数列，可得，根据与的关系即可求解；选③，由已知可得，当时可得，验证成立即可求解；（2）由（1）可得，根据裂项相消法求和，再求解即可【小问1详解】选①，当时，，解得，当时，，所以，因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选②，因为，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，当时，，当时，，当时，，所以；选③，因为，所以，所以当时，，当时，，所以；【小问2详解】因为，所以，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，即得证.19.已知函数，.（1）求的单调区间.（2）若在单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间为，减区间为（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求导分析单调性，根据导函数的正负判断单调性;（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得